Baccalauréat S Métropole & La Réunion

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
Durée : 4 heures [ Baccalauréat S Métropole & La Réunion \ septembre 2009 EXERCICE 1 (6 points) Commun à tous les candidats Soit f la fonction définie sur l'intervalle [0 ; +∞[ par f (x)= ln ( x2+4 ) . PARTIE A 1. Étudier le sens de variation de la fonction f sur l'intervalle [0 ; +∞[. 2. Soit g la fonction définie sur l'intervalle [0 ; +∞[ par g (x)= f (x)?x. (a) Étudier le sens de variation de la fonction g sur l'intervalle [0 ; +∞[ . (b) Montrer que sur l'intervalle [2 ; 3] l'équation g (x)= 0 admet une unique solution que l'on notera?. Donner la valeur arrondie de ? à 10?1 . (c) Justifier que le nombre réel ? est l'unique solution de l'équation f (x)= x. PARTIE B Dans cette partie, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation. On considère la suite (un) définie par u0 = 1 et pour tout entier naturel n par : un+l = f (un). La courbe C représentative de la fonction f et la droite ∆ d'équation y = x sont tracées sur le graphique donné en annexe (à rendre avec la copie).

• droite ∆ d'équation


• volume de la pyramide saba?b?


• stock de pneus


• arbre de probabilité traduisant la situation


• probabilité


• plan d'équation

Sujets

• Probabilité

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 septembre 2009
• Nombre de lectures: 32
• Langue: Français

Extrait

Durée:4heures
[BaccalauréatSMétropole&LaRéunion\
septembre2009
EXERCICE1 (6points)
Communàtouslescandidats
Soit f lafonctiondéfiniesurl’intervalle[0;+∞[par
? ?2f(x)=ln x +4 .
PARTIEA
1. Étudierlesensdevariationdelafonction f surl’intervalle[0;+∞[.
2. Soitg lafonctiondéfiniesurl’intervalle[0;+∞[parg(x)= f(x)−x.
(a) Étudierlesensdevariationdelafonctiong surl’intervalle[0;+∞[.
(b) Montrerquesurl’intervalle[2; 3]l’équationg(x)=0admetuneuniquesolutionquel’onnoteraα.
−1Donnerlavaleurarrondiedeαà10 .
(c) Justifierquelenombreréelαestl’uniquesolutiondel’équation f(x)=x.
PARTIEB
Dans cette partie, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative même non fructueuse, sera prise en
comptedansl’évaluation.
Onconsidèrelasuite(u )définieparu =1etpourtoutentiernatureln par:u = f(u ).n 0 n+l n
LacourbeC représentativedelafonction f etladroiteΔd’équation y=x sonttracéessurlegraphiquedonné
enannexe(àrendreaveclacopie).
1. À partir de u , en utilisant la courbeC et la droiteΔ, on a placé u sur l’axe des abscisses. De la même0 1
manière,placerlestermesu etu surl’axedesabscissesenlaissantapparentslestraitsdeconstruction.2 3
2. PlacerlepointI delacourbeC quiapourabscisseα.
3. (a) Montrerque,pourtoutnombreentiernatureln,ona1?u ?α.n
(b) Démontrerquelasuite u converge.( )n
(c) Déterminersalimite.
EXERCICE2: (5points)
Communàtouslescandidats
? ?→− →− →−
L’espaceestmunid’unrepèreorthonormal O; i ; j ; k .
′1. OndésigneparP lepland’équationx+y−1=0etparP lepland’équation y+z−2=0.
′JustifierquelesplansP etP sontsécantsetvérifierqueleurintersectionestladroiteD,dontunerepré-
x=1−t
sentationparamétriqueest: y=t ,oùt désigneunnombreréel.

z=2−tBaccalauréatS A.P.M.E.P.
2. (a) DétermineruneéquationduplanR passantparlepointOetorthogonalàladroiteD.
(b) DémontrerquelepointI,intersectionduplanR etdeladroiteD,apourcoordonnées(0; 1; 1).
? ?
1 1
3. SoientAetBlespointsdecoordonnéesrespectives − ; 0; et(1; 1; 0).
2 2
(a) VérifierquelespointsAetBappartiennentauplanR.
′ ′(b) OnappelleA etB lespointssymétriquesrespectifsdespointsAetBparrapportaupointI.
JustifierquelequadrilatèreABA’B’estunlosange.
(c) VérifierquelepointSdecoordonnées(2;−1; 3)appartientàladroiteD.
′ ′(d) CalculerlevolumedelapyramideSABAB .
1
OnrappellequelevolumeV d’unepyramidedebased’aireb etdehauteurh est:V = b×h.
3
EXERCICE3: (4points)
Communàtouslescandidats
PARTIEA
xSoit f lafonctiondéfiniesurl’ensembledesnombresréelspar f(x)=e . ? ?→− →−
OnappelleC lacourbereprésentativedelafonction f dansunrepèreorthonormal O ; i ; j .f
1. Soit a unnombreréel.DémontrerquelatangenteàlacourbeC aupoint M d’abscisse a coupel’axedesf
abscissesaupointP d’abscissea−1.
−→ →−
2. SoitN leprojetéorthogonaldupointM surl’axedesabscisses.DémontrerqueNP=− i
PARTIEB
′Soitg unefonctiondérivablesurl’ensembledesnombresréelstellequeg (x)6?0pourtoutnombreréelx.? ?→− →−
OnappelleC lacourbereprésentativedelafonctiong dansunrepèreorthonormal O ; i ; j .g
Soita unnombreréel.OnconsidèrelepointM delacourbeC d’abscissea etlepointN projetéorthogonaldug
pointM surl’axedesabscisses.
SoitP lepointd’intersectiondelatangenteT àlacourbeC aupointM avecl’axedesabscisses.a g
Legraphiqueci-dessousillustrelasituationdelapartieB.
y
Cg 2
1
→−
j
M
N P
→− xO−1 1 2i
? ?
g(a)
1. DémontrerquelepointPapourcoordonnées a− ; 0 .′g (a)
Métropole&LaRéunion Page2/4 septembre2009
bbbBaccalauréatS A.P.M.E.P.
2. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative même non fructueuse, sera
priseencomptedansl’évaluation.
→−−→
Existe-t-ilunefonctiong vérifiantg(0)=2etNP= i ?
EXERCICE4: (5points)
Candidatsn’ayantpassuivil’enseignementdespécialité
Unréparateurdevélosaacheté30%desonstockdepneusàunpremierfournisseur,40%àundeuxièmeetle
resteàuntroisième.
Lepremierfournisseurproduit80%depneussansdéfaut,ledeuxième95%etletroisième85%.
1. Leréparateurprendauhasardunpneudesonstock.
(a) Construireunarbredeprobabilitétraduisantlasituation,etmontrerquelaprobabilitéquecepneu
soitsansdéfautestégaleà0,875.
(b) Sachantquelepneuchoisiestsansdéfaut,quelleestlaprobabilitéqu’ilproviennedudeuxièmefour-
−3nisseur?Ondonneralavaleurarrondiedurésultatà10 .
2. Leréparateurchoisitdixpneusauhasarddanssonstock.Onsupposequelestockdepneusestsuffisam-
mentimportantpourassimilercechoixdedixpneusàuntirageavecremisededixpneus.
Quelle est alors laprobabilitéqu’au plusun des pneus choisis présenteun défaut?On donnerala valeur
−3arrondieà10 .
3. OnnoteX lavariablealéatoirequidonnelenombredekilomètresparcourusparunpneu,sanscrevaison.
Onfaitl’hypothèsequeXsuituneloiexponentielledeparamètreλ.
Zk
−λxOnrappelleque,pourtoutnombreréelk positif:P(X?k)= λe dx
0
−500λ −1000λ(a) MontrerqueP(500?X?1000)=e −e .
(b) Danscette question,toute trace de recherche,mêmeincomplète,ou d’initiative mêmenonfructueuse,
serapriseencomptedansl’évaluation.
1
Laprobabilitéquelepneuparcoureentre500et1000kilomètressanscrevaisonétantégaleà ,dé-
4
−4terminerlavaleurarrondieà10 duparamètreλ.
EXERCICE4: (5points)
Pourlescandidatsayantsuivil’enseignementdespécialité
1. (a) Déterminerlerestedansladivisioneuclidiennede2009par11.
10(b) Déterminerlerestedansladivisioneuclidiennede2 par11.
2009(c) Déterminerlerestedansladivisioneuclidiennede2 +2009par11.
2. On désigne par p un nombre entier naturel. On considère pour tout entier naturel non nul n le nombre
nA =2 +p.n
Onnoted lePGCDde A et A .n n n+1
n(a) Montrerqued divise2 .n
(b) Déterminerlaparitéde A enfonctiondecelledep.Justifier.n
(c) Danscette question,toute trace de recherche,mêmeincomplète,ou d’initiative mêmenonfructueuse,
serapriseencomptedansl’évaluation.
Déterminerlaparitéded enfonctiondecelledep.n
2009 2010EndéduirelePGCDde2 +2009et2 +2009.
Métropole&LaRéunion Page3/4 septembre2009BaccalauréatS A.P.M.E.P.
ANNEXEDEL’EXERCICE1
(àrendreaveclacopie)
Δ
C
→−
j
→− u uO 0 1i
Métropole&LaRéunion Page4/4 septembre2009