Baccalauréat S Polynésie septembre 2005

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
Durée : 4 heures [ Baccalauréat S Polynésie septembre 2005 \ EXERCICE 1 5 points On étudie le mouvement aléatoire d'une puce. Cette puce se déplace sur trois cases notées A, B et C. À l'instant 0, la puce est en A. Pour tout entier naturel n : • si à l'instant n la puce est en A, alors à l'instant (n+1), elle est : soit en B avec une probabilité égale à 13 ; soit en C avec une probabilité égale à 23 . • si à l'instant n la puce est en B, alors à l'instant (n+1), elle est : soit en C, soit en A de façon équiprobable • si à l'instant n la puce est en C, alors elle y reste. On note An (respectivement Bn , Cn ) l'évènement « à l'instant n la puce est en A » (respectivement en B, en C). On note an (respectivement bn , cn) la probabilité de l'évènement An , (respective- ment Bn , Cn ). On a donc : a0 = 1, b0 = c0 = 0. Pour traiter l'exercice, on pourra s'aider d'arbres pondérés. 1. Calculer ak , bk et ck pour k entier naturel tel que 16 k 6 3. 2. a.

• coordonnées des points communs aux courbes ?


• point du cercle de diamètre


• courbe ? au point d'abscisse pi2


• réponse inexacte


• points de la courbe d'abscisses respectives


• repère orthonormal direct

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 septembre 2005
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• Langue: Français

Extrait

Durée : 4 heures [Baccalauréat S Polynésie septembre 2005\ E X E R C IC E points1 5 On étudie le mouvement aléatoire d’une puce. Cette puce se déplace sur trois cases notées A, B et C. À l’instant 0, la puce est en A. Pour tout entier natureln: •si à l’instantnla puce est en A, alors à l’instant (n+1), elle est : 1 soit en B avec une probabilité égale à; 3 2 soit en C avec une probabilité égale à. 3 •si à l’instantnla puce est en B, alors à l’instant (n+1), elle est : soit en C, soit en A de façon équiprobable •si à l’instantnla puce est en C, alors elle y reste. On noteA n (respectivementB n ,C n ) l’évènement « à l’instantnla puce est en A » (respectivement en B, en C). On notea n (respectivementb n ,c n ) la probabilité de l’évènementA n , (respective mentB n ,C n ). On a donc :a 0 =1,b 0 =c 0 =0. Pour traiter l’exercice, on pourra s’aider d’arbres pondérés. 1.Calculera k ,b k etc k pourkentier naturel tel que 1 6 k 6 3. 2. a.Montrer que, pour tout entier natureln,  1   a n+1 =b n 2 a n +b n +c n =1 et 1   b n+1 = =a n 3 1 b.Montrer que, pour tout entier natureln,a n+2 =a n . 6 c.En déduire que, pour tout entier naturelp,  µ ¶ p 1   a 2p =eta 2p+1 =0 6 µ ¶ p . 1 1   b 2p =0 etb 2p+1 = 3 6 3.limMontrer quea n =0. n→+∞ On admet quelimb n =0. Quelle est la limite dec n lorsquentend vers+∞? n→+∞

E X E R C IC E points2 7 ³ ´ −→−→ Le plan est rapporté à un repère orthonormal directO,u,v(unité graphique : 1 cm). Partie A ³ ´ −→−→ 2 2 Dans le repèreO,u,v, on considère la courbeHd’équationy−x=16. ′ 1.Montrer queHest la réunion de deux courbesCetCoùCest la courbe 2 ′ représentative de la fonctionfdéfinie surRparf(x)=x+16 et oùCest l’image deCpar une transformation simple que l’on précisera. 2.Étudier la fonctionf(limites aux bornes de l’ensemble de définition et sens de variation). a.Montrer que la droite d’équationy=xest une asymptote deC.

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³ ´ −→−→ b.TracerHdans le repèreO,u,v. On nomme A et B les points de la courbe d’abscisses respectives−3 et 3. On considère le domaineDdu plan constitué des pointsM(x;y) véri fiant :

2 −3 6 x 6 3 etx+16 6 y 6 5. Hachurer le domaineDet exprimer l’aire deDà l’aide d’une intégrale que l’on ne cherchera pas à calculer.

Partie B π On appellerla rotation de centre O et d’angle−. 4 1. a.Donner l’écriture complexe der. ′ ′′ b.On désigne parxetyles coordonnées du pointM, image du point M(x;y) du plan.  1 ′   x=(x+y) 2 Vérifier que 1 ′   y=(−x+y) 2 ′ ′ Déterminer les coordonnées des points Aet B , images respectives de A ³ ´ −→−→ ′ ′ et B par la rotationrO,et Bdans le repère. Placer les points Au,v. ′ 2.SoitHl’hyperbole d’équationx y=8. ³ ´ −→−→ ′ a.TracerHdans le repèreO,u,v. ′ b.Montrer queHest l’image deHpar la rotationr. ′ ′ 3.SoitDl’image deDpar la rotationr. On admet queDest l’ensemble des p 8 p pointsM(x;y) du plan vérifiant2 6 x 6 et4 2 6 y 6 5 2−x. x ′ a.HachurerD. ′2 b.Calculer l’aire deD.,exprimée en cm −3 En déduire une valeur approchée à 10près de l’aire deD.

E X E R C IC E 3 3points Pour chacune des3questions, une seule des trois propositions est exacte. Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée. Une réponse exacte rapporte1point ; une réponse inexacte enlève0, 5point ; l’absence de réponse est comptée0point. Si le total est négatif, la note est ramenée à zéro. Dans tout l’exercice, le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct ³ ´ −→−→ O,u,v. 1.Le pointMest situé sur le cercle de centre A(−2 ; 5) et de rayon3. Son affixe zvérifie : 2 a.|z−2+5i| =3 ; 2 b.|z+2−5i| =3 ; c.|z−2+5i| =3. 2.On considère trois points A, B et C d’affixes respectivesa,betc, deux à deux distincts et tels que le triangle ABC n’est pas équilatéral. Le pointMest un z−b z−c point dont l’affixezet sontest telle que les nombres complexes c−a b−a imaginaires purs.

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a.Mest le centre du cercle circonscrit au triangle ABC ; b.Mappartient aux cercles de diamètres respectifs [AC] et [AB] ; c.Mest l’orthocentre du triangle ABC. 3.Soit A et B les points d’affixes respectives 1 + i et 5 + 4i, et C un point du cercle de diamètre [AB]. On appelleGl’isobarycentre des points A, B et C et on note z G son affixe. 5 a. | z G −3−2, 5i | = ; 6 1 b.z G −(1+i)=(4+3i) ; 3 1 c.z G −(3+2, 5i)=(4+3i). 3

E X E R C IC E points4 5 L’annexe se rapporte à cet exercice. Elle sera complétée et remise avec la copie à la fin de l’épreuve. Le plan est rapporté ³ ´ −→−→ à un repère orthogonalO,ı,. Soit la fonctionfdéfinie sur [0 ;+∞[ par

−x f(x)=e cos(4x) ³ ´ −→−→ etΓsa courbe représentative tracée dans le repèreO,ı,de l’annexe. On consi −x dère également la fonctiongdéfinie sur [0 ;+∞[ parg(x)=on nommee etCsa ³ ´ −→−→ courbe représentative dans le repèreO,ı,. 1. a.Montrer que, pour tout réelxappartenant à l’intervalle [0 ;+∞[,

−x−x −e 6 f(x) 6 e .

b.En déduire la limite defen+∞. 2.Déterminer les coordonnées des points communs aux courbesΓetC. ³ ´ π 3.On définit la suite (u n ) surNparu n =f n. 2 a.Montrer que la suite (u n ) est une suite géométrique. En préciser la rai son. b.En déduire le sens de variation de la suite (u n ) et étudier sa convergence. 4. a.Montrer que, pour tout réelxappartenant à l’intervalle [0 ;+∞[,

′ −x f(x)= −e [cos(4x)+4 sin(4x)] .

b.En déduire que les courbesΓetCont même tangente en chacun de leurs points communs. −1 5.Donner une valeur approchée à 10près par excès du coefficient directeur π de la droiteTtangente à la courbeΓ.au point d’abscisse 2 Compléter le graphique donné en annexe, en y traçantTetC.

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