Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
Durée : 4 heures [ Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie \ Série obligatoire mars 2012 EXERCICE 1 5 points Commun à tous les candidats Partie A : 1. P (ip2)= (ip2)3? (2+ ip2)(ip2)2+2(1+ ip2)(ip2)?2ip2= ?2ip2+4+2ip2+2ip2?4?2ip2= 0 ?? ip2 est solution dans C de l'équa- tion P (z)= 0. 2. a. Développons : (z? ip2)(z2+az+b) = z3 + az2 + bz ? z2ip2? azip2? bip2= z3+ (a? ip2)z2+ (b?aip2)z?bip2. Par identification avec l'énoncé, on obtient : ? ? ? a? ip2 = ?2? ip2 b?aip2 = 2+2ip2 ?bip2 = ?2ip2 ?? ? ? ? a = ?2 b+2ip2 = 2+2ip2 ?b = ?2 ?? ? ? ? a = ?2 b = 2 b = 2 On a donc P (z)= (z? ip2)(z2?2z+2) b. En utilisant la factorisation précédente : P (z)= 0 ?? (z? ip2)(z2?2z+2) ?? { z? ip2 = 0 z2?2z+2 = 0 On retrouve la racine ip2 : résolution de l'équation du second degré : z2?2z+2= 0 ?? (z?1)2?1+2= 0 ?? (z?1)2+1= 0 ?? (z?1)2 =?1 ?? (z?1)2 =

• somme des aires du triangle et du trapèze pré- cédents


• ip2 ?bip2


• ip2 ?b


• ip2


• ??

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 mars 2012
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Extrait

Durée:4heures
[BaccalauréatSNouvelle-Calédonie\
Sérieobligatoiremars2012
EXERCICE 1 5points
Communàtouslescandidats
PartieA:
?p ? ?p ? ? p ??p ? ? p ??p ? p3 2
1. P i 2 ? i 2 ? 2?i 2 i 2 ?2 1?i 2 i 2 ?2i 2?
p p p p p
?2i 2?4?2i 2?2i 2?4?2i 2?0 () i 2 estsolutiondansCdel’équa-
tionP(z)?0.
p p p? ?? ?
2 3 2 22. a. Développons : z?i 2 z ?az?b ? z ?az ?bz?z i 2?azi 2?p ? p ? ? p ? p
3 2bi 2?z ? a?i 2 z ? b?ai 2 z?bi 2.
Paridentificationavecl’énoncé,onobtient:
p p8 8 8
a?i 2 ? ?2?i 2 a ? ?2 a ? ?2< < <p p p p
b?ai 2 ? 2?2i 2 () b?2i 2 ? 2?2i 2 () b ? 2p p: : :
?bi 2 ? ?2i 2 ?b ? ?2 b ? 2
? p ?? ?
2OnadoncP(z)? z?i 2 z ?2z?2
b. Enutilisantlafactorisationprécédente:
? p
? p ?? ? z?i 2 ? 02P(z)?0 () z?i 2 z ?2z?2 () 2z ?2z?2 ? 0
p
Onretrouvelaracinei 2:résolutiondel’équationduseconddegré:
2 2 2z ?2z?2?0 () (z?1) ?1?2?0 () (z?1) ?1?0 ()
? ?
z?1 ? i z ? 1?i2 2 2(z?1) ??1 () (z?1) ?i () ()
z?1 ? ?i z ? 1?i
p
Lessolutionssontdonc:i 2, 1?i, 1?i.
PartieB:
J
D A
1
K
L?2 ?1 1
?1
C B
1. ?2
bbbbbbbBaccalauréatS A.P.M.E.P.
p p
3iπ 3π 3π 2 2
42. Ona z ?e ?cos ?isin ?? ?i .K
4 4 2 2
Kestlemilieudusegment[JL]cequisetraduitencoordonnéespar:
8 p8
? ?1 > 2 1> p?< <x ? x ?x ? ? 0?x( )K J L L x ? ? 2L2 2 2p() ()? ?1 ?p ?> > 2 1 y ? 0L:y ? y ?y :K J L ? 2?yL2 2 2p
Conclusion:z ?? 2.L
2 2 23. Onajz j ?1 ?1 ?2A
2 2 2j jz ?1 ?(?1) ?2B
? ? ?p ?22? ?z ? 2 ?2J
? p ?22jz j ? ? 2 ?2.L
p
OnadoncOA=OB=OJ=OL? 2:lespoints A,B,JetLappartiennent àun
p
mêmecercledecentreOetlerayon 2.
π 3π
4. a. Unargumentdez est etunargumentdez est ,doncl’angledelaJ D
2 4
π
rotationest .
4
π
b. PardéfinitiondelarotationdecentreOetd’angle ,ona:
4? !p p
? p ?π π 2 2i i4 4z ?z ?e (z ?z ) () z ?e z ? ?i ? 2 ??1?i.C O L O C L
2 2
5. Onasuccessivement:
Oestmilieude[BD]et[AC],doncABCDestunparallélogramme;
AC=BD=2,doncABCDestunrectangle;
(AC) et (BD) sont perpendiculaires, donc ABCD est un losange, donc finale-
ment:ABCDestuncarré.
EXERCICE 2 4points
Communàtouslescandidats
1. a. 1
4 B
1 A
6
3 B
4
2
5 B
5
A6
3 B
? ?5
b. D’après la loi des probabilités totales : p(B)? p(A)?p (B)?p A ?A
1 1 5 2 1 1 1 8 9 3
p (B)? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?0,375.A 6 4 6 5 24 3 24 24 24 8
1 1?p(A\B) 1 8 16 4c. p (A)? ? ? ? ? .B 3p(B) 24 3 9
8
2. a. Les parties étant indépendantes la variable X suit une loi binomiale de
3
paramètresn?10etp? .
8
Laprobabilitédegagnerexactementtroispartiesestégaleà:
? ! ? !? ? ? ? ? ? ? ?3 10?3 3 710 3 3 10 3 5
p(X?3)? ? 1? ? ? ?0,2357?0,236au
3 8 8 3 8 8
millièmeprès.
Nouvelle-Calédonie 2 mars2012BaccalauréatS A.P.M.E.P.
? ? ? ? ? ?0 10 103 5 5
b. Ona p(X>1)?1?p(X?0)?1?? ? ?1? ?0,9909?
8 8 8
0,991aumillièmeprès.
c. À partir du tableau donné on calcule les probabilités P(X? k?1) par
différenceentredeuxvaleursconsécutives.OnconstatequeP(X?7)est
lapremièrevaleurinférieureà0,1.DoncN?7.
k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
P(X?k) 0,0091 0,0637 0,2110 0,4467 0,6943 0,8725 0,9616 0,9922 0,9990 0,9999
P(X?k?1) 0,0091 0,0546 0,1473 0,2357 0,2476 0,1782 0,0891 0,0306 0,0068 0,0009
EXERCICE 3 5points
Candidatsn’ayantpaschoisil’enseignementdespécialité
VRAIouFAUX?
Pourchacundesénoncéssuivants,indiquersilapropositioncorrespondanteestvraie
oufausseetproposerunejustificationdelaréponsechoisie.
1. Énoncé1:
π 1
OUI:exemple a ? ? .n n4 2
2. Énoncé2:
2iπ 2iπ 2i?20π 40iπ
3 3 3FAUX:onaz ?e quiapourargument etz ?e ?e .Or1 20
3
40π 36π?4π 4π 4π 2π
? ? 12π? , donc z a pour argument 6? . Donc les20
3 3 3 3 3
pointsO,M etM nesontpasalignés.1 20
3. Énoncé3:
Proposition3:
FAUX:silacourbe3estlareprésentationgraphiquede f,lacourbe1estcelle
deF puisquec’estlaseulequicontientl’origine(F(0)?0).
? ? ? ?π π0Or on voit sur la courbe 1 que F ? 0, mais f 6? 0. Donc la courbe 1
4 4
n’estpaslareprésentationgraphiquedelaprimitiveF.
4. Énoncé4:
Proposition4:CalculonsladistancedeAauplanP:
p
j3j 3 6
d(A; P)? p ?p ? ?1,225.
2 2 2 262 ?(?1) ?1
Ladistanceestinférieureaurayonducercle:laréponseestVRAI.
5. Énoncé5:
Proposition5:
Onsaitquelafonctiondéfinieparx7?!2estunesolutionparticulièrede(E).
0 0D’autrepartlessolutions del’équation (E ) : y ?2y?0sontlesfonctions de
?2xlaformeKe .
?2xLessolutionsde(E)sontdonclesfonctionsdéfiniespar y?2?Ke .
0Or y(0)?0 () 2?Ke ?0 () 2?K?0 () K??2.
?2xLafonctionsolutionestdoncdéfiniepar: y?2?2e .
On voit avec les limites en?1 et?1 que la représentation graphique est la
courbeC .DoncFAUX3
EXERCICE 4 6points
Communàtouslescandidats
PARTIEA:
Nouvelle-Calédonie 3 mars2012BaccalauréatS A.P.M.E.P.
1. Posons:? ?0 x xu (x) ? e u(x) ? e
?) 0v(x) ? x v (x) ? 1
Touteslesfonctionsétantcontinuescardérivablessur[0;1],onpeutprocéder
àuneintégrationparparties:
Z Z1 1? ? ? ? ? ?1 1 1x x x x x
xe dx? xe ? e dx? xe ? e ?e?0?(e?1)?1.0 0 0
0 0
1 10 a 2 a2. a. A(OAA)? a?ae ? a e .
2 2
? ?1 10 0 a a 2 aA(ABB A )? ae ?e ?(1?a)? ae ?a e ?e?ae .( )
2 2
b. Lessegments[OA]et[AB]étantaudessusdelacourbeC l’airedelapar-
tiehachuréeestégaleàlasommedesairesdutriangleetdutrapèzepré-
cédentsdiminuéedel’airedelapartieduplanlimitéeparl’axedesabs-
cisses,lacourbeC etlesdroitesd’équation x?0etx?1,soit:
Z1? ?1 12 a a 2 a xa e ? ae ?a e ?e?ae ? xe dx?
2 2 0
? ?1 12 a a 2 a aa e ?ae ?a e ?e?ae ?1? ae ?ae?e?2 .( )
2 2
PARTIEB:
1. Touteslesfonctionssontdérivablessur[0;?1[,donc:
0 x xg (x)?e ?e?xe .
00 x x x xPuisg (x)?e ?e ?xe ?e (2?x).
x2. Onsaitquee ?0quelquesoitleréelx,etsur[0;?1[,2?x>2?0:doncsur
00 0[0;?1[, g (x)?0:onconclutquelafonction g estcroissante(strictement)
sur[0;?1[.
0 03. Ona g (0)?1?e?0etg (1)?e?0.
0 0Donclafonction g monotonecroissanteetcroissantesur[0;1]deg (0)?0à
0g (1)?0s’annuleuneseulefoissurcetintervalle.
0Ilexistedoncunréelα2[0; 1]telqueg (α)?0.
Lacalculatricedonne:0,5?α?0,6.
04. Sur l’intervalle [0 ; α], g (x)?0: la fonction est donc décroissante sur cet in-
tervalle.
0Sur l’intervalle [α;?1], g (x)?0:la fonction est donccroissantesur cet in-
tervalle.
5. D’aprèstouslesrésultatsprécédents,l’airedelasurfacehachuréeestégaleà:
1
g(a).Or ona vuquela fonction g a sur sur [0;?1[etégalement sur [0; 1]
2
unminimumenx?α.
1
L’aireminimumestdoncégaleà: g(α)
2
Nondemandé :cetteairevautapproximativement0,0882unitéd’aire.
Nouvelle-Calédonie 4 mars2012