Baccalauréat STI La Réunion juin 2006

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
Durée : 4 heures [ Baccalauréat STI La Réunion juin 2006 \ Génie électronique, électrotechnique, optique EXERCICE 1 4,5 points C est l'ensemble des nombres complexes et i désigne le nombre complexe de mo- dule 1 et d'argument π 2 . 1. Résoudre dans l'ensemble C l'équation : z2?4z+16= 0. 2. On considère les nombres complexes : z1 = 2+2i p 3 et z2 = 2?2i p 3. a. Déterminer le module et un argument de z1. b. écrire z1, puis z2 sous forme exponentielle. 3. Le plan est muni d'un repère orthonormal direct ( O, ?? u , ?? v ) d'unité 1 cm. On considère la rotation r de centre O et d'angle ? 2π 3 . a. Placer les points M1, et M2 d'affixes respectives z1 et z2 dans le repère ( O, ?? u , ?? v ) . b. Montrer que le point M2 est l'image du point M1 par la rotation r . c. On appelle M3 le point image du point M2 par la rotation r . Calculer l'affixe z3 dupointM3. Placer le pointM3 dans le repère ( O, ?? u , ?? v ) .

• solution de l'équation


• équation différentielle


• affixe z3


• pointm3 dans le repère


• point m2


• repère orthonormal direct

Sujets

• Équation différentielle

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 juin 2006
• Nombre de lectures: 32
• Langue: Français

Extrait

Durée : 4 heures

[Baccalauréat STI La Réunion juin 2006\ Génie électronique, électrotechnique, optique

E X E R C IC E 1 4,5points Complexe de moest l’ensemble des nombres complexes et i désigne le nombre c π dule 1 et d’argument. 2 1.Résoudre dans l’ensembleCl’équation : 2 z−4z+16=0. 2.On considère les nombres complexes : p z 1 =2+2i 3 etz 2 =2−2i 3. a.Déterminer le module et un argument dez 1 . b.écrirez 1 , puisz 2 sous forme exponentielle. ³ ´ −→−→ 3.O,Le plan est muni d’un repère orthonormal directu,vd’unité 1 cm. 2π On considère la rotationrde centre O et d’angle−. 3 a.Placer les points M 1 , et M 2 d’affixes respectivesz 1 etz 2 dans le repère ³ ´ −→−→ O,u,v. b.Montrer que le point M 2 est l’image du point M 1 par la rotationr. c.On appelle M 3 le point image du point M 2 par la rotationr. ³ ´ −→−→ Calculer l’affixez 3 du point M 3 . Placer le point M 3 dans le repèreO,u,v. d.Démontrer que le triangle M 1 M 2 M 3 est équilatéral. 4 ( z 1 ) 6 4.Vérifier que les nombres complexes (z 1 ) etsont des entiers naturels. 2 ( z 2 ) On utilisera la forme dez 1 etz 2 la plus adaptée.

E X E R C IC E points2 4,5 I.On considère l’équation différentielle : ′′ (E 0 ) :y+4y=0 oùydésigne une fonction de la variable réellet, définie et deux fois dérivable sur ′′ l’ensembleRdes nombres réels, etysa dérivée seconde. 1.Résoudre l’équation (E 0 ). 2.Déterminer la solution particulièrefde (E 0 ) vérifiant : ′ f(0)=3 etf(0)=2 ′ oùfdésigne la fonction dérivée de la fonctionf. 3.Montrer que pour tout réelt,f(t) peut s’écrire sous la forme : ³ ´ π f(t)=2 cos2t−. 6

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h i π 4.Calculer la valeur moyenne defsur l’intervalle0 ;. 2 II.On considère maintenant l’équation différentielle :

A. P. M. E. P.

′′ (E 1 ) :y+4y=3 sint oùydésigne une fonction de la variable réellet, définie et deux fois dérivable sur ′′ l’ensembleR, etysa dérivée seconde. 1.Montrer que si une fonctiongest solution de l’équation (E 0 ), alors la fonction hdéfinie surRpar :h(t)=g(t)+sintest solution de l’équation (E 1 ). 2.Donner une solution particulière, ne s’annulant pas pourt=0, de l’équation (E 1 ).

P R O B L È M E 11 points Sur la feuille annexe,qui doit être remise avec la copie, on donne, dans le plan muni ³ ´ −→−→ d’un repère orthonormalO,ı,, la courbe représentativeC f d’une fonctionf définie sur l’intervalle ]2 ;+∞[.

Partie A : détermination de la fonctionf µ ¶ 7 On suppose que la courbe passe par le point A de coordonnées3 ;− +3 ln 2. 2 La droite D d’équationx=2 est une asymptote verticale â la courbeC f . ′ On notefla fonction dérivée def. 1.Quelle est la valeur exacte def(3) ? 2.Donner sans justification la limite de la fonctionfen 2. 3.On suppose que, pour tout réelxde l’intervalle ]2 ;+∞[,

f(x)=a x−5+3 ln(x−1)−3 ln(x−2).

En utilisant la réponse de la question 1, déterminer algébriquement le nombre a.

Partie B : étude de la fonctionf On admet que la fonctionfest définie sur l’intervalle ]2 ;+∞[ par : 1 f(x)=x−5+3 ln(x−1)−3 ln(x−2). 2 1. a.Retrouver par le calcul la limite de la fonctionfen 2. b.Montrer que, pour tout x réel de l’intervalle ]2+ ∞[ µ ¶ 1x−1 f(x)=x−5+3 ln. 2x−2 c.En déduire la limite de la fonctionfen+∞. 1 2.Démontrer que la droiteΔd’équationy=x−5 est une asymptote oblique à 2 la courbeC f en+∞. TracerΔsur la feuille annexe. ′ 3. a.Calculerf(x) et montrer que pour tout réelxde l’intervalle ]2 ;+∞[ 2 x−3x−4 ′ f(x)=. 2(x−1)(x−2) ′ b.étudier le signe def(x) sur l’intervalle ]2 ;+∞[.

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A. P. M. E. P.

c.Dresser le tableau de variations de la fonctionfsur l’intervalle ]2 ;+∞[. 4. a.Montrer que l’équationf(x)=0 admet une solution uniqueαdans l’in tervalle [2,1 ; 3] et une solution uniqueβ; 10].dans l’intervalle [9 −1 b.Déterminer un encadrement d’amplitude 10de chacune des solutions αetβ.

Partie C : calcul d’aire

1.On considère les fonctionshetHdéfinies sur l’intervalle ]2 ;+∞[ par µ ¶ x−1 h(x)=ln etH(x)=(x−1) ln(x−1)−(x−2) ln(x−2). x−2 a.Montrer que la fonctionHest une primitive de la fonctionhsur l’inter valle ]2 ;+∞[. b.En déduire une primitive de la fonctionfsur l’intervalle ]2 ;+∞[. 2.On considère le domaineDdu plan compris entre la courbeC f , l’axe des abs cisses et les droites d’équationx=3 etx=9. a.Hachurer le domaineDsur le graphique de la feuille annexe. b.On noteAla mesure, en unités d’aire, de l’aire du domaineD. Exprimer Asous la forme d’une intégrale. c.Calculer la valeur exacte deA, puis en donner une valeur approchée à −1 10 près.

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FEUILLE ANNEXE à RENDRE AVEC LA COPIE

Courbe de la fonctionf

A. P. M. E. P.

6 5 5 4 4 3 3 2 2 1 1 −→  0 -1 O 0−→11 12 13 14 15 161 2 3 4 5 6 7 8 9 10 −1 ı 1 2 3 4 5 6 7 8 910 11 12 13 14 15 -1 −1 -2 −2 -3 −3 -4 −4 D -5 −5

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