Correction du baccalauréat S Amérique du Nord

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
Durée : 4 heures [ Correction du baccalauréat S Amérique du Nord \ mai 2004 EXERCICE 1 3 points Commun à tous les candidats Affirmation 1 : Vraie G1 est le barycentre de (A, 1), (B, 1), (C, 2), soit par associativité celui de (I, 2), (C, 2) qui est bien le milieu de [IC]. Affirmation 2 : Vraie J est l'isobarycentre de A, B et C, soit le barycentre de (A, 1), (B, 1), (C, 1). L'affirmation signifie que G1 est le barycentre de (J, 2), ( C, 23 ) , ou encore celui de (J, 1), ( C, 13 ) c'est-à-dire celui de ( A, 13 ) , ( B, 13 ) , ( C, 13 ) , ( C, 13 ) ou encore celui de ( A, 13 ) , ( B, 13 ) , ( C, 23 ) , soit celui de (A, 1), (B, 1), (C, 2), ce qui est vrai par définition de G1. Affirmation 3 : Fausse M , ???VM = 3 ??? MA ????MB ?2???MC = 3???MA ????MA ????AB ?2???MA ?2???AC =????AB ?2???AC (c'est donc en fait l'opposé de la réponse proposée).

• définition du barycentre


• vraie g1


• barycentre


• ???? gmc


• point gm


• zme?i pi


• ??


• points commun


• ??0 ??

Sujets

• Barycentre

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 mai 2004
• Nombre de lectures: 25
• Langue: Français

Extrait

Durée:4heures
[CorrectiondubaccalauréatSAmériqueduNord\
mai2004
EXERCICE 1 3points
Communàtouslescandidats
Affirmation1:Vraie
G estlebarycentrede(A,1), (B,1),(C,2), soitparassociativité celui de(I,2), (C,2)1
quiestbienlemilieude[IC].
Affirmation2:Vraie
Jestl’isobarycentredeA,BetC,soitlebarycentrede(A,1),(B,1),(C,1).¡ ¢
2L’affirmationsignifiequeG estlebarycentrede(J,2), C, ,ouencoreceluide1 3¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢1 1 1 1 1(J,1), C, c’est-à-direceluide A, , B, , C, , C, ouencoreceluide
3 3 3 3 3¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢1 1 2A, , B, , C, ,soitceluide(A,1),(B,1),(C,2),cequiestvraipardéfinitionde
3 3 3
G .1
Affirmation3:Fausse
?! ??! ??! ??! ??! ??! ?! ??! ?! ?! ?!
M , V ?3MA?MB?2MC ?3MA?MA?AB?2MA ?2AC ??AB?2AC (c’estM
doncenfaitl’opposédelaréponseproposée).
Affirmation4:Vraie
1
Pardéfinitiondubarycentre,si 1?3m6?0 () m6?? , lebarycentreG existeetm
3
vérifie:
???! ???! ???! !? ???! ???! ?! ???! ?!
G A ?mG B ?2mG C ? 0 () G A ?mG A ?mAB ?2mG A ?2mAC ?m m m m m m³ ´!? ???! ?! ?!!? ???! ?! ?!
0 () (1?3m)G A?mAB?2mAC 0 () (1?3m)G A ??m AB?2AC .m m
³ ´ ³ ´????! ??! ??! ????! 1 ??! ??!
Enparticulier?2G A ? AB?2AC () G A ?? AB?2AC ()?1 ?1
2³ ´???! 1 ?! ?!
AG ? AB?2AC .?1
2
Donclesdeuxvecteurssontbiencolinéaires
Affirmation5:Vraie ³ ´???! 1 ?! ?! ?! ????! ?!
D’après la question précédente : AG ? AB?2AC () AB ?BG 1 ? AB ??1 ?
22??! ????! ??!
2AC () BG 1 ?2AC.?
2
Onendéduitquela droite(BG 1)estparallèle àla droite(AC)qui est, elle perpen-?2
diculaire à la droite(AB). Le point I appartenant à la droite(AB), on conclut que le
triangleIBG 1 estrectangleenB.?
2
Affirmation6:Fausse ³ ´???! ?! ?! ???! 1 ?! ?!
Avecm??1,?2G A ?AB?2AC () AG ? AB?2AC .?1 ?1
2 ³ ´??! ????! α ??! ??!
SoitP unpointde(AG ):ilexistedoncα2RtelqueAP ?αAG ? AB?2AC .?1 ?1
2³ ´???! m ?! ?!
ToutbarycentreG vérifie:AG ? AB?2AC .m m
1?3m
α m
DoncP?G () ? () α?3mα?2m () m(2?3α)?α ()m
2 1?3m
α 2
m? .ToutpointP correspondàunbarycentresaufsi2?3α?0 () α? .
2?3α 3
??! 2????!
LepointP de(AG )définipar AP ? AG n’estpasunpointG .?1 ?1 m
3
EXERCICE 2 5points
Candidatsn’ayantpassuivil’enseignementdespécialitéCorrectiondubaccalauréatS A.P.M.E.P.
2 3 2 21. a. (z?2)(z ?az?b)?z ?az ?bz?2z ?2az?2b?
3 2z ?(a?2)z ?(b?2a)z?2b.
3 2 2Doncz ?4z ?2z?28?(z?2)(z ?az?b) () a?6etb?14.
¡ ¢
3 2 2z ?4z ?2z?28?(z?2) z ?6z?14
½
z?2 ? 0 ou3 2b. z ?4z ?2z?28?0 () 2z ?6z?14 ? 0
2 2 2Résolutiondez ?6z?14?0 () (z?3) ?9?14?0 () (z?3) ?5?
¡p ¢220 () (z?3) ? i 5 .
p
Cetteéquationadeuxsolutionscomplexesconjuguées:z ??3?i 5et1p
z ??3?i 5.2
Conclusionl’équationatroissolutionsdansC:
p p
2, ?3?i 5, ?3?i 5.
2 22. a. M(x?iy)appartientà(H)sietseulementsi(x?iy) ?4?4?(x?iy) ()
2 2 2 2 2 2 2 2x ?y ?2ixy?4?4?x ?y ?2ixy () 2x ?2y ?8 () x ?y ?4.
b. On vérifie que la condition précédente est réalisée par les affixes des
pointsA,betC
2PourA:2 ?4Vraie
¡p ¢22PourB:(?3) ? i 5 ?9?5?4Vraie
¡ p ¢22PourC:(?3) ? ?i 5 ?9?5?4Vraie
3. a. Larotationestdéfiniepar:
à !p p
π 2 2?i
0 4z ?z e ?z ?i .M M M
2 2
à !p p
p pπ 2 2?i
4Doncz 0?z e ?2 ?i ? 2?i 2.AA
2 2
à ! à !p p p p p p
¡ p ¢π 2 2 ?3 2 10 3 2 10?i
4z 0?z e ? ?3?i 5 ?i ? ? ?i ? .B B
2 2 2 2 2 2
à ! à !p p p p p p
¡ p ¢π 2 2 ?3 2 10 3 2 10?i 4z 0?z e ? ?3?i 5 ?i ? ? ?i ? .CC 2 2 2 2 2 2
à !p p
π π 2 2?i i 0 04 4b. z 0?z e () z ?z 0e () x?iy?(x ?iy ) ?i .M M M M
2 2
Enidentifiantpartieréelleetimaginaireonobtient:
p p
2 20 0? x?x ?y
2 2p p
2 20 0? y?x ?y On a vu que M appartient à (H) si et seulement si
2 2
2 2x ?y ?2soitenremplaçantparlesvaleurstrouvéesjusteaudessus:
à ! à !p p p p2 2 02 02 022 2 2 2 x y 1 x
0 0 0 0 0 0x ?y ? x ?y ?4 () ? ?x y ? ? ?
2 2 2 2 2 2 2 2
02y 10 0 0 0 0 0?x y ? ?4 () ?2x y ?4 () x y ??2.
2 2
4.
AmériqueduNord 2 mai2004CorrectiondubaccalauréatS A.P.M.E.P.
0C
C
0(H ) 2
0B !?
v
A
!?O
?4 ?2 u 2
0A(H)
?2
B
?4
EXERCICE 2 5points
Candidatsayantsuivil’enseignementdespécialité
0B1. a.
0A
O
?5
B
A
?5
µ ¶ µ ¶
1 3 1 30 0Lemilieude[AB ]apourcoordonnées ; ,celuide[A B] ; .
2 2 2 2
AmériqueduNord 3 mai2004
bbbbCorrectiondubaccalauréatS A.P.M.E.P.
0 0LequadrilatèreABB A asesdiagonalesquiontlemêmemilieu:c’estun
parallélogramme.
??! ??!?! ?!0 0D’autre part AB(2 ; 1) et AA (?3 ; 6), donc AB ?AA ??6?6? 0. Les
0vecteurssontorthogonaux,donclesdroites(AB)et(AA )sontperpendi-
culaires.
0 0Le quadrilatère ABB A est un parallélogramme dont deux côtés consé-
cutifssontperpendiculaires:c’estunrectangle.
b. D’aprèslaquestionprécédente,ladroite(Δ)estlamédiatricecommune
0 0 0à[AA ]età[BB ]:elleestdoncperpendiculaireà(AA )etcontientlemi-µ ¶
10lieu I de [AA ] de coordonnées ? ; 1 . Un vecteur directeur de (Δ) est
2
??!
0doncorthogonalauvecteurAA (?3; 6),parexemplelevecteur(6;3)ou
!?
plussimplement d (2;1).1
( 1
??! !? x? ? 2α
M(x ; y)2(Δ) () IM etd sontcolinéairesc.-à-d. ,1 2
y?1 ? α
1
soitenéliminantα,x? ?2(y?1) () 2x?1?4y?4 () 2x?4y?5?0.
2
c. Touteréflexionestunesimilitudeindirectedoncl’écriturecomplexeest
0z ?az?b.EnutilisantA,Betleursimagespars,ona:
½
?2?4i ? a(1b?2i)?b
) pardifférence?2?4i?5i?a(1?2i?3?
5i ? a(3?i?b
?2?i (?2?i)(?2?i) 4?1?i(2?2)
i) () ?2?i?a(?2?i) () a? ? ? ?
?2?i (?2?i)(?2?i) 4?1
3?i
.
5
Enremplaçantdansl’uneoul’autredesdeuxéquationscidessus:
µ ¶
3?i 9 3i 3i 1
b?5i?(3?i) ?5i? ? ? ? ??1?2i.
5 5 5 5 5
L’écriturecomplexedes estdonc:
µ ¶
3 40z ? ? i z?1?2i.
5 5
2. µ ¶
6 80z ? ? ? i z?5?i.
5 5
µ ¶ µ ¶³ ´6 8 6 8 6 16
a. Onaz ? ? ? i 1?2i ?5?i? ? ? i 1?2i ?5?i?? ? ?( )C
5 5 5 5 5 5
8i 12i
? ?5?i?7?5i.
5 5 µ ¶
6 8 18 8 6i 8i
Demême:z ? ? ? i (3?i)?5?i?? ? ? ? ?5?i?3?7i.D
5 5 5 5 5 5
0b. L’écriture complexe de l’homothétie est : z ?(1?i)??2(z?1?i) ()
0z ??2z?3?3i.
0 0ImagedeA parh :z ??2(?2?4i?3?3i?7?5i?z .C
0 0ImagedeB parh :z ??2(5i?3?3i?3?7i?z .D
?1c. L’homothétieinversedehestl’homothétieh decentreΩetderapport
1
? .
2
1 1 3 3
Elleestdoncdéfinieparz?(1?i)?? (z ?(1?i) () z?? z ? ? i.1 1
2 2 2 2
·µ ¶ ¸
£ ¤ 6 8?1 ?1 ?13. a. Ona f(z)?h ?g(z)?h g(z) ?h ? ? i z?5?i ?
5 5
µ·µ ¶ ¸¶ µ ¶
1 6 8 3 3 3 4
? ? ? i z?5?i ? ? i? ? i z?1?2i.
2 5 5 2 2 5 5
AmériqueduNord 4 mai2004CorrectiondubaccalauréatS A.P.M.E.P.
b. Onretrouvel’écrituredes.
?1Onadoncs?h ?g () g?h?s.
D’oùlaconstructiond’unpointM pars :
0– ConstruirelesymétriqueM deM autourde(Δ);
00 0– Construirel’homothétiqueM deM parl’homothétiedecentreΩ
etderapport?2.
EXERCICE 3 4points
Communàtouslescandidats
1. a. Ily a 2 cases rouges, 4 cases vertes, 6 cases jaunes et 18 cases blanches,
donc:
2 1
? p(X?8)? ?
30 15
4 2
? p(X?5)? ?
30 15
6 3
? p(X?0)? ?
30 15
18 9
? p(X??a)? ?
30 15
b. Calculer a pour que le jeu soit équitable, c’est-à-dire pour que l’espé-
ranceE(X)soitnulle.
1 2 3 9 18?9a
E(X?0) () 8? ?5? ?0? ?a? ?0 () ?0 ()
15 15 15 15 15
a?2.
1 2
2. a. La probabilitéd’avoir ungainstrictement positif estégale à : ? ?
15 15
3 1
? ?0,20.
15 5
b. LavariablealéatoireY suituneloibinomialedeparamètresn?5etp?
1
.
5
Laprobabilitédegagnerexactement2foisest:
µ ¶ µ ¶ µ ¶ µ ¶2 5?2 2 3 3¡ ¢ 1 1 1 4 4 1285
p(Y ?2)? 1? ?10? ?10? ? ?0,2048.2 55 5 5 5 5 625
µ ¶ µ ¶5 5?5¡ ¢ 1 15Laprobabilitédegagnerexactement5foisest:p(Y ?5)? 1? ?
5 5 5
µ ¶51 1 1
1? ? ? ?0,00032.
55 5 3125
c. L’espérancemathématiquedelavariableY estégalaunombremoyende
partie(s) gagnante(s).Y est une variable aléatoire qui suit une loi bino-
1 1
mialedeparamètresn?5etdeprobabilitép? ,doncE(Y)?5? ?1.
5 5
Sur5partiesconsécutivesjouées,ongagneenmoyenneunefois.
EXERCICE 4 8points
Communàtouslescandidats
PartieI
?x 0 0 ?x ?x1. a. g(x)?h(x)e )g (x)?h (x)e ?h(x)e .
g estsolutiondeE sietseulementsi:n
n nx x0 ?x 0 ?x ?x ?x ?x 0 ?xg ?g? e () h (x)e ?h(x)e ?h(x)e ? e () h (x)e ?
n! n!
n nx x?x ?x 0e etcommee 6?0,quelquesoitx2R,onafinalementh (x)? .
n! n!
AmériqueduNord 5 mai2004CorrectiondubaccalauréatS A.P.M.E.P.