Baccalauréat STI Polynésie juin 2010

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
Durée : 4 heures [ Baccalauréat STI Polynésie juin 2010 \ Génie électronique, électrotechnique, optique EXERCICE 1 5 points Le plan complexe est rapporté au repère ortbonormé direct ( O, ?? u , ?? v ) d'unité gra- phique 2 centimètres. On désigne par i le nombre complexe de module 1 et d'argu- ment π 2 . 1. Résoudre l'équation z2 ? 2z p 3+ 4 = 0 dans l'ensemble des nombres com- plexes. 2. On considère les nombres çomplexes : z1 = p 3+ i ; z2 = p 3? i et z3 = 2i a. Déterminer le module et un argument des nombres complexes z1, z2 et z3. b. Placer les points A B et C d'affixes respectives z1, z2 et z3 dans le repère ( O, ?? u , ?? v ) . c. Déterminer la forme exponentielle du nombre complexe z3 z2 . d. En déduire que le point C est l'image du point B par une rotation R de centre O dont on précisera l'angle. 3. Soit E le symétrique du point A par rapport à l'origine O du repère. a. Déterminer la forme algébrique de l'affixe du point E. b. Montrer que le point E est l'image du point C par la rotation R.

• courbe représentative dans le plan


• courbe représentative


• repère ortbonormé direct


• dérivée seconde de la fonc- tion


• tangente ∆ au point d'abscisse


• plan complexe

Sujets

• Graphe d'une fonction
• Plan d'Argand

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 juin 2010
• Nombre de lectures: 20
• Langue: Français

Extrait

Durée : 4 heures

[Baccalauréat STI Polynésie juin 2010\ Génie électronique, électrotechnique, optique

E X E R C IC E 1 5points ³ ´ −→−→ Le plan complexe est rapporté au repère ortbonormé directO,u,vd’unité gra phique 2 centimètres. On désigne par i le nombre complexe de module 1 et d’argu π ment . 2 p 2 1.Résoudre l’équationz−2z3+4=0 dans l’ensemble des nombres com plexes. 2.On considère les nombres çomplexes : p z 1 =3+i ;z 2 =3−i etz 3 =2i a.Déterminer le module et un argument des nombres complexesz 1 ,z 2 et z 3 . b.Placer les points A B et C d’affixes respectivesz 1 ,z 2 etz 3 dans le repère ³ ´ −→−→ O,u,v. z 3 c..Déterminer la forme exponentielle du nombre complexe z 2 d.nEn déduire que le point C est l’image du point B par une rotatioRde centre O dont on précisera l’angle. 3.Soit E le symétrique du point A par rapport à l’origine O du repère. a.Déterminer la forme algébrique de l’affixe du point E. b.Montrer que le point E est l’image du point C par la rotationR. 4.Démontrer que le triangle BEC est équilatéral.

E X E R C IC E 2 1.Résoudre l’équation différentielle (E) :

4 points

′′ 9y+y=0 ′′ oùydésigne une fonction de la variablexetyla dérivée seconde de la fonc tiony. 1 3 ′ 2.On désigne parfla solution de (E) vérifiantf(0)=etf(0)= −. 2 6 a.Déterminer la fonctionf. µ ¶ x5π b.Montrer que, pour tout réelx,f(x)=sin+. 3 6 3.La valeur efficace de la fonctionfest le réel positifEdéfini par Z 6π 1 £ ¤ 2 2 E=f(x) dx. 6π 0 · µ¶¸ £ ¤ 2 1 2x5π a.Montrer que, pour tout réelx,f(x)=1−cos+. 2 33

Baccalauréat STI Génie électronique, électrotechnique, optique

b.Calculer le réelE.

A. P. M. E. P.

P R O B L È M E 11 points Partie A On donne en annexe la courbe représentativeΓd’une fonctiongdéfinie surRet sa tangenteΔau point d’abscisse 0. ′ 1.Par lecture graphique, donner les valeurs entières deg(0) et deg(0). 2.On admet qu’il existe deux réelsaetbtels que pour tout réelx, x g(x)=e+a x+b. ′ On notegla dérivée de la fonctiong. ′ a.Calculerg(x) pour tout nombre réelx. b.À l’aide des résultats des deux questions précédentes calculer les valeurs deaet deb. x 3.Dans la suite du problème on admet que, pour tout réelx,g(x)=e−2x+2. a.Étudier le sens de variation de la fonctiongpuis dresser son tableau de variations dans lequel on précisera la valeur exacte de l’extremum (les limites ne sont pas demandées). b.En déduire le signe deg(x) pourxappartenant àR. c.Comment ce résultat se traduitil graphiquement ?

Partie B On considère la fonctionfdéfinie surRpar : ¡ ¢ −x f(x)=x1+2e ′ On notefla dérivée de la fonctionfet on appelleCsa courbe représentative dans ³ ´ −→−→ le plan muni d’un repère orthogonalO,ı,d’unités graphiques 2 centimètres en abscisse et 1 centimètre en ordonnée. 1.Déterminer la limite defen−∞. 2. a.Déterminer la limite defen+∞. b.Justifier que la courbeCadmet pour asymptote en+∞la droite D d’équa tiony=x. c.Étudier les positions relatives de la courbeCet de la droite D. On préci sera leur point d’intersection. ′ ′−x 3. a.Calculerf(x) et vérifier que, pour tout réel,f(x)=eg(x). ′ b.En utilisant les résultats de la partie A, déterminer le signe def(x). c.Dresser le tableau de variations de la fonctionf. 4.Déterminer une équation de la tangente T à la courbeCen son point d’abs cisse 0. 5.Sur une feuille de papier millimétré qui vous sera fournie, tracer les droites D et T ainsi que la courbeC.

Partie B On noteAla mesure, exprimée en centimètres carrés, de l’aire du domaine du plan compris entre la courbeCla droite D l’axe des ordonnées et la droite d’équation x=2.

Polynésie

2

juin 2010

Baccalauréat STI Génie électronique, électrotechnique, optique

A. P. M. E. P.

1.Hachurer le domaine ainsi défini. −x 2.SoienthetHles fonctions définies surRparh(x)=2xe et −x H(x)=2(−x−1)e . Montrer que la fonctionHest une primitive de la fonctionhsurR. 3.Calculer la valeur exacte deApuis en donner une valeur arrondie au milli mètre carré près.

Polynésie

3

juin 2010

Baccalauréat STI Génie électronique, électrotechnique, optique

Δ

Γ

Annexe (problème  partie A)

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

O −5−4−3−2−1 12

Polynésie

4

−1

A. P. M. E. P.

juin 2010