Baccalauréat STI Génie mécanique, civil Métropole

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
Durée : 4 heures [ Baccalauréat STI Génie mécanique, civil Métropole \ 23 juin 2009 EXERCICE 1 6 points 1. a. On lit sur le graphique : f (0)= 3, f (8)= 4, f ?(0)= 0, f ?(8)= 0 b. Sur [0 ; 8], f ?(x)= 3ax2+2bx +c. c. On a : ? ? ? ? ? ? ? f (0) = 3 f (8) = 4 f ?(0) = 0 f ?(8) = 0 ?? ? ? ? ? ? ? ? d = 3 512a +64b +8c +d = 4 c = 0 192a +16b = 0 d. Il reste à résoudre : { 512a +64b = 1 12a +b = 0 ?? { 512a +64b = 1 b = ?12a ?? ? ? ? ? ? a = ? 1 256 b = 3 64 On a donc f (x)=? 1 256 x3+ 3 64 x2+3. 2. a. La surface dont on cherche l'aire se décompose en : • un demi-disque de rayon 3 ; • un demi-disque de rayon 4 ; • la surface limitée par la courbeC l'axe des abscisses, la droite d'équation x = 0 et la droite d'équation

• précédente autour de l'axe des ab


• finalement oi


• cos pi8


• axe des abscisses


• point commun de coordonnées


• ?4 x4


• ??


• demi-disque de rayon

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 juin 2009
• Nombre de lectures: 18
• Langue: Français

Extrait

Durée:4heures
[BaccalauréatSTIGéniemécanique,civilMétropole\
23juin2009
EXERCICE 1 6points
1. a. Onlitsurlegraphique:
′ ′f(0)=3, f(8)=4, f (0)=0, f (8)=0
′ 2b. Sur[0; 8], f (x)=3ax +2bx+c.
c. Ona:
 
f(0) = 3 d = 3   
f(8) = 4 512a+64b+8c+d = 4
⇐⇒′ f (0) = 0 c = 0 ′f (8) = 0 192a+16b = 0
d. Ilresteàrésoudre: 
1? ?  a = −512a+64b = 1 512a+64b = 1 256⇐⇒ ⇐⇒ 312a+b = 0 b = −12a  b =
64
1 33 2Onadonc f(x)=− x + x +3.
256 64
2. a. Lasurfacedontoncherchel’airesedécomposeen:
• undemi-disquederayon3;
• undemi-disquederayon4;
• lasurfacelimitéeparlacourbeC l’axedesabscisses,ladroited’équation
x=0etladroited’équation x=8;
• la surface symétrique de de la précédente autour de l’axe des ab-
scisses.
b. L’aireA demandéeestégaleà:
? ? ? ?Z8 8π×9 π×16 1 3 1 33 2 4 2A = + +2 − x + x +3 =12,5π+ − x + x +3 =
2 2 256 64 256×4 640 0
3 ? ?1 84 212,5π−2× ×8 +2× +2×3×8=12,5π+56 m .
256×4 64 ? ?
2LacalculatricedonneA ≈95,269≈95,3 m .
3. LevolumeV estégalà:
? ?
3V =1,6(12,5π+56)=20π+89,6 soitV ≈152,4≈152 m .
EXERCICE 2 5points
? ? ? ?2 21 1 1 121. a. Onadefaçonévidente|z |=1;|z | = p + p = + =1.A B
2 22 2
Donc|z |=1.B
Conclusion : les points A et B appartiennent au cercle centré en O de
rayon1.A.P.M.E.P. BaccalauréatSTIGéniemécanique,énergétique,civil
p p
1 1 1 2 2 π πb. z =p (1+i)=p +ip = +i =cos +isin .B 4 42 22 2 2
π
Unargumentdez estdonc .B
4
c. Voirlafigure
d. LepointIseplaceenconstruisantlamédiatricede[AB].
L’affixe deI est égale à la demi-somme desaffixes deAet deB, soit z =Ip p p p2 21+ +i 2+ 2 22 2
= +i .
2 4 4
? ! ? !p p p p p2 2 22+ 2 2 (2+ 2) +2 4+2+4 2+2 8+4 222. a. Ona|z| = + = = = =I
4 4 16 16 16
p
2+ 2
.
4 s pp p
2+ 2 2+ 2
FinalementOI=|z|= = .I
4 2
b. DansletriangleisocèleOAB(puisque OA=OB=1), ladroite(OI)médi-? ? ? ?−→ −→ −→ −→ πaneestaussibissectricedel’angle OA, OB ,donc OA, OI = 8
c. z adoncpourécrituretrigonométrique:I
p p
? ?2+ 2 π πz = cos +isinI 8 82
3. Enidentifiantlespartiesréellesde z obtenuesauxquestions1. d. et2. c.,onI
obtient: p p
π 2+ 2
cos = .
8 2
1
B
→−
v
I
A
→−O
−1 u 1
−1
Métropole 2 23juin2009
bbbA.P.M.E.P. BaccalauréatSTIGéniemécanique,énergétique,civil
PROBLÈME 9points
PartieA:étuded’unefonctionauxiliaire
21 1+2x
′1. g (x)=− −2x=− .
x x
2 ′Sur]0; +∞[, x>0et1+2x >1>0,doncg (x)<0.
Lafonction g estdoncdécroissantesur]0; +∞[.
2. Ona g(1)=1−0−1=0. Lafonctionétantdécroissante:
• g(x)>0si0<x<1;
• g(1)=0;
• g(x)<0si x>1.
PartieB:étudedelafonction f
1. a. Comme limlnx=−∞et limx=0, limg(x)=−∞.
x→0 x→0 x→0
lnx
b. Onsaitque lim =0et lim −x=−∞,ona lim g(x)=−∞.
x→+∞ x→+∞ x→+∞x
lnx
c. Soitd lafonctiondéfiniesur]0; +∞[par: d(x)=g(x)−(−x+2)= .
x
Onavuque lim =0.
x→+∞
Ceci montre que la droiteD d’équation y =−x+2 est asymptote à la
courbeC.
lnx
d. Ilfautétudierlesigneded(x)= quiestceluidelnx. Donc:
x
• Si0<x<1,C estaudessousdeD.
• Six=1,C etD ontunpointcommundecoordonnées(1;1);
• Six>1,C estaudessusdeD.
2. a. f estdérivablesur]0; +∞[et
1 2×x−lnx 1−lnx 1−lnx−x g(x)x′f (x)= −1= −1= = .
2 2 2 2x x x x
2 ′b. Comme x > 0, le signe de f (x) est celui de g(x) vu en A. 2. D’où le
tableaudevariationsde f : (avec f(1)=−1+2=1.)
x 0 1 +∞
′ −f (x) + 0
1
f(x)
−∞ −∞
3. a. Le coefficient directeur deD est égal à−1. Il faut donc chercher pour
′quellevaleurdex lenombredérivé f (x)estégalà−1,soit:
21−−x 2 2=−1 ⇐⇒ 1−−x =−x ⇐⇒ 1−lnx=0 ⇐⇒ 1=lnx ⇐⇒ e=x.
2x
ln(e) 1
Et f(e= −e+2= +2−e.
e e? ?
1
OnadoncA e; +2−e .
e
Métropole 3 23juin2009A.P.M.E.P. BaccalauréatSTIGéniemécanique,énergétique,civil
b. LatangentecherchéeestlatangenteenA.Unedeseséquationsestdonc
1
y−f(e)=−1(x−e) ⇐⇒ y=−x+e+f(e) ⇐⇒ y=−x+e+ +2−e⇐⇒
e
1
y=−x+ +2.
e
4. a. Sur [0 ; 1], f est croissante de moins l’infini à+1 ; comme elle est déri-
vable,ilexisteunnombreuniqueα∈]0; 1[telque f(α)=0.
b. La calculatrice donne f(0,48)≈−0,091 et f(0,49)≈0,054, donc 0,48<
α<0,49.
5.
y
1
xO B A1 2 3 4 5
−1
C
−2
D
−3
−4
−5
Métropole 4 23juin2009
bb