Correction du baccalauréat STI mars 2010

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
Durée : 4 heures [ Correction du baccalauréat STI mars 2010 \ Nouvelle-Calédonie Génie mécanique - Génie énergétique - Génie civil EXERCICE 1 5 points 1. Par somme des deux équations, on obtient 2z1 = 2+2i p 3 ?? z1 = 1+ i p 3. De même par différence : 2iz2 = 2+2i ?? iz2 = 1+ i ?? z2 = 1? i. 2. a. c = ab = ( 1+ i p 3 ) (1? i)= 1+ p 3+ i (p 3?1 ) . b. On a |a|2 = 1+3= 4= 22 ?|a| = 2 ; On peut donc écrire a = 2 ( 1 2 + i p 3 2 ) = 2 ( cos pi 3 + isin pi 3 ) . Un argument de a est donc pi 3 . |b|2 = 1+1= 2?|b| = p 2. Donc b = p 2 (p 2 2 ? i p 2 2 ) = p 2 ( cos ?pi 4 + i sin ?pi 4 ) . Un argument de b est donc ?pi 4 |c| = |ab| = |a|? |b| = 2? p 2= 2 p 2.

• génie mécanique


• ?e?x


• solution de l'équation différentielle


• e?x


• ?z ?


• baccalauréat sti


• ??

Sujets

• Génie mécanique

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 mars 2010
• Nombre de lectures: 28
• Langue: Français

Extrait

Durée:4heures
[CorrectiondubaccalauréatSTImars2010\
Nouvelle-Calédonie
Géniemécanique-Génieénergétique-Géniecivil
EXERCICE1 5points
p p
1. Parsommedesdeuxéquations,onobtient2z =2+2i 3 ⇐⇒ z =1+i 3.1 1
Demêmepardifférence:
2iz =2+2i ⇐⇒ iz =1+i ⇐⇒ z =1−i.2 2 2
¡ p ¢ p ¡p ¢
2. a. c=ab= 1+i 3 (1−i)=1+ 3+i 3−1 .
2 2b. Ona|a| =1+3=4=2 ⇒|a|=2;Ã !p ³ ´1 3 π π
Onpeutdoncécrirea=2 +i =2 cos +isin .
2 2 3 3
π
Unargumentdea estdonc .
3p
2|b| =1+1=2⇒|b|= 2.Ã !p p ³ ´p p2 2 −π −π
Doncb= 2 −i = 2 cos +isin .
2 2 4 4
−π
Unargumentdeb estdonc
4p p
|c|=|ab|=|a|×|b|=2× 2=2 2.
π −π 4π−3π
L’égalitéa=bcimpliquequearg(c)=arg(a)+arg(b)= + = =
3 4 3×4
π
.
12
c. Voirplusbas.
p ¡p ¢ p
3. Onavuquec=1+ 3+i 3−1 etquesonmoduleestégalà2 2.
Onpeutdoncécrire:
à !p p
p 1+ 3 3−1
c=2 2 +i .p p
2 2 2 2
π
Onavud’autrepartqu’unargumentdec est .
12
Doncparidentificationdespartiesréellesetimaginaires:
p ¡ p ¢ p ¡p ¢p p
π 1+ 3 2 1+ 3 π 3−1 2 3−1
cos = p = ; sin = p = .
12 4 12 42 2 2 2
¯ p ¯
¯ ¯4. a. z−(1+i 3) =AM;|z−(1−i)|=BM
b. D’aprèslaquestionprécédente:
¯ p ¯
¯ ¯z−(1+i 3) =|z−(1−i)| ⇐⇒ AM=BM.
L’ensembledespoints M estl’ensembledespointsduplanéquidistants
deAetdeB:cesontlespointsdelamédiatricede[AB].
c.BaccalauréatSTIGéniemécanique,énergétique,civil A.P.M.E.P.
A
1
C→−
Dv
→−O
−1 1 2 3u
−1
B
−2
EXERCICE2 4points
3 321. L’équation4r +9=0apoursolutions iet− i.
2 2
Lessolutionsdel’équationdifférentielle(E)sontdoncdelaforme:
3 3
y=Acos t+Bsin t.
2 2
3 3 3 3 3 3′2. Avec f(t)=Acos t+Bsin t,ondéduitque f (t)=− Asin t+ Bcos t.
2 2 2 2 2 2
Donc:
( ( ½f(0) = 1 A = 1 A = 1
3 3 3⇐⇒ ⇐⇒′ B = −1f (2π) = = − B
2 2 2
3 3
Donc f(t)=cos t−sin t.
2 2
p
3. Onpeutécrireenfactorisant 2:
à !p p µ ¶ µ ¶
p p p2 3 2 3 3 3 3 ππ πf(t)= 2 cos t− sin t = 2 cos cos t−sin sin t = 2 t+4 42 2 2 2 2 2 2 4
(enutilisantl’identitécosacosb−sinasinb=cos(a+b)).
· ¸
2π
4. Lavaleurmoyennedelafonction f surl’intervalle 0; estégaleà:
3
2πZ2π Z2π µ ¶ µ ¶· µ ¶¸
p p 31 3 3 3 3 π 3 −2 3 π
V = f(x)dx= 2 t+ dx= × 2× sin t+ =m 2π 2π 2 4 2π 3 2 4−0 0 0 03
à !p p pµ ¶
2 3 2π π 2 2 1
− sin × + =− × − = .
π 2 3 4 π 2 π
Nouvelle-Calédonie 2 mars2010
bbbBaccalauréatSTIGéniemécanique,énergétique,civil A.P.M.E.P.
PROBLÈME 11points
PartieA:Étuded’unefonctionauxiliaire
1. g sommedefonctionsdérivablessurRestdérivablesurRet
′ −xg (x)=−e +2.
′ −x −x2. g (x)>0 ⇐⇒ −e +2>0 ⇐⇒ 2>e ⇐⇒ ln2>−x (par croissance de la
fonctionln) ⇐⇒ x>−ln2.
′Demêmeonobtientg (x)<0 ⇐⇒ x<−ln2.
3. Onadonc:
• six<−ln2, g estdécroissante;
• six>−ln2, g estcroissante;
ln2• six=−ln2, g aunextremumquiestunminimum:g(−ln2)=e +2×
(−ln2)+1=2−2ln2+1=3−2ln2
4. Commeleminimum g(−ln2)=3−2ln2≈1,6>0ilenrésultequeg estposi-
tivesurR.
PartieB:Étudedelafonctionf
1. Étudedeslimitesde f
−x 2a. Onsaitque lim e =0etque lim x = lim x=+∞.
x→+∞ x→+∞ x→+∞
Donc lim f(x)=+∞.
x→+∞
b. Onpeutécrire:
µ ¶−x1 1 −e 12 −x 2 2 2f(x)=x × (−e )+x ×1+x × =x +1+ .
2 2x x (−x) x
2. a. f sommedefonctionsdérivablessurRestdérivablesurRet:
′ −x −xf (x)=−(−e )+2x+1=e +2x+1=g(x).
′b. Onavuque surR, g(x)>0,donc f (x)>0:lafonction f estcroissante
surR.
−x −xe −e
Enutilisantl’écrituretrouvéeau1.b.ona lim =+∞,donc lim =
2 2x→−∞ x→−∞(−x) (−x)
1
−∞etcomme lim =0,onendéduitque lim f(x)=−∞.
x→−∞ x→−∞x
x −∞ 0 +∞
+∞
f(x) −1
−∞
1−1 23. Ona f(0)=−1<0et f(1)=−e +1 +1=2− >0.
e
La fonction f étant croissante sur l’intervalle [1 ;2], il existe donc ununique
réelαavec0<α<1telque f(α)=0.Lacalculatricelivre:
f(0,4)≈−0,11; f(0,5)≈0,14donc0,4<α<0,5.
f(0,44)≈−0,01; f(0,45)≈0,01donc0,44<α<0,45.
4. a. Soitd lafonctiondéfiniesurRpar:
−xd(x)= f(x)−p(x)=−e
−x −xOnsaitquepourtoutréelx, e >0,donc−e <0.
Quelquesoit leréel x∈R, d(x)<0:géométriquement cecisignifieque
lacourbeC estsouslacourbeP.
−x−xb. Onavuque f(x)−p(x)=−e ,donc lim [f(x)−p(x)]= lim −e =0.
x→+∞ x→+∞
Auvoisinagedeplusl’infinilacourbeP est«tangente»àlacourbeC.
Nouvelle-Calédonie 3 mars2010BaccalauréatSTIGéniemécanique,énergétique,civil A.P.M.E.P.
5. Voirplusbas.
PartieC:Calculd’uneaire
Z Zβ β £ ¤β−x −x −1 −β
1. OnaA(β)= [p(x)−f(x)]dx= e dx= −e =e −e (u.a.)1
1 1
−β2. Ona lim e =0,donc
β→+∞
−1lim A(β)=e .
β→+∞
Nouvelle-Calédonie 4 mars2010BaccalauréatSTIGéniemécanique,énergétique,civil A.P.M.E.P.
Feuilleannexeàcompléteretàrendreaveclacopie
8
P
7
6
5
4
3
2
1
O
−8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7
−1
−2
−3
−4
−5
−6C
−7
−8
Nouvelle-Calédonie 5 mars2010