Baccalauréat STI La Réunion

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Niveau: Secondaire, Lycée
Durée : 4 heures [ Baccalauréat STI La Réunion \ Génie des matériaux, génie mécanique B, C, D, E juin 2006 EXERCICE 1 4 points Partie A On désigne par (E) l'équation différentielle : 2y ?+ y = 0 où y est une fonction numé- rique définie et dérivable sur l'ensemble des nombres réels. 1. Résoudre l'équation (E). 2. Déterminer la solution particulière f de (E) telle que f (0)= 0,5. Partie B La direction d'unmusée vient de faire l'acquisition d'une nouvelle statue et elle sou- haite réaliser un socle en bois pour y déposer celle-ci. On appelle V le volume de ce socle dont la forme est donnée sur la feuille annexe jointe. Le socle est constitué de deux parties. 1. La première partie est un cylindre de révolution de 0,50 m de rayon et de 0,50 m de hauteur. Calculer la valeur exacte, en m3, du volume V1 de cette première partie. 2. Le volume V2 de la deuxième partie est celui du solide de révolution engendré par la rotation autour de l'axe des abscisses, du domaine plan limité par l'axe des abscisses, la courbe représentative de la fonction f d'équation y = 0,5e?0,5x et les droites d'équations x = 0 et x = 0,5.

  • triangle rectangle

  • génie mécanique

  • feuille annexe

  • volume

  • point d'affixe za

  • repère orthonormal direct


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Publié le 01 juin 2006
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Langue Français
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Durée : 4 heures
[Baccalauréat STI La Réunion\ Génie des matériaux, génie mécanique B, C, D, E juin 2006
EX E R C IC Epoints1 4 Partie A On désigne par (E) l’équation différentielle : 2y+y=0 oùyest une fonction numé rique définie et dérivable sur l’ensemble des nombres réels. 1.Résoudre l’équation (E). 2.Déterminer la solution particulièrefde (E) telle quef(0)=0, 5.
Partie B La direction d’un musée vient de faire l’acquisition d’une nouvelle statue et elle sou haite réaliser un socle en bois pour y déposer celleci. On appelle V le volume de ce socle dont la forme est donnée sur la feuille annexe jointe. Le socle est constitué de deux parties. 1.ayon et deLa première partie est un cylindre de révolution de 0,50 m de r 3 0, 50m de hauteur. Calculer la valeur exacte, en m, du volume V1de cette première partie. 2.Le volume V2de la deuxième partie est celui du solide de révolution engendré par la rotation autour de l’axe des abscisses, du domaine plan limité par l’axe des abscisses, la courbe représentative de la fonctionfd’équation 0,5x y=0, 5eet les droites d’équationsx=0 etx=0, 5. 3 On précise que la valeur exacte, en m, de ce volume est donnée par la for mule : Z 0,5 2 V2=π[f(x)] dx. 0 a.Calculer V2. 3 b., du volume du socle est :En déduire que la valeur exacte, en m ¡ ¢ 0,5x π+ −2e V=. 8 3 c.Donner la valeur arrondie du volume V à 10près.
EX E R C IC E2 5points ³ ´ Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal directO,u,v(unité gra phique : 2 cm). π On note i le nombre complexe de module 1 et d’argument. 2 1.Résoudre dans l’ensemble des nombres complexes, l’équation suivante : p iz= −3+i. Exprimer la solution sous forme algébrique.
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A. P. M. E. P.
π i 3 2.Soit A le point d’affixezAdéfini parzA=2e . a.Déterminer le module et un argument dezA. b.En déduire que l’écriture algébrique dezAest 1+i 3. 3.On désigne par B et C les points dont les affixeszBetzCsont définies par :
2 zB= −zAetzC=z. A a.ÉcrirezBetzCsous forme algébrique. b.Placer les points A, B et C dans le plan complexe. c.Montrer que le triangle ABC est un triangle rectangle. 4 4.On note D le point d’affixezDdéfinie parzD=. zA Montrer quezD=zAzAdésigne le nombre complexe conjugué dezA. 5.On note E le point de la droite (AC) dont l’affixezEest un nombre réel. Calculer zE.
PR O B L È M E On note I l’intervalle ]0 ;+∞[.
11 points
Partie A Soientaetbdeux nombres réels. On considère la fonction numériquefdéfinie, pour tout nombre réelxde I, par :
2 f(x)=x+a x+b2 lnx.
On noteCla courbe représentative de la fonctionfdans le plan muni d’un repère ³ ´ orthonormal O,ı,(unité graphique : 2 cm). Soit A le point de coordonnées (1 ;3). Calculer les valeurs respectives des nombres réelsaetbpour que, d’une part la courbeCpasse par le point A et que, d’autre part, la tangente à cette courbe au point A admette un coefficient directeur égal à 0.
Partie B Dans toute la suite du problème, on étudiera la fonction numériquefdéfinie, pour tout nombre réelxde I, par :
2 f(x)=x42 lnx. 1. a.Déterminer la limite de la fonctionfen 0. b.Que peuton en déduire pour la courbeC? µ ¶ 4 lnx 2. a.Vérifier que, pour tout nombre réelxde I, on af(x)=x x− −2 . x x b.En déduire la limite de la fonctionfen+∞. 3.Déterminer la fonction dérivéefde la fonctionfpuis montrer que, pour tout 2(x1)(x+1) nombre réelxde I, on af(x)=. x 4.Étudier le signe de la fonctionfsur I et dresser le tableau de variations de la fonctionfsur I. 5.Déterminer le signe def(x) quand le nombre réelxappartient à l’intervalle [1 ; 2].
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³ ´ 6.Tracer la courbeCO,dans le repèreı,.
A. P. M. E. P.
Partie C SoitHla fonction numérique définie, pour tout nombre réelxde I, par :
H(x)=xlnxx. ′ ′ 1.CalculerH(x) oùHdésigne la fonction dérivée deH. 2.En déduire une primitiveFde la fonctionfsur I. 3.On appelleΔla partie du plan limitée par la courbeC, l’axe des abscisses et les droites d’équationsx=1 etx=2. HachurerΔ. Calculer la valeur exacte de 2 l’aire deΔen unités d’aire, puis en cm.
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Annexe de l’exercice 1
(*) Cette cote a été arrondie au centième
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0,39 m (*)
0,50 m
A. P. M. E. P.
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