Corrigé du Bac S Maths 2018 (obligatoire et spécialité)

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MATHÉMATIQUES Série S Remarque 1.Ce sujet est composé de quatre exercices classiques : une étude de fonctions (exercice 1), des probabilités (exercice 2), de la géométrie dans l’espace (exercice 3) et des complexes ou de l’arithmétique (exercice 4). Bien que composés de questions classiques, chaque exercice avait une ou plusieurs questions à prise d’initiative, où il fallait avoir un recul nécessaire sur les questions faites précédemment. Exercice 1 1. Oncherche les valeurs dexqui égalise largeur et hauteur de la chainette, c’est-à-dire 2x(largeur) doit 1 x−x être égale à(e+e−2) et donc 2 x−x x−x e+e−2=4x⇔e+e−4x−2=0 2. 3. (a) Pourx>0, on a ( ) x e −x x−x x−4+e−2=e−4x+e−2 x =f(x) (b) Onutilise la forme précédente : par croissance comparée, (a) x e lim= +∞ x→+∞ x x e donc par sommelim−4= +∞. Par produit, x→+∞ x ( ) x e limx−4= +∞ x→+∞ x −x De plus,lim e=0 donc par somme x→+∞ et finalement, −x lim e−2= −2 x→+∞ limf(x)= +∞ x→+∞ fest dérivable sur [0;+∞[ et on a, pourx⩾0 : ′x−x f(x)=e−e−4 ′x−x x (b) Onaf(x)=0⇔e−e−4=0. Puisque e>0, par produit ′x x−x f(x)=0⇔e (e−e−4)=0 x2x ⇔(e )−1−4 e=0 1 / 8 4. 5. x (c) PosonsX=e dansl’équation précédente. Celle-ci s’écrit alors 2 X−4X−1=0 et x X=e 2 L’équation du second degré a pour discriminantΔ=(−4)+4=20 et pour racines p pp p p p 4−20 4−42 5+20 4+2 5 X1= = =2−5 et X2= = =2+5 2 22 2 p p x′ Or on avait posé X=e .

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Publié le 22 juin 2018
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Langue Français
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MATHÉMATIQUES - 2018
SérieS
Obligatoireetspécialité
Remarque1. Cesujetestcomposédequatreexercicesclassiques:uneétudedefonctions(exercice
1), des probabilités (exercice 2), de la géométrie dans l’espace (exercice 3) et des complexes ou de
l’arithmétique(exercice4).
Bienquecomposésdequestionsclassiques,chaqueexerciceavaituneouplusieursquestionsàprise
d’initiative,oùilfallaitavoirunreculnécessairesurlesquestionsfaitesprécédemment.
EXERCICE 1(6points)
1. Oncherchelesvaleursdexquiégaliselargeurethauteurdelachainette,c’est-à-dire2x(largeur)doit
1 x �xêtreégaleà (e �e �2)etdonc
2
x �x x �xe �e �2�4x,e �e �4x�2�0
2. (a) Pourx�0,ona
( )xe �x x �xx �4 �e �2�e �4x�e �2
x
� f(x)
(b) Onutiliselaformeprécédente:parcroissancecomparée,
xe
lim ��1
x!�1 x
xe
doncparsomme lim �4��1 .Parproduit,
x!�1 x
( )
xe
lim x �4 ��1
x!�1 x
�xDeplus, lim e �0doncparsomme
x!�1
�xlim e �2��2
x!�1
etfinalement,
lim f(x)��1
x!�1
3. (a) f estdérivablesur[0;�1 [etona,pourx⩾0:
′ x �xf (x)�e �e �4
′ x �x x(b) Ona f (x)�0,e �e �4�0.Puisquee �0,parproduit
′ x x �xf (x)�0,e (e �e �4)�0
x 2 x,(e ) �1�4e �0
1/8x(c) PosonsX�e dansl’équationprécédente.Celle-cis’écritalors
2 xX �4X�1�0 et X�e
2L’équationduseconddegréapourdiscriminant∆�(�4) �4�20etpourracines
p p p p
p p4� 20 4�2 5 4� 20 4�2 5
X � � �2� 5 et X � � �2� 51 22 2 2 2
p p
x ′OronavaitposéX�e . f (x)�0sietseulementsiX�2� 5ouX�2� 5soit
p p
x xe �2� 5 ou e �2� 5
p ( p )
Lapremièreestimpossiblecar2� 5�0,etladeuxièmedonnex�ln 2� 5 .( p )
′Bilan: f (x)�0sietseulementsix�ln 2� 5
4. (a) D’aprèsletableauprécédent,onendéduitletableausuivant:
p
x �10 ln(2� 5)
′ �f (x) 0 �
0 �1
f(x) p
f(ln(2� 5))
p
(b) Sur]0;ln(2� 5)], f eststrictementdécroissanteetcontinue.Ellevaut0en0etestdoncstric-p
tementnégativesur]0;ln(2� 5)]:ellenepeuts’yannuler.p p
Sur[ln(2� 5);�1 [, f estcontinue,etstrictementcroissante. f(ln(2� 5))��3,3�0et lim f(x)��1 .
x!�1
D’après le théorème de la bijection, l’équation f(x)� 0 admet donc une unique solution surp
[ln(2� 5;�1 [.
Bilan: f(x)�0n’admetqu’uneuniquesolutionsur]0;�1 [.
5. (a) Oncomplète:
m a b b�a b�a�0,1
2 3 1 Vrai
2,5 2 2,5 0,5 Vrai
2,25 2,25 2,5 0,25 Vrai
2,375 2,375 2,5 0,125 Vrai
2,4375 2,4375 2,5 0,625 Faux
Alafindel’algorithme,a�2,4375etb�2,5.
(b) Onaunalgorithmededichotomiepourdéterminerunevaleurapprochéedel’équation f(x)�
�10à10 près.Ainsi,onobtient
2,4375���2,5
t t6. D’aprèscequiprécède, vérifiel’équation f(x)�0,etdonc ��.Onobtient
39 39
39�2,4375�95,0625�t�2,5�39�97,5
etpuisquelalargeur(etdonclahauteur)estledoubledecettesolution,onobtientunencadrement
delahauteur:
190,125�H�195
2/8EXERCICE 2(4points)
PartieA
1. (a) D’aprèsl’énoncé,onaP(G)�0,20.
(b)
Onutilisel’énoncé,etoncomplèteenutilisantlaloidesnoeuds:lasommedesprobabilitésissuesd’unnoeudvaut1.
2. Parpropriété,
P(V\G)�P(V)�P (G)�0,4�0,08�0,032V
3. D’aprèsladéfinitiondesprobabilitésconditionnelle
P(V\G)
P (G)�V
P(V)
IlnousfautP(V\G).D’aprèslaformuledesprobabilitéstotales:
P(G)�P(V\G)�P(V\G)
etdonc
P(V\G)�P(G)�P(V\G)�0,20�0,032�0,168
Ainsi
0,168
P (G)� �0,28V 0,6
PartieB
1. On dispose d’une expérience de Bernoulli, de succès “V”, probabilité P(V)�0,4 et d’échec
“V”.
Onrépètecetteexpériencen fois,demanièresuccessive,indépendante,etavecremise.
X,quicomptelenombredesuccès,suitdoncuneloibinomiale,deparamètren etp�0,4.
3/82.
(a) PardéfinitiondeX:
( )
40 15 40�15P(X�15)� p (1�p) �0,123
15
(b) OnchercheP(X⩾20)�1�P(X⩽19).Enutilisantlacalculatrice,
P(X⩾20)�0,130
3. OnchercheP(1450⩽X⩽1550),c’est-à-dire:
P(1450⩽X⩽1550)�P(�50⩽X�1500⩽50)
( )
�5 X�1500 5
�P ⩽ ⩽
3 30 3
( )
5 5
�P � ⩽Z⩽
3 3
Zsuivantuneloinormalecentréeréduite,enutilisantlacalculatrice:
P(1450⩽X⩽1550)�0,904
EXERCICE 3(5points)
PartieA
1. (a) Par définition des hauteurs, la hauteur issue de E dans le tétraèdre ABCE est la droite
(AE)(car ABCDEFGHestuncubedonc(AE)et(ABC)sontorthogonaux)etcelleissue
deCestladroite(BC)(car(BC)et(ABE)sontorthogonaux).
(b) Lesdroites(AE)et(BC)nesontpasconcourantes.Eneffet,(AE)estdansleplan(ADEH)
et(BC)dansBCGFetcesdeuxplanssontstrictementparallèles,carABCDEFGHestun
cube.Ainsi,danscetétraèdreABCE,leshauteursnepeuventêtreconcourantes.
# # #
2. (a) Danslerepère(A;AB;AD;AE),ona A(0,0,0),C(1,1,0)etH(0,1,1).Onconstatequeces
trois points vérifient l’équation x�y�z� 0, qui est bien l’équation d’un plan. Donc
(ACH):x�y�z�0.
0 1
�1
# @ A1(b) OnaF(1,0,1)etD(0,1,0).AinsiFD .Remarquonsqu’unvecteurnormalde(ACH)
�1
0 1
1
# #@ A�1est n ��FD. Ainsi, (FD) est orthogonale au plan (ACH), et passant par F, donc
1
estlahauteurissuedeFdutétraèdreACHF.
(c) Parlemêmeraisonnement,lahauteurissuedeAestladroite(AG),celleissuedeCest
ladroite(CE)etcelleissuedeHestladroite(HB).
Ilestindiquédansl’énoncéquecesquatredroitessontconcourantes(enlecentredu
cube).Ainsi,lesquatrehauteursissuesdeACHFsontantes.
PartieB
1. (a) La droite (MK) est orthogonale au plan (NPQ). La droite (PQ) est une droite du plan
(NPQ). Par définition de l’orthogonalité, (MK) est orthogonale à toutes les droites du
plan(NPQ),etdoncorthogonaleà(PQ).
4/8(b) (PQ) est orthogonale à (MK) et (NK), donc à deux droites distinctes sécantes du plan
(MNK).Parthéorème,(PQ)estorthogonaleauplan(MNK).
2. (PQ) est orthogonale au plan (MNK) donc à toute droite du plan. En particulier, (PQ) est
orthogonaleà(MN)etdonclesarêtes[MN]et[PQ]sontorthogonales.
PartieC
Onvautiliserlecritèreprécédent.Onconstateque
0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1
�4 7 7 3 3 0
# # # # # # @ A @ A @ A @ A @ A @ ARS �1 , RT �6 , RU 2 , ST �5 , SU 3 et TU 8
�4 3 1 7 5 �2
Remarquonsalorsque
# #
RT�SU�7�3�6�3�3�5�18̸ 0
Ainsi,lesarêtes[RT]et[SU]nesontpasorthogonales,etletétraèdrenepeutêtreorthocentrique.
EXERCICE 4 (NON SPÉ)(5points)
1.
(a) Onpartdelaformeexponentielle:
p p ( ( ) ( ))3 � 3 � ��i
6e � cos � �isin �
2 2 6 6( )p p
3 3 1
� �i
2 2 2
p p
3 3 3�i 3
� �i �
4 4 4
p
3 ��i
6(b) Onutilisel’écriturez �8etpourtoutn z � e z .Onaalors0 n�1 n
2
p � � ��i �2i �i
6 6 3z �8, z �4 3e , z �6e �6e0 1 2
puis
p p p� �
�3i �i6 2z �3 3e �3 3e ��3 3i3
p
Lapartieimaginairedez est�3 3.3
(c)
Onreprésenteles4pointsenutilisantleurreprésentationexponentielleetenutilisantunrapporteur.
5/8( )p n
3 n��i
62. (a) SoitPlapropositiondéfiniepourtoutentiernatureln par:P :“z �8� e ”.n n
2
(p )0 0�3 �i
6• Pourn�0,z �8et8 e �8.Ainsi,P estvraie.0 02
• SupposonslapropositionP vraiepouruncertainentiern fixé.Onutilisealorslanotationn
exponentielle:
p
3 ��i
6z � e zn�1 n
2 ( )p p n
3 � 3 n��i �i
6 6� e �8� e parhypothèsederécurrence
2 2
( )p n�1
3 n� ��i �i
6 6�8� e
2
( )p n�1
3 (n�1)��i
6�8� e
2
P estvraieetlapropositionPesthéréditaire.n�1
Bilan:d’aprèsleprincipederécurrence,lapropositionP estvraiepourtoutentier n,etonan
bien:
( )p n
3 n��i
68n, z �8� en
2
(b) D’aprèscequiprécède,onendéduitque,pourtoutn
( )p n
3
jz j�8n
2
p
3
Ainsi, (u ) est une suite géométrique, de premier terme u �8 et de raison . Puisque�1�n 0
2p
3
�1,onendéduitquelasuite(u )tendvers0.n
2
6/83. (a) Onutiliselavaleurobtenuedez .Onconstatequepourtoutk,z ̸ 0etona:n k
( ) ( )p pn�1 n(n�1)� (n)�3 3�i �i
6 68 e �8 ez �z 2 2k�1 k
� ( )p n�1 (n�1)�z 3k�1 �i
68 e
2
p
�3 �i
6e �1
2� p
�3 �i 6e2
p �
i 63�2e
� p
3( )pp
3 13�2 � i
2 2 1
� p ��p i
3 3
Onaalors � �
� �z �z 1k�1 k� ��p� �zk�1 3
c’est-à-dire
A A jz �z j 1k k�1 k�1 k
� �p
OA jz jk�1 k�1 3
1
petdoncA A � OA .k k�1 k�1
3
(b) Onutiliselerésultatprécédent:
ℓ �A A �����A An 0 1 n�1 n
1 1 1
�p OA �p OA �����p OA1 2 n
3 3 3
1
� (jz j�����jz j)p 1 n
3
1
� (u �����u )p 1 n
3
p
1 u �u 31 n�1� p car(u )estgéométriquederaisonp n
3 23 1�
2
p
38 �un2� p
13� 2
Puisquelasuite(u )convergevers0,onendéduitque(ℓ )convergeégalementetn n
p p38 8 32lim ℓ �p � pn
n!�1 3�1/2 2 3�1
EXERCICE 4 (SPÉCIALITÉ)(5points)
PartieA
2 21. Remarquonsque(1,0)estsolutionde(E)car1 �8�0 �1.
2 22. (a) SoitPlapropositiondéfiniepourtoutentiernatureln par:P :“x �8y �1”.n n n
• Pourn�0,onvientdevoirque(1,0)estsolutionde(E).DoncP estvraie.0
• SupposonslapropositionP vraiepouruncertainentiern fixé.Onaalorsn
x �3x �8y et y �x �3yn�1 n n n�1 n n
7/8Onremplacedansl’équation:
2 2 2 2x �8y �(3x �8y ) �8(x �3y )n n n nn�1 n�1
2 2 2 2�9x �48x y �64y �8(x �6x y �9y )n n n nn n n n
2 2 2 2�9x �48x y �64y �8x �48x y �72yn n n nn n n n
2 2�x �8y �1car(x ,y )estsolutionparhypothèsederécurrencen nn n
Ainsi,P estvraieetlapropositionesthéréditaire.n�1
Bilan:d’aprèsleprincipederécurrence,P estvraiepourtoutn.Ainsi,pourtoutn,(x ,y )estn n n
solutionde(E).
(b) Onaparconstruction
x �3x �8yn�1 n n
Puisque les solutions sont des entiers naturels donc positifs, on a x ⩾3x � x car x �0n�1 n n n
d’aprèsl’énoncée.Lasuite(x )estdoncstrictementcroissante.n
3. D’aprèscequiprécède,lasuite(x )eststrictementcroissantedonclescouples(x ,y )sontdeuxàn n n
deuxdistincts.Puisquecesontdessolutionsde(E),onendéduitqu’ilyauneinfinitédesolutionde
(E).
PartieB
21. Remarquons que 8 et 9 sont puissants. En effet, seul 2 est diviseur premier de 8 et 2 � 4
2divise8.Demême,seul3estdiviseurpremierde9,et3 �9divise9.Donc(8,9)désignedes
nombresentiersconsécutifspuissants.
2 3 22. Soit p unnombrepremierdivisant n�a b .Alors,puisqu’ilestpremier,soitildivise a et
3donca,soitildiviseb etdoncb (soitlesdeux)
2 2S’ildivisea,alorsp divisea etdoncn.
2 2S’ildiviseb,alorspb etdoncn également.
Danstouslescas,p divisen :n estunnombrepuissant.
3. Soit(x,y)solutionde(E).
2 2 3Déjà,x estpuissant,carils’écritx �1 etonpeututiliserlaquestionprécédente.
Deplus,
2 2 2x �1�(1�8y )�1�8y
2 2 3 2doncx �1�y 2 etd’aprèslaquestionprécédente,x �1estégalementpuissant.
4. D’aprèslapartieA,ilyauneinfinitédesolutionsà(E).D’aprèslapartieB,àchaquesolution
de(E)onobtientdeuxnombresconsécutifspuissants.
Bilan:Onadoncuneinfinitédenombresconsécutifspuissants.
8/8