Baccalauréat STI mars 2011 Nouvelle-Calédonie

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
Durée : 4 heures [ Baccalauréat STI mars 2011 Nouvelle-Calédonie \ Génie mécanique - Génie énergétique - Génie civil EXERCICE 1 5 points Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct ( O, ??u , ??v ) . L'unité graphique est 2 cm. On note i le nombre complexe de module 1 et d'argument pi2 . 1. Dans l'ensemble des nombres complexes, on considère l'équation (E) : z3?2 ( 1+p3 ) z2+4 ( 1+p3 ) z?8= 0. a. Vérifier que le nombre 2 est une solution de l'équation (E). b. En déduire qu'il existe deux nombres réels ? et ?, que l'on déterminera, tels que l'équation (E) soit équivalente à l'équation : (z?2)(z2+?z+?)= 0. c. Résoudre l'équation z2 +?z +? = 0, puis déterminer le module et un argument de chacune de ses solutions. On désigne par A et B les points du plan complexe d'affixes respectives : a = 2ei pi6 et b = 2. On désigne par C le milieu du segment [AB], et on note c l'affixe du point C. 2. On se propose dans cette question de déterminer la valeur exacte de sin ( pi 12 ) .

• génie mécanique


• points du plan complexe d'affixes respectives


• détermi- ner lamesure


• repère orthonormé

Sujets

• Génie mécanique
• Base orthonormale

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 mars 2011
• Nombre de lectures: 36
• Langue: Français

Extrait

Durée:4heures
[BaccalauréatSTImars2011Nouvelle-Calédonie\
Géniemécanique-Génieénergétique-Géniecivil
EXERCICE1 5points
³ ´!? !?
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct O, u , v . L’unité
graphiqueest2cm.
?
Onnoteilenombrecomplexedemodule1etd’argument .
2
1. Dansl’ensemble desnombrescomplexes,onconsidèrel’équation
³ ´ ³ ´p p
3 2(E): z ?2 1? 3 z ?4 1? 3 z?8?0.
a. Vérifierquelenombre2estunesolutiondel’équation(E).
b. Endéduirequ’ilexiste deuxnombresréels?et?,quel’on déterminera,
telsquel’équation (E)soitéquivalenteàl’équation :
¡ ¢
2(z?2) z ??z?? ?0.
2c. Résoudre l’équation z ??z??? 0, puis déterminer le module et un
argumentdechacunedesessolutions.
OndésigneparAetBlespointsduplancomplexed’affixesrespectives:
?i
6a?2e etb?2.
OndésigneparClemilieudusegment[AB],etonnotec l’affixedupointC.
³ ´?
2. Onseproposedanscettequestiondedéterminerlavaleurexactedesin .
12
³ ´!? !?
a. Placer les points A, B, C dans le repère O, u , v et démontrer que le
triangleOABestisocèle.
³ ´?! ?!
b. Déterminerunemesureenradiansdel’angle OB ; OC .
c. Déterminerl’écriturealgébriquedunombrecomplexe c.
p p
6? 2
d. Calculerlemoduledec etdémontrerquejcj? .
2
p p³ ´? 6? 2
e. Démontrerquesin ? .
12 4
EXERCICE2 5points
h i?
Onnote f lafonctiondéfiniesurl’intervalle 0; par:
2
f(x)?cosx?2sinx.BaccalauréatSTIGéniemécanique,énergétique,civil A.P.M.E.P.
2,0
La courbe C représentative de la
fonction f est tracée ci-contre, dans³ ´!? !?
unrepèreorthogonal O, ı , | . 1,5
On noteD le domaine plan délimité
parlacourbeC,l’axedesabscisseset
?
lesdroitesd’équations x?0etx? .
2 1,0
Lebutdecetexerciceestdedétermi-
nerlamesureV ,expriméeenunitéde
volume, du volume engendré par la³ ´!?
rotationdeD autourdel’axe O; ı . 0,5
0
?
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4
1. Calculdedeuxintégrales 2
Z? Z?
2 22 2Onnote I et J lesdeuxintégrales: I? cos xdx et J? sin xdx.
0 0
?
a. Ensimplifiant l’écriturede I?J,démontrerque I?J? .
2
b. Démontrerdemêmeque I?J?0.
c. Déduiredesquestionsa.etb.lesvaleursde I et J.
Z?
2 22. OnrappellequelevolumeV cherchéestdonnéparlaformule:V ?? f (x)dx.
0
2 2 2a. Démontrerque f (x)?cos x?2sin2x?4sin x.
b. Déduiredesquestionsprécédentes, lavaleurexactedeV .
PROBLÈME 10points
PartieA:Étuded’uneéquationdifférentielle
0 xOnconsidèrel’équation différentielle(E): y ?y??e .
01. Résoudrel’équationdifférentielle : y ?y?0.
2. Vérifier que toute fonction u définie sur l’ensembleR des nombres réels par
x xu(x)??xe ?Ce ,oùC estuneconstante,estunesolutiondel’équation dif-
férentielle (E).
3. Parmicessolutions,déterminercellequivérifielaconditioninitiale:u(0)?2.
PartieB:Étuded’unefonction
Onnote f lafonctiondéfiniesurl’ensembleRdesnombresréelspar:
x
f(x)?(2?x)e .
On noteC la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormé³ ´!? !?
O, ı , | .L’unité graphiqueest2cm.
1. Étudedeslimites delafonction f
a. Déterminerleslimitesdelafonction f en?1eten?1.
b. JustifierquelacourbeC admetuneasymptotehorizontaleetendonner
uneéquation.
Nouvelle-Calédonie 2 mars2011BaccalauréatSTIGéniemécanique,énergétique,civil A.P.M.E.P.
2. Étudedesvariationsdelafonction f surR
0a. Déterminerl’expressiondelafonctiondérivée f delafonction f.
0b. Étudier le signe de f (x) surR et dresser le tableau des variations de la
fonction f.
3. TracédelacourbeC
a. Déterminerl’équationdelatangenteT àlacourbeC ensonpointd’abs-0
cisse0.
b. Déterminer les coordonnées des points d’intersection de la courbe C
aveclesaxesdurepère.
³ ´!? !?
c. Tracer,danslerepère O, ı , | ,ladroiteT etlacourbeC.0
PartieC:Calculd’uneaireplane
x1. Démontrer que la fonction F définie surR par : F(x)?(3?x)e , est une pri-
mitivede f surR.
2. Soit?unnombreréelstrictementinférieurà2.
On noteA(?)l’aire, exprimée en unités d’aire du domaine plan délimité par
lacourbeC,l’axedesabscissesetlesdroitesd’équations x??et x?2.
a. CalculerA(?)enfonctionde?.
b. Déterminerlalimiteéventuelle deA(?)lorsque?tendvers?1.
Nouvelle-Calédonie 3 mars2011