Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie novembre 2009

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
Durée : 4 heures [ Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie novembre 2009 \ EXERCICE 1 5 points Commun à tous les candidats Le plan est muni d'un repère orthonormal ( O, ??ı , ??? ) . On considère la fonction f définie sur R par : f (x)= x2e?x . On note f ? la fonction dérivée de f . 1. a. Déterminer les limites de la fonction f en ?∞ et +∞. b. Calculer f ?(x) et déterminer le tableau de variations de f . c. En déduire le signe de f sur R. 2. Pour tout nombre réel a, on considère l'intégrale : I (a)= ∫a 0 f (x)dx. a. Donner selon les valeurs de a le signe de I (a). b. À l'aide d'unedouble intégrationpar partiesmontrer quepour tout nombre réel a : I (a)= 2?2e?a ( 1+a+ a 2 2 ) . c. En déduire pour tout nombre réel a : 1 2e a I (a)= ea ? ( 1+a+ a 2 2 ) . 3. Soient g et h les fonctions définies sur R par g (x)= ex et h(x)= 1+ x+ x 2 2 .

• conjecture concernant la limite


• repère orthonormal


• nature du quadrilatère oacb


• point d'affixe zd


• probabilité


• reste de la division eucli- dienne


• points commun

Sujets

• Base orthonormale
• Probabilité

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 novembre 2009
• Nombre de lectures: 28
• Langue: Français

Extrait

Durée:4heures
[BaccalauréatSNouvelle-Calédonienovembre2009\
EXERCICE 1 5points
Communàtouslescandidats
³ ´!? !?
Leplanestmunid’unrepèreorthonormal O, ı , | .
Onconsidèrelafonction f définiesurRpar:
2 ?xf(x)?x e .
0Onnote f lafonctiondérivéede f.
1. a. Déterminerleslimitesdelafonction f en?1et?1.
0b. Calculer f (x)etdéterminerletableaudevariationsde f.
c. Endéduirelesignede f surR.
Za
2. Pourtoutnombreréela,onconsidèrel’intégrale:I(a)? f(x)dx.
0
a. Donnerselonlesvaleursdea lesignedeI(a).
b. Àl’aided’unedoubleintégrationparpartiesmontrerquepourtoutnombre
réela : µ ¶2a?aI(a)?2?2e 1?a? .
2
c. Endéduirepourtoutnombreréela :
µ ¶21 aa ae I(a)?e ? 1?a? .
2 2
2x
x3. Soient g eth lesfonctionsdéfiniessurRparg(x)?e eth(x)?1?x? .
2
OnnoteC lacourbereprésentativedeg etP celledeh.
a. Montrer que les courbesC etP ont la même tangente au point d’abs-
cisse0.
b. DéduiredesquestionsprécédenteslapositionrelativedescourbesC et
P.
EXERCICE 2 5points
Candidatsn’ayantpaschoisil’enseignementdespécialité
Dansunzoo,l’unique activité d’unmanchot estl’utilisation d’unbassinaquatique
équipéd’untobogganetd’unplongeoir.
Onaobservéquesiunmanchotchoisitletoboggan,laprobabilitéqu’illereprenne
est0,3.
Siunmanchotchoisitleplongeoir,laprobabilitéqu’illereprenneest0,8.
Lorsdupremierpassagelesdeuxéquipementsontlamêmeprobabilitéd’êtrechoi-
sis.
Pourtoutentiernatureln nonnul,onconsidèrel’évènement :
– T :«lemanchotutiliseletobogganlorsdesonn-ièmepassage.»n
– P :«lemanchotutiliseleplongeoirlorsdesonn-ièmepassage.»n
Onconsidèrealorslasuite(u )définiepourtoutentiernatureln>1par:n
u ?p(T )n n
oùp(T )estlaprobabilitédel’évènement T .n nBaccalauréatS A.P.M.E.P.
1. a. Donnerlesvaleursdesprobabilitésp(T ), p(P )etdesprobabilitéscondi-1 1
tionnelles p (T ), p (T ).T 2 P 21 1
1
b. Montrerquep(T )? .2
4
c. Recopieretcompléterl’arbresuivant:
... Tn?1
Tu nn
... Pn?1
... Tn?1
...
Pn
... Pn?1
d. Démontrerquepourtoutentiern>1, u ?0,1u ?0,2.n?1 n
e. À l’aide de la calculatrice, émettre une conjecture concernant la limite
delasuite(u ).n
2. Onconsidèrelasuite(v )définiepourtoutentiernatureln>1par:n
2
v ?u ? .n n
9
1
a. Démontrer que la suite v est géométrique de raison . Préciser son( )n
10
premierterme.
b. Exprimerv enfonctionden.Endéduirel’expressiondeu enfonctionn n
den.
c. Calculerlalimitedelasuite(u ).Cerésultatpermet-ildevaliderlaconjec-n
tureémiseen1.e.?
EXERCICE 2 5points
Candidatsayantchoisil’enseignementdespécialité
Lesquestions1et2sontindépendantes.
Soitn unentiernaturelnonnul.
1. Onconsidèrel’équationnotée(E):
2n3x?7y?10 oùx et y sontdesentiersrelatifs.
a. Détermineruncouple(u ; v)d’entiersrelatifstelsque3u?7v?1.
¡ ¢
Endéduireunesolutionparticulière x ; y del’équation(E).0 0
b. Déterminer l’ensemble descouplesd’entiers relatifs(x ; y)solutions de
(E).
2. Onconsidèrel’équationnotée(G)
2 2 2n3x ?7y ?10 oùx et y sontdesentiersrelatifs.
a. Montrerque100?2(modulo7).
2 nDémontrerquesi(x ; y)estsolutionde(G)alors3x ?2 (modulo7).
b. Reproduireetcompléterletableausuivant:
Reste de la division eucli- 0 1 2 3 4 5 6
diennedex par7
Reste de la division eucli-
2diennede3x par7.
Nouvelle-Calédonie 2 novembre2009
bBaccalauréatS A.P.M.E.P.
nc. Démontrerque2 estcongruà1,2ou4modulo7.
Endéduirequel’équation(G)n’admetpasdesolution.
EXERCICE 3 5points
Communàtouslescandidats
³ ´?! ?! ?!
L’espaceestrapportéaurepèreorthonormal A; AB, AD, AE .
OnconsidèrelecubeABCDEFGHreprésentésurl’ANNEXE,àrendreaveclacopie.
OndésigneparI,JetKlesmilieuxrespectifsdessegments[BC],[BF]et[HF].
1. DéterminerlescoordonnéesdespointsI,JetK.
!? ?! !?
2. Démontrerquelevecteur n (2; 1; 1)estorthogonalàIK età IJ.
Endéduirequ’uneéquationduplan(IJK)est:4x?2y?2z?5?0.
3. a. Déterminerunsystèmed’équationsparamétriquesdeladroite(CD).
b. Endéduirequelepointd’intersectionRduplan(IJK)etdeladroite(CD)µ ¶
3
estlepointdecoordonnées ; 1; 0 .
4
c. PlacerlepointRsurlafigure.
4. Tracer sur la figure la section du cube par le plan (IJK). On peut répondre à
cettequestionsansavoirtraitélesprécédentes.
p
6
5. a. MontrerqueladistancedupointGauplan(IJK)est .
4
b. SoitS lasphèredecentreGpassantparF.
JustifierquelasphèreS etleplan(IJK)sontsécants.
Déterminerlerayondeleurintersection.
EXERCICE 4 5points
Communàtouslescandidats
³ ´!? !?
Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct O, u , v d’unité gra-
p
phique2cm.OnconsidèrelespointsAetBd’affixesrespectivesz ?1?i 3, z ?2i.A B
1. a. Écrirez etz sousformeexponentielle.A B
b. Placer les points A et B sur une figure que l’on complètera au cours de
l’exercice.
c. DéterminerlanaturedutriangleOAB.
2. Onnoter larotationdecentreOquitransformeAenB.Pourtoutpoint M d’
0 0 0affixez,onnoteM l’imagedeM parr etz l’affixedupointM .
zB
a. Calculer un argument du quotient . Interpréter géométriquement ce
zA
résultat.
b. Endéduirel’écriturecomplexedelarotationr.
03. SoientΓlecercledecentreApassantparOetΓ lecercledecentreBpassant
parO.
0Soit C le deuxième point d’intersection deΓ et Γ (autre que O). On note zC
sonaffixe.
0a. JustifierquelecercleΓ estl’imageducercleΓparlarotationr.
b. Calculerl’affixez dumilieuIde[AB].I
c. DéterminerlanatureduquadrilatèreOACB.
d. EndéduirequeIestlemilieude[OC]puismontrerquel’affixedeCest:
³ ´p
z ?1? 2? 3 i.C
Nouvelle-Calédonie 3 novembre2009BaccalauréatS A.P.M.E.P.
p
4. SoitDlepointd’affixez ?2i 3.D
a. JustifierquelepointDappartientaucercleΓ.PlacerDsurlafigure.
0b. PlacerD imagedeDparlarotationr définieàlaquestion2.
0
0Onnotez l’affixedeD .D p
Montrerquez 0?? 3?3i.D
??!?! 05. Montrer que les vecteurs DC et DD sont colinéaires. Que peut-on en dé-
duire?
Nouvelle-Calédonie 4 novembre2009BaccalauréatS A.P.M.E.P.
ANNEXE
Exercice3
Communàtouslescandidats
Àrendreaveclacopie
z
E
H
F
G
A
D
y
B
C
x
Nouvelle-Calédonie 5 novembre2009