Corrigé du baccalauréat STI Antilles-Guyane

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
Durée : 4 heures [ Corrigé du baccalauréat STI Antilles-Guyane \ Génie mécanique, énergétique, civil juin 2009 EXERCICE 1 5 points 1. France Étranger Total Le week-end 80 25 105 La semaine 40 0 40 Deux semaines 30 75 105 Total 150 100 PPPPPPP250 250 2. a. p(F )= 150 250 = 3 5 = 0,6. b. p(S)= 105 250 = 21 50 = 0,42. c. Il faut trouver pS(F )= p(S?F ) p(S) = 30 250 105 250 = 30 105 = 2 7 . 3. Les frais de dossier s'élèvent pour l'agence à : a. X 2 5 15 p(X = xi ) 0,42 0,16 0,42 b. E(X )= 2?0,42+5?0,16+15?0,42 = 0,84+0,80+6,30 = 7,94 (. c. Le coût moyen d'un dossier est égal à 7,94 ( ; pour rentrer dans ses frais l'agence doit au moins demander cette somme à chaque client, soit 8 ( à 10 centimes près. EXERCICE 2 4 points 1. Le nombre complexe z = 1+ i p 3 a pour module et argument respectivement : On a |z|2 = 1+3= 4= 22 ?|z| = 2.

• ?? z


• lnx


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• axe des ordonnées d'équation


• baccalauréat sti


• ??


• signe du numérateur lnx

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 juin 2009
• Nombre de lectures: 32
• Langue: Français

Extrait

Durée : 4 heures

[Corrigé du baccalauréat STI AntillesGuyane\ Génie mécanique, énergétique, civil juin 2009

E X E R C IC E 1 5points France ÉtrangerTotal Le weekend80 25105 La semaine40 0 40 1. Deux semaines30 75105 P P 250 P Total 150100 P P 250 P 150 3 2. a.p(F)= ==0, 6. 250 5 105 21 b.p(S)== =0, 42. 250 50 30 p(S∩F2) 30 250 c.Il faut trouverp S (F)= == =. 105 p(S) 1057 250 3.Les frais de dossier s’élèvent pour l’agence à :

X152 5 a. p(X=x i 0,16 0,42) 0,42 b.E(X)=2×0, 42+5×0, 16+15×0, 42=0, 84+0, 80+6, 30=7, 94(. c.94Le coût moyen d’un dossier est égal à 7,(; pour rentrer dans ses frais l’agence doit au moins demander cette somme à chaque client, soit 8( à 10 centimes près.

E X E R C IC E 2 4points 1.Le nombre complexez=1+i 3a pour module et argument respectivement : 2 2 On a|z| =1+3=4=2⇒ |z| =2. Ã ! 1 3 ¡ ¢ π π D’oùz=2+i=2 cos+i sin. Donc réponse B. 3 3 2 2 2 2.Si A(1+i), on a OA=1+1=2, donc OA=2, donc réponse C z−i 3.= −i⇐⇒z−i= −iz+1⇐⇒z(1+i)=1+i⇐⇒z=1 (car 1+i6=0. Donc z+i réponse A. 4.Si A(0 ;−i) et B(1 ; 0), alors | z+i | = | z−1 | signifie queMA=MB, donc queM appartient à la médiatrice de [AB] qui a pour équationy= −x. Donc réponse B. Remarque : on peut aussi noterz=x+iyet arriver ày= −x.

P R O B L È M E Partie A : recherche de l’expression def(x) En utilisant le graphique de la feuille annexe,

11 points

A. P. M. E. P.

Corrigé du baccalauréat STI Génie mécanique, énergétique, civil

1.On litf(1)=2. La droiteTest la tangente à la courbe au point d’abscisse 1. Le nombre dérivé ′ f(1) est donc le coefficient directeur deTqui contient les points (0; 1) et 2−1 ′ (1 ; 2), doncf(1)= =1. 1−0 1 ×x−lnx×1 1−lnx ′ x 2.x6=0, doncfest dérivable sur ]0 ;+∞[ etf(x)=a=a. 2 2 x x 3.  ln 1 ½  ½  a+b=2 f(1)=2b=2 1 ⇐⇒ ⇐⇒ ′ 1−ln 1 f(1)=1  a=1  a=1 2 1 lnx Conclusion : sur ]0 ;+∞[,f(x)= +2. x Partie B : étude de la fonctionf 1 1.lnOn sait que limx= −∞et que lim= +∞, d’où par produit des limites x x→0x→0 lnx lim= −∞. x x→0 On en déduit que l’axe des ordonnées d’équationy=0 est asymptote verticale àCau voisinage de 0. lnx 2. a.On sait (puissances comparées) quelim=0 et par conséquent x→+∞ x limf(x)=2. x→+∞ Donc la droiteDd’équationy=2 est asymptote à la courbeCau voisi nage de plus l’infini. lnx b.Soitdla fonction définie sur ]0 ;+∞[ pard(x)=f(x)−2=. x Commex>0, le signe de ce quotient est le signe du numérateur lnx, soit :  lnx>0⇐⇒x>1, donc sur l’intervalle ]1 ;+∞[Cest au dessus deD;  lnx=0⇐⇒x=1 ; le point (1 ; 2) est commun àCet àD;  lnx<0⇐⇒x<1, donc sur l’intervalle ]0; 1[ la courbeCest au dessous deD. c.Voir plus bas. 1 ×x−lnx×1 1−lnx ′ x 3.Sur ]0 ;+∞], la fonctionfest dérivable etf(x)= =. 2 2 x x 2 4.Commex>0 sur ]0 ;+∞] la dérivée est du signe du numérateur 1−lnx. Or 1−lnx>0⇐⇒1>lnx⇐⇒e>x. La dérivée est positive non nulle sur l’intervalle ]0 ; e[. De même 1−lnx<0⇐⇒1<lnx⇐⇒e<x. La dérivée est négative non nulle sur ]e ;+∞[. D’où le tableau de variations :

AntillesGuyane

x0 e+∞ ′ f(x) − +0 1 2+ e f(x) −∞ 2

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juin 2009

A. P. M. E. P.

Corrigé du baccalauréat STI Génie mécanique, énergétique, civil

Partie C : Calcul d’une aire

2 g(x)=(lnx) 1 lnx ′ ′ 1.gest dérivable sur ]0 ;+∞[ etg(x)=2 lnx×(lnx)=2 lnx× =2 . x x lnx1 1 2 Conclusion sur ]0 ;+∞est[ une primitive deg(x)=(lnx) . x2 2 Finalement une primitive defsur ]0 ;+∞[ est la fonctionFdéfinie sur cet 1 2 intervalle estF(x)=(lnx)+2x. 2 2.On a vu que sur [1; e],Cest au dessus deD, donc l’aireAdu domaineSest en unité d’aire l’intégrale : Z ·¸ e e 1 1 £ ¤ 1 e 22 2 A=[f(x)−2]dx= [ F(x)−2x ] =(lnx)=(ln e)−(ln 1)=(u. a.). 1 1 2 22 1 L’unité de longueur étant sur les deux axes de 2 cm, une unité d’aire est égale 2 à 2×2=4 cm. 1 2 D’oùA= ×4=2 cm. 2

AntillesGuyane

3

juin 2009

A. P. M. E. P.

y

−→ 

−→ O ı

AntillesGuyane

Corrigé du baccalauréat STI Génie mécanique, énergétique, civil

Feuille annexe

(à rendre avec la copie)

S

e

4

T

C

D

x

juin 2009