Baccalauréat STI France

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
Durée : 4 heures [ Baccalauréat STI France \ Génie électronique, électrotechnique, optique septembre 2005 L'utilisation d'une calculatrice est autorisée. Une feuille de papier millimétré est mis à la disposition des candidats. EXERCICE 1 5 points On désigne par i le nombre complexe de module 1 et d'argument π 2 . Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct ( O, ?? u , ?? v ) d'unité 2 cm. ? est le cercle de centre O et de rayon 1. A est le point d'affixe a = p 3 2 ? 1 2 i. 1. Démontrer que le point A appartient au cercle ?. 2. Soit r la transformation qui, à tout point M d'affixe z, associe le point M ? d'af- fixe z ? = e?i π 3 z. a. Démontrer que l'affixe b du point B image de A par r est égal, à ?i. b. Le point B appartient-il au cercle ? ? c. Démontrer que le triangle OAB est équilatéral. 3. Donner l'affixe c du point C diamétralement opposé au point A sur le cercle ?. 4. Soit t la transformation du plan qui, à tout point M d'affixe z, associe le point M ? d'affixe z ? = z+ p 3 2 ? 1 2 i.

• solution de l'équation différen- tielle


• point d'affixe a6


• cm sur l'axe des ordonnées


• unique point


• equation différentielle


• feuille de papier millimétré


• repère orthonormal direct

Sujets

• France 3
• France 2
• Équation différentielle

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 septembre 2005
• Nombre de lectures: 25
• Langue: Français

Extrait

Durée : 4 heures

[Baccalauréat STI France\ Génie électronique, électrotechnique, optique septembre 2005

L’utilisation d’une calculatrice est autorisée. Une feuille de papier millimétré est mis à la disposition des candidats.

E X E R C IC E 1 5points π On désigne par i le nombre complexe de module 1 et d’argument. 2 ³ ´ −→−→ Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal directO,u,vd’unité 2 cm. Γest le cercle de centre O et de rayon 1. 3 1 A est le point d’affixea= −i. 2 2 1.Démontrer que le point A appartient au cercleΓ. ′ 2.Soitrla transformation qui, à tout pointMd’affixez, associe le pointMd’af π ′ −i 3 fixez=ez. a.Démontrer que l’affixebdu point B image de A parrest égal, à−i. b.Le point B appartientil au cercleΓ? c.Démontrer que le triangle OAB est équilatéral. 3.Donner l’affixecdu point C diamétralement opposé au point A sur le cercleΓ. 4.Soittla transformation du plan qui, à tout pointMd’affixez, associe le point 3 1 ′ ′ Md’affixez=z+ −i. 2 2 Démontrer que l’affixeddu point D image de C par la transformationtest égale à i. ³ ´ −→−→ 5.Tracer le cercleΓet placer les points A, B, C, D dans le repèreO,u,v. 6.Démontrer que le quadrilatère ABCD est un rectangle. a.Écrire le nombre complexeasous forme exponentielle. 6 b.Déterminer la forme algébrique dea. 6 c.Le point d’affixeaappartientil àΓ?

E X E R C IC E points2 4 Un circuit est composé d’une bobine d’inductanceL, mesurée en farads, d’un conden sateur de capacité C, mesurée en henrys, et d’un interrupteur. L’unité de temps est la seconde

Baccalauréat STI Génie électronique, électrotechnique, optique

C

i(t)

A. P. M. E. P.

u(t) L

On sait que : −6−3 C=125∙L10 et=200∙10 . À l’instantt=0, on ferme l’interrupteur, le circuit est alors parcouru par un courant. On désigne parq(t) la charge, mesurée en coulombs, du condensateur,i(t), l’in tensité, mesurée en ampères, du courant qui parcourt le circuit etu(t) la tension, mesurée en volts, aux bornes de la bobine à l’instantt. −3 À l’instantt=0, la charge du condensateur, mesurée en coulombs, est 10et l’in tensité du courant qui parcourt le circuit est nulle. On a donc les conditions initiales −3′ suivantes :q(0)=10 etq(0)=0. 1.tion différenOn admet que la charge du condensateur est solution de l’équa tielle (E) : 1 ′′ q(t)+q(t)=0. LC a.Résoudre l’équation différentielle (E). b.Démontrer que l’unique solution de l’équation différentielle (E) verifiant −3 les conditions initiales est la fonctionqdéfinie parq(t)=10 cos(200t) oùtest un réel positif. 2.Les fonctionsietudéfinies dans le préambule vérifient pour toutt:i(t)= ′ ′′ −q(t) etu(t)= −L(t), oùiest la dérivée dei. a.Montrer que, pour toutt,u(t)= −8 cos(200t). b.La tension efficace U eff aux bornes de la bobine est définie par : Z π 100 100 2 2 (U eff ) =[u(t)] dt. π 0 Déterminer la valeur exacte de U eff µ ¶ 1+cos 2a 2 on pourra utiliser la relation cosa=. 2

P R O B L È M E A. Étude d’une fonction auxiliaire On considère la fonctiongdéfinie sur l’ensemble des réels par 3 2x x g(x)=e−5e . 2 µ ¶ 3 x x 1.Montrer que :g(x)=e e−5 . 2 2.étudier le signe deg(x) surR.

France

2

11 points

septembre 2005

Baccalauréat STI Génie électronique, électrotechnique, optique

A. P. M. E. P.

B. Étude defet tracé de sa courbe représentative Soit la fonctionfdéfinie surRpar 3 2x x f(x)=e−5e−2x+1. 2 ³ ´ −→−→ On noteCsa courbe représentative dans le plan muni d’un repère orthogonalO,ı, d’unités graphiques : 2 cm sur l’axe des abscisses et 1 cm sur l’axe des ordonnées. 1.Vérifier que pour tout réelx: µ ¶ 3 2x1 x x f(x)=e e−5− +. x x 2 ee En déduire la limite defen+∞. 2. a.Déterminer la limite defen−∞. b.Montrer que la droiteDd’équationy= −2x+1 est une asymptote à la courbeCau voisinage de−∞. c.Montrer que pour tout réelx,g(x)=f(x)−(−2x+1). En déduire la position de la courbeCpar rapport à la droiteDsurR. ′ 3. a.Calculerf(x) et vérifier que, pour tout réelx, ¡ ¢¡ ¢ ′x x f(x)=3e+1 e−2 .

′ b.Étudier le signe def(x) et dresser le tableau de variations def. On précisera la valeur exacte du minimum. 2x x 4. a.Résoudre dansRl’équation 3e−5e=0. b.En déduire qu’il existe un unique point A de la courbeCoù la tangente Test parallèle à la droiteD. 5. a.Montrer que l’équationf(x)=0 admet une solution uniqueαdans l’in tervalle [1 ; 2]. −2 b.Donner un encadrement deαd’amplitude 10. 6.Sur une feuille de papier millimetre, tracerD,TetC.

C. Calcul d’aire On considère le domaineΔdu plan compris entre la droiteD, la courbeC f et les droites d’équationsx=0 etx=λoùλest un réel strictement négatif. On noteA(λ) la mesure, exprimée en unités d’aire, de l’aire de ce domaine. 1.Hachurer sur le graphique le domaineΔ. 2.Démontrer que, pout tout réel strictement négatifλ, µ ¶ 17 3 2λ λ A(λ)= +e−5e . 4 4

3.Calculer limA(λ). λ→−∞

France

3

septembre 2005