Baccalauréat S Sportifs de haut-niveau

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
Durée : 4 heures [ Baccalauréat S Sportifs de haut-niveau \ septembre 1994 EXERCICE 1 4 points Enseignement de spécialité 1. On considère dans le plan un cercle C de centre O et de rayon R. Soit M un point du plan et (D) une droite passant par M , et coupant le cercle C en deux points A et B . Soit A? le symétrique de A par rapport à O. Établir que ????MA ·????MB =????MA ·????MA? , et en déduire que ????MA ·????MB =MO2?R2. 2. Soit EFGH un quadrilatère inscrit dans un cercle, et dont les diagonales (EG) et (FH) se coupent en un point I. Démontrer la relation : ?? IE · ?? IG = ?? IF · ??? IH . 3. Soit C1 et C2 deux cercles de centres O11 et O2 distincts, de rayons R1 et R2. Déterminer l'ensemble E des points M du plan tels que MO21?R21 =MO22?R22 . Représenter C1, C2 et E pour R1 = 3 cm, R2 = 2 cm et O1O2 = 6 cm. EXERCICE 2 4 points Le plan complexe P est rapporté à un repère orthonormal ( O, ??u , ??v ) . On désigne par s l'application qui à tout point M de P , de coordonnées (x ; y) as- socie le point M ? de coordonnées (x? ; y ?) tel que : { x? = ?x? y +2 y ? = x? y ?1.

• cercle


• ?? ig


• cosx sinx


• points enseignement de spécialité


• cercles de centres o11


• similitude plane directe

Sujets

• Cercle

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 septembre 1994
• Nombre de lectures: 35
• Langue: Français

Extrait

Durée : 4 heures

[Baccalauréat S Sportifs de hautniveau\ septembre 1994

E X E R C IC E 1 Enseignement de spécialité

4 points

1.On considère dans le plan un cercleCde centre O et de rayonR. SoitMun point du plan et (D) une droite passant parM, et coupant le cercle Cen deux pointsAetB. ′ SoitAle symétrique de A par rapport à O. −−→−−→−−→ −−−→ −−→−−→ ′2 2 Établir queM A∙M B=M A∙M A, et en déduire queM A∙M B=MO−R. 2.Soit EFGH un quadrilatère inscrit dans un cercle, et dont les diagonales (EG) et (FH) se coupent en un point I. Démontrer la relation : −→ −→−→−→ I E∙I G=I F∙I H. 3.SoitC 1 etC 2 deux cercles de centres O 1 1 et O 2 distincts, de rayonsR 1 etR 2 . Déterminer l’ensembleEdes pointsMdu plan tels que

2 22 2 MO−R=MO−R. 1 12 2 ReprésenterC 1 ,C 2 etEpourR 1 =3 cm,R 2 =2 cm et O 1 O 2 =6 cm.

E X E R C IC E points2 4 ³ ´ −→−→ Le plan complexePO,est rapporté à un repère orthonormalu,v. On désigne parsl’application qui à tout pointMdeP, de coordonnées (x;y) as ′ ′′ socie le pointMde coordonnées (x;y) tel que : ½ ′ x= −x−y+2 ′ y=x−y−1. ′ ′ 1.Déterminer l’affixezdeMen fonction de l’affixezdeM. 2.Démontrer quesest une similitude plane directe. Préciser son angle, son rap port et son centre I. 3.Soitgl’application qui à tout pointMdePassocie l’isobarycentreGdes ′ ′′′ pointsM,M=s(M) etM=s(M). ′′ a.Calculer, en fonction de l’affixezdeM, les affixes des pointsMetG. b.Démontrer quegest une similitude plane directe. Quel est son centre ? c.Déterminer l’affixe du pointM 0 tel queg ( M 0 )) soit le point O. ′ ′′ Reporter sur une figure les pointsM 0 ,M,Mcorrespondants, ainsi que 0 0 le point I, centre de la similitudes.

P R O B L È M E

4 points

Partie A Soitα2un nombre réel appartenant à l’intervalle [0 ;π]. On considère la suite géo métriqueude premier termeu 0 =cosαet de raison sinα.

Baccalauréat S

A. P. M. E. P.

1.Exprimeru n en fonction den, et déterminer la limite deu n lorsquentend vers+∞. 2.Soit la suitesde terme générals n =u 0 +u 1 + ∙ ∙ ∙ +u n . Exprimers n en fonction denet déterminer la limite des n lorsquentend vers +∞. Partie B ³ ´ −→−→ Le plan est muni d’un repère orthonormalO,ı,, d’unité 4 cm. 1.Tracer, sans justification, la courbeC 0 représentative de la fonctionS 0 définie · ¸ 3π sur ;2πparS 0 (x)=cosx. 2 · ¸ 3π 2.SoitS 1 ; 2la fonction définie surπpar 2 S 1 (x)=cosx+cosxsinx. ′ Calculer la dérivée deS 1 et exprimerS(x) comme fonction de sinx. 1 · ¸ 3π ′ En déduire le signe deS(x) et les variations deS 1 2sur ;π. 1 2 · ¸ 3π 3.SoitSla fonction définie sur; 2πpar 2 cosx S(x)=. 1−sinx · ¸ 3π Calculer la dérivée deS; en déduire les variations deS2sur ;π. 2 · ¸ 3π 4.Démontrer pourx∈; 2πles inégalités 2 S 1 (x) 6 S(x) 6 S 0 (x). Tracer les courbes représentativesC 1 de la fonctionS 1 etCde la fonctionS. Partie C Pour tout nombre entier natureln, on considère la fonctionS n définie sur [0 ; 2π] par ¡ ¢ n S n (x)=cosx1+sinx+ ∙ ∙ ∙ +sinx, et on pose Z 2π I n =S n (x) dx. 3π 2 Z 2π 1.CalculerI 0 ,I 1 ainsi queI=S(x) dx. 3π 2 Vérifier queI 1 6 I 6 I 0 . Comment les inégalités peuventelles être illustrées graphiquement ? 2.Montrer que, pour tout entier natureln, on a (I)n+ 1 n+1 (−1) I n+1 −I n =. n+2 n+1 1 1(−1) En déduire queI n =1− + +∙ ∙ ∙ +. 2 3n+2

Sportifs de hautniveau

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Baccalauréat S

A. P. M. E. P.

3.Soit les suitesAetBde termes générauxA n =I 2n etB n =I 2n+1 . Démontrer que : a.la suiteAest décroissante et la suiteBest croissante ; b.la suite de terme généralA n −B n converge vers 0. 4. a.Démontrer que, pour tout entier naturelnet pour tout réelxapparte · ¸ 3π nant à; 2πon a : 2 n+1 S(x)−S n (x)=(sinx)S(x), puis que :

S 2n+1 (x) 6 S(x) 6 S 2n (x).

b.En déduire que, pour tout entier natureln,

B n 6 I 6 A n . Démontrer queAetBconvergent versI.

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