Baccalauréat S La Réunion juin 1995

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
Durée : 4 heures [ Baccalauréat S La Réunion juin 1995 \ EXERCICE 1 5 points Un code antivol d'un autoradio est un nombre de quatre chiffres, chaque chiffre pouvant prendre l'une des dix valeurs 0, 1, ..., 9. 1. a. Quel est le nombre de codes possibles ? b. Quel est le nombre de codes formés de quatre chiffres distincts deux à deux ? 2. Après une coupure d'alimentation électrique, le propriétaire doit réintroduire le code pour pouvoir utiliser son autoradio. Il sait que les quatre chiffres de son code sont 1, 9, 9 et 5,mais il a oublié l'ordre de ces chiffres. a. Combien de codes différents peut-il composer avec ces 4 chiffres ? b. Si le premier code introduit n'est pas le bon, le propriétaire doit attendre 2 minutes avant de pouvoir tenter un second essai ; le délai d'attente entre le second et le troisième essai est de 4 minutes, entre le troisième et le quatrième essai, il est de 8 minutes...(le délai d'attente double entre deux essais successifs). Combien de codes le propriétaire peut-il introduire au maximum en 24 heures ? EXERCICE 2 5 points Leplan complexe est rapporté à un repère orthonormé ( O, ??u , ??v ) ; (unité graphique : 4 cm).

• coupure d'alimentation électrique


• affixe z


• encadrement de ? d'amplitude


• résolution approchée de l'équation


• argument de z ?

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 juin 1995
• Nombre de lectures: 40
• Langue: Français

Extrait

Durée : 4 heures

[Baccalauréat S La Réunion juin 1995\

E X E R C IC E points1 5 Un code antivol d’un autoradio est un nombre de quatre chiffres, chaque chiffre pouvant prendre l’une des dix valeurs 0, 1,..., 9. 1. a.Quel est le nombre de codes possibles ? b.Quel est le nombre de codes formés de quatre chiffres distincts deux à deux ? 2.Après une coupure d’alimentation électrique, le propriétaire doit réintroduire le code pour pouvoir utiliser son autoradio. Il sait que les quatre chiffres de son code sont 1, 9, 9 et 5, mais il a oublié l’ordre de ces chiffres. a.Combien de codes différents peutil composer avec ces 4 chiffres ? b.Si le premier code introduit n’est pas le bon, le propriétaire doit attendre 2 minutes avant de pouvoir tenter un second essai; le délai d’attente entre le second et le troisième essai est de 4 minutes, entre le troisième et le quatrième essai, il est de 8 minutes...(le délai d’attente double entre deux essais successifs). Combien de codes le propriétaire peutil introduire au maximum en 24 heures ?

E X E R C IC E 2 5points ³ ´ −→−→ Le plan complexe est rapporté à un repère orthonorméO,u,v; (unité graphique : 4 cm). On appelle A et B les points d’affixes respectives i et−i. ′ À tout pointMdu plan d’affixezdifférente de−i, on associe le pointMdont l’affixe ′ zest définie par z−i ′ z=. z+i ′ ′ 1.Calculer l’affixezdu pointMassocié au pointMd’affixez=2+i. Préci ′ ′ ser le module et un argument dez. Placer les pointsMetMdans le repère ³ ´ −→−→ O,u,v. 2.Dans cette question,Mest un point quelconque du plan distinct de B. MA ′ ′ Montrer que OM=. En déduire que, lorsquezest réel,Mappartient à MB un cercle que l’on précisera. 3.Dans cette question,Mest un point quelconque du plan distinct de B. Aux pointsM 1 ,M 2 etM 3 d’affixes respectivesz 1 =z, (oùzdésigne le nombre 1 ′ ′′ conjugué dez),z 2 = −zetz 3 =, on associe les pointsM,MetMd’affixes 1 23 z ′ ′′ z,zetz. 1 23 1 11 ′ ′′ a.Montrer les relationsz=,z=etz=. 1 2 ′ 3 ′ z z z ′ ′′ Exprimer les modules et arguments dez,zetz3 3 en fonction du mo 1 2 ′ dule et d’un argument dez.

Baccalauréat S

A. P. M. E. P.

′ ′′ b.En utilisant ce qui précède, placer les pointsM 1 ,M 2 ,M 3 ,M,MetM 1 23 sur la même figure qu’au 1. dans le cas oùz=2+i.

E X E R C IC E points2 5 Enseignement de spécialité ³ ´ −→−→ π Dans le plan orienté, on considère un triangle équilatéral ABC tel queAB ,AC=. 3 On désigne par : π r A ,la rotation de centre A et d’angle 3 π r B ,la rotation de centre B et d’angle 3 π r C ,la rotation de centre C et d’angle 3 et par D et E les points tels quer B (A) = D etr C (D) = E. 1.Démontrer quer C ◦r B ◦r A est la symétrie centrale de centre B. Préciser alors la position du point E. 1 2.et d’angleOn admet qu’il existe une seule similitude plane directe de rapport 2 2π −qui transforme A en B. 3 On nommeScette similitude. ³ ´ BD −→−→ Calculer le rapport, ainsi qu’une mesure de l’angleAE ,BD . AE En déduire queS(E) = D. 3.SoitΩle centre de la similitudeS. Montrer queΩappartient aux cercles circonscrits aux triangles ABC et DBE. ConstruireΩ. 4. a.Démontrer queStransforme la droite (AC) en (CB). b.Démontrer que l’image parSdu cercle circonscrit au triangle ACE est le cercle de daimètre [BD]. En déduire que l’image de C par la similitudeS est le point I milieu du segment [DE].

P R O B L È M E Dans tout ce problème, ln désigne la fonction logarithme népérien.

Partie A – Étude d’une fonction auxiliaire On considère la fonctiongdéfinie sur l’intervalle ]0 ;+∞[ par : 1 2 g ( x ) =x− −4 lnx 2 x

10 points

1.Étudier les variations deg. Préciserg(1). 2.En déduire le signe de la fonctiongsur chacun des intervalles ]0,1[ et ]1 ;+∞[.

Partie B – Étude d’une fonction On considère la fonctionfdéfinie sur l’intervalle ]0 ;+∞[ par : 1 1 2 2 f ( x ) =x+ −(lnx ) 2 4 4x

La Réunion

2

juin 1995

Baccalauréat S

A. P. M. E. P.

1 1.Montrer que, pour tout réelx>0,f(x)=f( ). x 2 2.Déterminer la limite defen+∞(on pourra mettrexen facteur) dans l’ex pression def(x). Déterminer la limite defen 0. 1 ′ 3.Montrer que pour tout réelx>0,f(x)=g(x). 2x En utilisant la partie A, étudier le sens de variation de la fonctionfsur l’inter valle ]0 ;+∞[. 4.On nommeC f la représentation graphique defdans un repère orthonormé ; unité graphique 5 cm. TracerC f . Partie C – Résolution approchées d’équations

1.Montrer que l’équationf(x)=xadmet une seule solution sur l’intervalle ]0 ; 1] (on pourra étudier le sens de variation de la fonctionh; 1] pardéfinie sur ]0 h(x)=f(x)−x). On nommeαcette solution. 1 2.Montrer que l’équationf(x)=admet une seule solution sur l’intervalle [1 ;+∞[. x On nommeβcette solution. −2 3.Déterminer un encadrement deβ. En déduire un encadred’amplitude 10 ment deα.

La Réunion

3

juin 1995