Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie novembre 2008

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
Durée : 4 heures [ Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie novembre 2008 \ EXERCICE 1 3 points Commun à tous les candidats Dans l'espace rapporté à un repère orthonormal ( O, ??ı , ??? , ?? k ) on considère les points : A(3 ; ?2 ; 1) B(5 ; 2 ; ?3) C(6 ; ?2 ; ?2) D(4 ; 3 ; 2) 1. ???CA (?3 ; 0 ; 3) et ???CB (?1 ; 4 ; ?1) ?3 ?1 6= 0 4 , les vecteurs ??? CA et ???CB ne sont donc pas colinéaires et les points A, B et C ne sont pas alignés. De plus ???CA •???CB =?3? (?1)+0?4?3?1= 0, ces vecteurs sont donc ortho- gonaux et le triangle ABC est rectangle en C. Enfin AC2 = (?3)2+02+32 = 18 et BC2 = (?1)2+42 = (?1)2 = 18, ABC est donc isocèle en C. 2. a. ??n •???CA = 2? (?3)+1?0+2?3 = 0 ?? n •???CB = 2? (?1)+1?4+2? (?1) = 0 ?? n est donc orthogonal à deux vecteurs directeurs non colinéaires de (ABC), ??n est donc normal à ce plan.

• zc ?


• triangle rectangle


• s2 ?


• arbre précédent


• branche ac


• repère orthonormal direct


• plan complexe

Sujets

• Triangle rectangle
• Plan d'Argand

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 novembre 2008
• Nombre de lectures: 37

Extrait

Durée:4heures
[BaccalauréatSNouvelle-Calédonienovembre2008\
EXERCICE 1 3points
Communàtouslescandidats ³ ´!? !? !?
Dansl’espacerapportéàunrepèreorthonormal O, ı , | , k onconsidèrelespoints:
A(3;?2; 1) B(5; 2;?3) C(6;?2;?2) D(4; 3; 2)
?! ?!
1. CA (?3; 0; 3)etCB (?1; 4;?1)
?! ?!?3 06? ,les vecteursCA etCB nesont doncpascolinéaires etlespoints A,B?1 4
etCnesontpasalignés.
?! ?!
DeplusCA ?CB ??3?(?1)?0?4?3?1?0,cesvecteurssontdoncortho-
gonauxetletriangleABCestrectangleenC.
2 2 2 2 2 2 2 2Enfin AC ?(?3) ?0 ?3 ?18etBC ?(?1) ?4 ?(?1) ?18,ABCestdonc
isocèleenC.
!? ?!
2. a. n ?CA ?2?(?3)?1?0?2?3?0
!? ?!
n ?CB ?2?(?1)?1?4?2?(?1)?0
!?
n est donc orthogonal à deux vecteurs directeurs non colinéaires de
!?
(ABC),n estdoncnormalàceplan.
b. Uneéquationcartésiennede(ABC)estdoncdelaforme2x?y?2z?d?
0.
Deplus, lepoint Aappartient àceplan, ses coordonnéesvérifientdonc
l’équationprécédenteet2?(3)?1?(?2)?2?1?d?0,d??6
Uneéquationcartésienneduplan(ABC)estdonc:
2x?y?2z?6?0
j2x ?y ?2z ?6j 9D D D
c. LadistancedeDauplan(ABC)estd? p ? ?3
2 2 2 32 ?1 ?2
3.
1
V ? ?Base?Hauteur
3
12Onprendrapour baseABC(trianglerectangleisocèle d’aire AB ? ?18), la
2
hauteurestalorsd,etlevolumedeABCDenunitésdevolume:
1
V ? ?9?3?9
3
EXERCICE 2 5points
Pourlescandidatsn’ayantpassuivil’enseignementdespécialitéBaccalauréatS A.P.M.E.P.
5
(D)
× 4 Γ
0H
× K ×
3
AB
× ×2
0K 1 H
× ×
0C C
× × ×
?4 ?3 ?2 ?1 O 1 2 3 4
?1
0B
×?2
1. a.
p p p
2 2b. OA?jz j? 2 ?2 ? 8?2 2A
p
O,H,AetKsontalignésdanscetordredoncOH?OA?AH?2 2?2etp
OK?OA?AK?2 2?2
??! ??! ??!
c. LesvecteursOA,OH etOK sontcolinéairesdemêmesensdonc
?
arg(z )?arg(z )?arg(z )? [2?]A H K
4¡ p ¢ ¡ p ¢? ? ? ?i i i i
4 4 4 4Doncz ?jz je ? 2 2?2 e etz ?jz je ? 2 2?2 eK K H H
?4
2. a. z 0? ?2i:l’imagedeBestB.B
2i
?4
0z ? ??2:l’imagedeCestC’d’affixe?2.C
2
?4 2b. M(z)estinvariantpar f ,z? ,z ??4,z?2i ou z??2i
z
Lespointsinvariantspas f sontBetlepointd’affixeB’(?2i).
3. a. PourtoutpointM distinctdeO,
?40 0 0 0z ? ,zz ??4)jzj?jz j?4)OM?OM ?4
z
¡ ¢
0b. Déterminerarg z enfonctiondearg(z).
PourtoutpointM distinctdeO,
¡ ¢?40 0 0z ? ,zz ??4)arg zz ?? [2?]
z ¡ ¢
0Onadoncarg z ???arg(z) [2?]
p
¡p ¢4 4 2 2 2?204. a. D’après le 3a. OK ? ? ? ? ? 2 2?1 ?p p
OK 12 2?2 2?1
OH. p
4 4 2 2 2?20OH ? ? ? ?p p
OH 32 2?2 2?1
b. Oncherchelaformeexponentielle dez 0,lemodulevientd’êtrecalculéK
etonutiliselaquestion3b.pouravoirunargument:
argz 0 ? ??arg(z ) [2?]KK
3
? [2?]
4
Onadoncfinalement:
³ ´p 3?i 4z 0? 2 2?2 eK
Nouvelle-Calédonie 2 novembre2008BaccalauréatS A.P.M.E.P.
Demême:
argz 0 ? ??arg(z ) [2?]HH
3
? [2?]
4
Onadoncfinalement:
³ ´p 3?i
4z 0? 2 2?2 eH
3? 0 0
0 0c. z etz ontpourargument ,doncK etH sontsurlademiedroiteDK H 4 p
0
0enrosesurlegraphique.Deplusjz j?jz j?2 2?2doncK appartientHK
0aussiaucercledecentreOetrayonOH.DemêmeH appartientaucercle
decentreOetrayonOK.D’oùlaconstructiondesdeuxpoints!
EXERCICE 2 5points
Pourlescandidatsayantsuivil’enseignementdespécialité
³ ´?! ?!
Leplancomplexeestmunid’unrepèreorthonormaldirect O; OI ; OJ .Onconsi-
3
dèrelespointsAetBd’affixesrespectivesz ?2etz ? ?i.A B
2
OnconsidèrelespointsM,NetPtelsquelestrianglesAMB,BNOetOPAsoientdes
trianglesrectanglesisocèlesdesensdirectcommelemontrelafigureci-dessous.
y
N
B
M
O A x
P
Onnotes lasimilitudedirectedecentreAquitransformeMenB.1
Onnotes lasimilitude directedecentreOquitransformeBenN.Onconsidèrela2
transformationr?s ?s .2 1
Le but de l’exercice est de démontrer de deux façons différentes que les droites
(OM)et(PN)sontperpendiculaires.
1. Àl’aidedestransformations
³ ´s : A 7?!A ??! ?! ?1
a. donc l’angle des est AM ,AB ? [2?] etle rap-1M 7?!B 4
pAB
port ? 2carletriangleAMBestrectangleisocèledirect.
AM
? 1s : O 7?!O2
doncpours l’angleest etlerapport p .2B 7?!N 4 2
S S1 2
b. M7?!B7?!N doncr(M)?N.
S S1 2
I7?!P7?!I doncr(I)?I.
Nouvelle-Calédonie 3 novembre2008
bbbbbbBaccalauréatS A.P.M.E.P.
c. r estlacomposéededeuxsimilitudesdirectes,c’estdoncunesimilitude
directe;sonrapportestleproduitdesrapports,c’estdonc1;sonangle,
?
lasommedesanglesdonc .Enfin,lecentreestl’uniquepointinvariant,
2
c’estdoncI(questionprécédente).
?
Enrésumé,r estlarotationdecentreIetangle .
2
d. L’imagedeOparr estP.
(
r ?! ?!O7?!P
e. ?)(OM,PN)?angleder.D’oùlerésultat.r
M7?!N
2. Enutilisantlesnombrescomplexes
p ?0 i 4a. L’écriturecomplexedes estz ?z ? 2e z?z soit( )1 A A
p ?0 i
4z ?2? 2e (z?2)
p
2 ?0 i
4L’écriturecomplexedes estz ?z ? e (z?z )soit2 O O
2
p
2 ?0 i 4z ? e z
2
b. Mestl’antécédantdeBpars .1
p3 ?i
4s (M)?B, ?i?2? 2e (z?2)1
2 Ã !p pµ ¶ µ ¶
1 1 ? 1 1 2 2?i
4doncz?2?p i? e ,2?p i? ?i
2 2 2 22 2
9 3
Mapouraffixe ? i
4 4
Nestl’imagedeBpars .2Ã !p p p p µ ¶
2 ? 2 2 2 3 1 50 i 4z ? e z? ?i ?i ? ? i
2 2 2 2 2 4 4
c. z ?1?iP
3 9
? ? iz ?z ?1?3i (?1?3i)(3?i)N P 4 4? ? ? ?i
9 3z ?z 3?i 10M O ? i
4 4³ ´z ?z ????! ??!N P
Or,arg ? OM ,PN ? [2?]
z ?z 2M O
D’où(OM)et(PN)sontperpendiculaires.
EXERCICE 3 4points
Communàtouslescandidats
Un joueur lance une bille qui part de A puis emprunte obligatoirement une des
branches indiquées sur l’arbre ci-dessous pour arriver à l’un des points D, E, F et
G.
Nouvelle-Calédonie 4 novembre2008BaccalauréatS A.P.M.E.P.
A
8 1
9 9
B(0pt) C(10pts)
8 1 8 1
9 9 9 9
D(0pt) E(10pts) F(0pt) G(10pts)
On a marqué sur chaque branche de l’arbre la probabilité pour que la bille l’em-
prunteaprèsêtrepasséparunnœud.
Les nombres entre parenthèses indiquent les points gagnés par le joueur lors du
passage de la bille. On note X la variable aléatoire qui correspond au nombre total
depointsgagnésàl’issued’unepartiec’est-à-direunefoislabillearrivéeenD,E,F
ouG.
1. Danscettequestion,lesrésultatssontattendussousformefractionnaire.
a. X(Ω)?{0;10;20}
8 8
p(X?0)?p(B)?p (D)? ?B
9 9
8 1 1 8
p(X?20)?p(B)?p (E)?p(C)?p (F)? ? ? ?B C
9 9 9 9
1 1
p(X?20)?p(C)?p (G)? ?C
9 9
LaloideprobabilitédeXestdonnéeparletableausuivant:
P
x 0 10 20i
64 16 1
p(X?x ) 1i
81 81 81
b. Oncomplèteletableauprécédent:
P
x 0 10 20i
64 16 1
p 1i
81 81 81
16?10 20
x p 0 E(X)i i
81 81
180 20
E(X)? ?
81 9
c. Calculer laprobabilitéquelabilleaitsuivilabrancheACsachantquele
joueuraobtenuexactement10points.
Onadaptel’arbreprécédentpuisonl’inverse:
Nouvelle-Calédonie 5 novembre2008BaccalauréatS A.P.M.E.P.
et
8 1 16 65
9 9 81 81
AB AC (X=10) (X 6?10)
8 1 8 1
?
9 9 9 9
(X=0) (X=10) (X=10) (X=20) AC AB AC AB
Onveutp (AC)(X?10)
1 8 8
Or,p(AC\(X?10))?p(AC)?p (X?10)? ? ?AC
9 9 81
8
p(AC\(X?10)) 181
p (AC)? ? ?(X?10) 16p(X?10) 2
81
2. a. Onrépète8foisdefaçonsindépendantes,l’expérienceàdeuxissues«le
1
joueur obtient 20 points» considérée comme succès, de probabilité
81
oupas.Onadoncunschéma deBernoullietlavariablealéatoireYpre-
nant pour valeurs le nombre de succès obtenus suit la loi binomiale de
1
paramètres8et .Onveutp(Y ?2).
81
µ ¶µ ¶ µ ¶2 6 68 1 80 28?80
p(Y ?2)? ? ?0,004
82 81 81 81
b. Onveuticip(Y ?1):
µ ¶880
p(Y ?1)?1?p(Y ?0)?1? ?0,095
81
EXERCICE 4 5points
Communàtouslescandidats
PARTIEA
Onconsidèrelafonction f définiesurl’intervalle]0;?1[par
f(x)?lnx?2?x.
1. limlnx??1et lim?2?x??2,parsomme limf(x)??1
x!0 x!0 x!0
lim lnx??1et lim ?2?x??1,parsomme lim f(x)??1
x!?1 x!?1 x!?1
2. f eststrictementcroissantesur]0;?1[carc’estlasommededeuxfonctions
strictementcroissantessur]0;?1[:x7?!lnx etx7?!?2?x.
x 0 ?1
?1
f(x)
?1
f estcontinuesur]0;?1[carc’estlasommededeuxfonctionscontinuessur
]0;?1[:x7?!lnx etx7?!?2?x.
Nouvelle-Calédonie 6 novembre2008BaccalauréatS A.P.M.E.P.
f estdonccontinue,strictementcroissantesur]0;?1[,deplus,0estcompris
entrelimf etlimf,d’aprèsle«théorèmedelabijection»,l’équation f(x)?0
?10
admetdoncuneuniquesolution?sur]0;?1[.
Aveclacalculatrice,ontrouve f(1,55)??0,011et f(1,56)?0,004
Lemêmethéorèmeappliquéà[1,55; 1,56]prouveque1,55???1,56(enca-
?2drementà10