Corrigé bac 2014 - Série S - Mathématiques (obligatoire)

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Bac 2014 Mathématiques Obligatoire Série S CORRIGE DE L’EPREUVE DE MATHEMATIQUES DU BACCALAUREAT SCIENTIFIQUE METROPOLE 2014 EXERCICE 1: PARTIE A : 1) 2) Limite de en : donc Limite de en : on a pour tout or d’après le cours, et donc et comme alors Etudions les variations de : est dérivable sur comme somme de fonctions dérivables, et on a . De plus et on peut dresser le tableau de signes : − 0 + PARTIE B : 1) a) L’intégrale représente l’aire en unité d’aire, entre la courbe et l’axe des abscisses, délimitée par l’axe des ordonnées ( et la droite d’équation . b) Il semblerait que la suite soit décroissante puisque l’aire sous la courbe semble être de plus en plus petite. 2) Pour tout = Du coup, comme pour tout et tout , et que : Alors comme intégrale aux bornes bien rangées d’une fonction négative. Donc finalement, décroît. Enfin, pour tout et tout donc comme intégrale aux bornes bien rangées d’une fonction positive. Donc la suite est décroissante et minorée par 0, d’après le théorème des suites monotones, on conclut qu’elle converge.

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Publié le 19 juin 2014
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Langue Français
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Bac 2014
Mathématiques
Obligatoire
Série S
CORRIGE DE L’EPREUVE DE MATHEMATIQUES
DU BACCALAUREAT SCIENTIFIQUE

METROPOLE 2014





EXERCICE 1:
PARTIE A :
1)
2) Limite de en : donc
Limite de en : on a pour tout
or d’après le cours, et donc et comme
alors
Etudions les variations de : est dérivable sur comme somme de fonctions dérivables, et
on a . De plus et on peut dresser le tableau de signes :

− 0 +


PARTIE B :
1) a) L’intégrale représente l’aire en unité d’aire, entre la courbe et l’axe
des abscisses, délimitée par l’axe des ordonnées ( et la droite d’équation .
b) Il semblerait que la suite soit décroissante puisque l’aire sous la courbe semble
être de plus en plus petite.
2) Pour tout
=
Du coup, comme pour tout et tout , et que :


Alors comme intégrale aux bornes bien rangées d’une fonction négative.
Donc finalement, décroît.
Enfin, pour tout et tout donc comme intégrale aux bornes bien
rangées d’une fonction positive.
Donc la suite est décroissante et minorée par 0, d’après le théorème des suites
monotones, on conclut qu’elle converge.
3) Calcul en fonction de de :
Or, donc et du coup
EXERCICE 2:
PARTIE A :
1) a) Voici l’arbre pondéré:
b) D’après la formule des probabilities totales:

c) il y a donc moins d’une chance sur deux
pour que la personne soit malade si le test est positif donc réponse vraie.
2) On reprend le même raisonnement que la question précédente en détaillant
le dénominateur :

puis le numérateur :
Ce qui donne :
On veut que
car

donc dès que le test peut être commercialisable.
PARTIEB:
1) a) grâce à la calculatrice.
b) On centre et on réduit la loi :

Ainsi suit une loi normale centrée et réduite.
Puis on calcule :


soit grâce à la calculatrice. Du coup, on conclut que 2) La proportion à tester est , proportion de comprimés conformes sur
l’échantillon prélevé.
Voyons si l’on peut déterminer un intervalle de fluctuation au seuil de 95% :

Les hypothèses sont vérifiées donc on établit l’intervalle de fluctuation :

Or , donc on rejette l’hypothèse et les contrôles remettent en question les réglages faits par le
laboratoire.
EXERCICE 3:
1) Résolvons dans l’équation, On trouve
donc il y a deux racines distinctes conjuguées : et
2) s’écrit sous la forme
donc
et
Les solutions de sont donc et
3) ROC : on pose et


Prouvons alors le résultat par récurrence :

HR : à

Conclusion : pour tout

4) Si est solution de



est solution de
dans la question 2) nous avons vu que et solutions de , en effet,
est solution de donc
Nous venons de voir que et sont aussi solutions. Nous avons donc solutions de
or il y a 4 solutions. Les solutions sont donc :
EXERCICE4 : Non spécialité
Le tétraèdre est formé de triangles rectangles isocèles, ,
le repère est donc bien un repère orthonormé.
Dans ce repère, les coordonnées des points sont :
est le milieu de donc et celui de donc et enfin est celui de
donc
1) a pour équation , il passe par donc .
vecteur normal de . une équation cartésienne de ce plan est donc :
soit
a) Fait ci-dessus.
b)

c) Fait ci-dessus
d) on remplace en fonction de dans la
quatrième ligne et on a . On trouve alors
e) et .
Le triangle est donc rectangle en
2) a)
b)
donc le triangle est isocèle en du coup la hauteur issue de est aussi la
bissectrice de et la médiatrice de donc :
donc d) et sur cet intervalle la fonction sinus est strictement croissante. Donc
maximale si et seulement si maximal.
La fonction inverse est strictement décroissante sur et
est maximal si est minimal ce qui revient à dire que est minimal et la fonction qui à
associe est croissante sur donc minimal si mnimal.
e) et =0 pour
. On calcule le discriminant et on le trouve négatif, du coup
sur et donc décroît sur cet intervalle.
sur et donc croît sur cet intervalle. Enfin, à la calculatrice
D’où