Baccalauréat STI Génie mécanique, civil France

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
Durée : 4 heures [ Baccalauréat STI Génie mécanique, civil France \ juin 2007 L'utilisation d'une calculatrice est autorisée. Du papier millimétré est mis la disposition des candidats. Le candidat doit traiter les deux exercices et le problème. EXERCICE 1 4 points On considère l'équation différentielle (E) : 4y ?? +π2y = 0 où y est une fonction nu- mérique deux fois dérivable de la variable réelle x. 1. Résoudre l'équation (E). 2. Déterminer la fonction g , solution de cette équation, dont la courbe représen- tative dans un repère du plan passe par le point N de coordonnées ( 1 2 ; p 2 2 ) et qui, en ce point, admet une tangente parallèle à l'axe des abscisses. 3. Vérifier que, pour tout nombre réel x, g (x)= p 2 2 cos (π 2 x? π 4 ) . 4. Calculer la valeur moyenne de la fonction g sur l'intervalle [0 ; 1]. EXERCICE 2 5 points i désigne le nombre complexe de module 1 et d'argument π 2 . 1. Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation z2+2z+10= 0. 2. Déterminer les nombres complexes c et d vérifiant le système : { ?2c+d = 1+13i ?c+d = 4+8i 3.

• droites d'équations respectives


• construction de la courbe asso- ciée


• triangle bad


• repère du plan


• axe des abscisses

Sujets

• France 3
• France 2

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 juin 2007
• Nombre de lectures: 33
• Langue: Français

Extrait

Durée : 4 heures

[Baccalauréat STI Génie mécanique, civil France\ juin 2007

L’utilisation d’une calculatrice est autorisée. Du papier millimétré est misla disposition des candidats. Le candidat doit traiter les deux exercices et le problème.

E X E R C IC E points1 4 ′′2 On considère l’équation différentielle (E) : 4y+πy=0 oùyest une fonction nu mérique deux fois dérivable de la variable réellex. 1.Résoudre l’équation (E). 2.Déterminer la fonctiong, solution de cette équation, dont la courbe représen Ã ! 1 2 tative dans un repère du plan passe par le point N de coordonnées ; 2 2 et qui, en ce point, admet une tangente parallèle à l’axe des abscisses. p ³ ´ 2π π 3.Vérifier que, pour tout nombre réelx,g(x)=cosx−. 2 24 4.Calculer la valeur moyenne de la fonctiongsur l’intervalle [0 ; 1].

E X E R C IC E 2 π i désigne le nombre complexe de module 1 et d’argument. 2 1.Résoudre dans l’ensemble des nombres complexes l’équation 2 z+2z+10=0.

5 points

2.Déterminer les nombres complexescetdvérifiant le système : ½ −2c+d=1+13i −c+d=4+8i ³ ´ −→−→ 3.O,Le plan complexe est muni d’un repère orthonormalu,vd’unité gra phique 1 cm. a.Placer sur une figure les points A, B, C et D dont les affixes respectives sont : −1+3i,−1−3i, 3−75i et+3i. b.Démontrer que le triangle BAD est rectangle en A. c.Démontrer que le triangle BCD est rectangle en C. d.cleEn déduire que les quatre points A, B, C et D sont sur un même cer dont on déterminera le centreΩet le rayon. Tracer le cercle sur la figure.

P R O B L È M E Soitfla fonction définie sur l’intervalle ]0 ;+∞[ par x e x f(x)=e lnx+. x

11 points

Baccalauréat STI Génie mécanique, énergétique, civil

A. P. M. E. P.

On appelleCla courbe représentative de la fonctionfdans un repère orthogonal ³ ´ −→−→ O,ı,axe desd’unités graphiques 4 cm sur l’axe des abscisses et 1 cm sur l’ ordonnées. Partie A L’objet de cette première partie est l’étude des limites de la fonctionfaux bornes de son ensemble de définition. 1.Déterminer la limite defen+∞. 2. a.Montrer que, pour tout nombre réel strictement positifx, x e f(x)=(xlnx+1). x On rappelle que limxlnx=0. En déduire la limite defen 0. x→0 b.Montrer que la courbeCadmet une asymptoteDdont on donnera une équation. Partie B : étude d’une fonction intermédiaire Soitgla fonction définie sur l’intervalle ]0 ;+∞[ par 2 1 g(x)=lnx+ − 2 x x ′ 1. a.On désigne pargla dérivée de la fonctiong. Montrer que, pour tout nombre réel strictement positifx, 2 x−2x+2 ′ g(x)=. 3 x ′ b.Étudier le signe deg(x). En déduire que la fonctiongest strictement croissante sur l’intervalle ]0 ;+∞[. L’étude des limites n’est pas demandée. 2. a.Démontrer que l’équationg(x)=0 admet une solution uniqueαdans · ¸ 1 l’intervalle ;1 . 2 −2 b.deDonner un encadrement d’amplitude 10α. 3.Déduire des questions B 1 et B 2 le signe deg(x), pourxappartenant à l’inter valle ]0 ;+∞[. Partie C : étude des variations de la fonctionfet construction de la courbe asso ciée ′ ′′x 1. a.fdésignant la dérivée def, calculerf(x) et montrer quef(x)=eg(x), pour tout nombrexappartenant à l’intervalle ]0 ;+∞[. ′ b.En déduire le signe def(x) sur l’intervalle ]0 ;+∞[. 2. a.Dresser le tableau de variations de la fonctionf. −1 b.près deCalculer une valeur approchée à 10f(α), en prenant 0,6 pour valeur approchée deα. 3. a.Reproduire et compléter le tableau cidessous. x2,25 2,51,75 21,25 1,50,75 10,25 0,5 f(x) à −1 10 près b.Construire l’asymptoteDet la courbeCpourxappartenant à l’inter valle ]0 ; 2,5].

Partie D : calcul d’aire

France

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juin 2007

Baccalauréat STI Génie mécanique, énergétique, civil

A. P. M. E. P.

x 1.Montrer que la fonctionF, définie sur l’intervalle ]0 ;+∞[ parF(x)=e lnx est une primitive def. 2.On désire calculer l’aire de la partieEdu plan comprise entre la courbeC, l’axe des abscisses et les droites d’équations respectivesx=1 etx=2. a.Hachurer la partieEsur le dessin. 2 b.Déterminer la valeur exacte de l’aire deEen unités d’aires, puis en cm.

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