Baccalauréat STI Génie mécanique, civil Métropole

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
Durée : 4 heures [ Baccalauréat STI Génie mécanique, civil Métropole \ 23 juin 2009 L'utilisation d'une calculatrice est autorisée. Du papier millimétré est mis la disposition des candidats. Le candidat doit traiter les deux exercices et le problème. EXERCICE 1 6 points Pour la construction d'une piscine privée, un architecte a imaginé la forme de la fi- gure 1 (vue de dessus de la piscine), où ( O, ?? ı , ?? ? ) est un repère orthonormal d'unité graphique 1 cm. Le périmètre de cette piscine est constitué de deux demi-cercles : ØABde centreO et de rayon 3, et ÙCDde centreO? et de rayon 4, reliés par deux courbes C et C ?. L'axe des abscisses est un axe de symétrie de la figure. La courbe C reliant les points A et D est la courbe représentative d'une fonction f définie pour tout réel x de l'intervalle [0 ; 8]. 10 ?? ı ?? ? O x R = 4 A B C D figure 1 O?8 C C ? r = 3 1. a. En remarquant que la courbeC passe par le point A d'abscisse 0, le point D d'abscisse 8, et qu'en ces points elle admet une tangente horizontale, déterminer les valeurs de f (0), f (8), f ?(0) et f ?(8).

• axe de symétrie de la figure


• ?? ?


• axe des abscisses


• question précédente


• courbe représentative dans le repère


• argument π


• aire demandée

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 juin 2009
• Nombre de lectures: 86
• Langue: Français

Extrait

Durée : 4 heures

[Baccalauréat STI Génie mécanique, civil Métropole\ 23 juin 2009

L’utilisation d’une calculatrice est autorisée. Du papier millimétré est misla disposition des candidats. Le candidat doit traiter les deux exercices et le problème.

E X E R C IC E points1 6 Pour la construction d’une piscine privée, un architecte a imaginé la forme de la fi ³ ´ −→−→ gure 1 (vue de dessus de la piscine), oùO,ı,est un repère orthonormal d’unité graphique 1 cm.Le périmètre de cette piscine est constitué de deux demicercles : ′ Ø Ù AB de centre O et de rayon 3, et CD de centre Oet de rayon 4, reliés par deux courbes ′ CetC. L’axe des abscisses est un axe de symétrie de la figure. La courbeConctionreliant les points A et D est la courbe représentative d’une ff définie pour tout réelxde l’intervalle [0 ; 8].

A

−→  −→ O ı

C

8

′ O

D

10

x

B ′ C C figure 1 1. a.En remarquant que la courbeCpasse par le point A d’abscisse 0, le point D d’abscisse 8, et qu’en ces points elle admet une tangente horizontale, ′ ′ déterminer les valeurs def(0),f(8),f(0) etf(8). b.On suppose qu’il existe quatre nombres réelsa,b,cetdtels que pour 3 2 tout réelxde l’intervalle [0 ; 8],f(x)=a x+b x+c x+d. ′ Déterminer l’expression def(x) en fonction dea,b,c,detx. c.Déduire des questions précédentes quec=0 etd=3 et que les réelsaet ½ 512a+64b=1 b.vérifient le système : 192a+16b=0 d.Résoudre le système précédent. 2.Par la suite, on admet que pour tout réelxde l’intervalle [0 ; 8], 1 3 3 2 f(x)= −x+x+3, et quefest strictement positive sur [0 ; 8]. 256 64 2 Le but de cette question est de déterminer l’aire de la piscine, en m, sachant que la figure 1 est une représentation à l’échelle 1/100 de la réalité.

A. P. M. E. P.

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a.Expliquer une démarche qui permet d’obtenir l’aire demandée. On rap pelle que toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, pourra être prise en compte. 2 b.Calculer, en m, la valeur exacte de l’aire de la piscine réelle.Donner 2 également la valeur arrondie à 0,1 mde cette aire.

3.Calculer,La profondeur d’eau de cette piscine est constante, égale à 1,60 m. 3 en m, la valeur exacte du volume d’eau contenue dans cette piscine. Donner 3 également la valeur arrondie au mde ce volume.

E X E R C IC E points2 5 ³ ´ −→−→ Le plan complexe est muni d’un repère orthonormalO,u,vd’unité graphique 5 cm. 1 On considère les points A et B d’affixes respectivesz A =1 etz B =(1+i), où i 2 π désigne le nombre complexe de module 1 et d’argument. 2 π Le but de cet exercice est de déterminer la valeur exacte de cos 8 1. a.Montrer que les points A et B appartiennent au cercleCde centre O et de rayon 1. b.Déterminer un argument dez B . c.Tracer le cercleC, et placer les points A et B. d.Soit I le milieu du segment [AB] etz I son affixe.Placer I sur la figure et p p 2+2 2 prouver quez I = +i. 4 4 p 2+2 2. a.Calculer la distance OI, et prouver que OI=. 2  b.Démontrer que la droite (OI) est la bissectrice de l’angle AOB. En déduire un argument dez I . c.Donner la forme trigonométrique dez I . 3.Montrer à l’aide des résultats obtenus aux questions précédentes que la valeur π2+2 exacte de cosest . 8 2

P R O B L È M E 9 points ³ ´ −→−→ Le plan est muni d’un repère orthogonalO,ı,d’unités graphiques 2 cm sur l’axe des abscisses et 1 cm sur l’axe des ordonnées. On s’intéresse, dans ce problème, à la fonctionfdéfinie sur l’intervalle ]0 ;+ ∞[ par :

lnx f(x)= −x+2. x ³ ´ −→−→ On noteCsa courbe représentative dans le repèreO,ı,.

Partie A : étude d’une fonction auxiliaire Soitgla fonction définie sur l’intervalle ]0 ;+ ∞[ par

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2 g(x)=1−lnx−x.

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A. P. M. E. P.

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′ 1.Calculerg(x) pour toutxappartenant à l’intervalle ]0 ;+ ∞[. Endéduire le sens de variation de la fonctiongsur l’intervalle ]0 ;+ ∞[.

2.Calculerg(1) et en déduire le signe deg(x) pourxappartenant à l’intervalle ]0 ;+ ∞[.

Partie B : étude de la fonctionf

1. a.Déterminer la limite de la fonctionfen 0.Interpréter graphiquement cette limite. b.Déterminer la limite de la fonctionfen+∞. c.Justifier que la droiteDd’équationy= −x+2 est asymptote à la courbe C. d.Étudier la position de la courbeCpar rapport à la droiteD. 2. a.Montrer que pour toutxappartenant à l’intervalle ]0 ;+ ∞[, g(x) ′ f(x)=. 2 x b.Établir le tableau de variations complet de la fonctionfsur l’intervalle ]0 ;+ ∞[. 3. a.Déterminer les coordonnées du point A de la courbeCtel que la tan gente en ce point soit parallèle à l’asymptoteD. b.Déterminer une équation de la droiteT, tangente à la courbeCau point d’abscisse e. On rappelle que e est le nombre réel tel que ln e=1. 4. a.Démontrer que l’équationf(x)=0 admet une solution uniqueαdans l’intervalle ]0 ;1[. On appelle B le point deCd’abscisseα. b.Donner un encadrement d’amplitude 0,01 deα. ³ ´ −→−→ 5.Dans le repèreO,ı,, placer les points A et B puis tracer les droitesD,T et la courbeC.

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