Corrigé du baccalauréat STI Génie électronique

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
Durée : 4 heures [ Corrigé du baccalauréat STI Génie électronique \Antilles-Guyane juin 2007 EXERCICE 1 4 points 1. On a ∆ = 36?40 = ?4 = (2i)2. L'équation a donc deux solutions complexes conju- guées : 6+2i 2 = 3+ i et 3? i. Ou bien : z2?6z+10= 0 ?? (z?3)?9+10= 0 ?? (z?3)2+1= 0 ?? (z?3)2?i2 = 0 ?? (z?3? i)(z?3+ i) et l'on retrouve les deux solutions. 2. a. P (6) = 63?12?62 +46?6?60 = 216?432+276?60 = 492?492 = 0. On peut donc factoriser P (z) par z?6). b. P (z)= (z?6) ( az2+bz+c ) ?? z3?12z2+46z?60= (z?6) ( az2+bz+c ) ?? z3?12z2+46z?60 = az3+bz2+cz?6az2?6bz?6c ?? z3?12z2+46z?60= az3+(b?6a)z2+(c?6b)z?6c ?? ? ? ? ? ? ? ? a = 1 b?6a = ?12 c?6b = 46 ?6c = ?60 ?? ? ? ? ? ? ? ? a = 1 b = ?6 c = 10 c = 10 On a donc P (z)= z3?12z2+46z?60 = (z?6) ( z2?6z+10 ) .

• e2ln2 ?


• solu- tions de l'équation de la question


• génie électrotechnique


• e2x ?ex


• ?? ?


• solution de l'équation différentielle


• cz?6az2?6bz?6c ??


• ??

Sujets

• Génie électrotechnique

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 juin 2007
• Nombre de lectures: 19
• Langue: Français

Extrait

Durée:4heures
[CorrigédubaccalauréatSTIGénie
électronique\Antilles-Guyanejuin2007
EXERCICE 1 4points
21. On aΔ= 36−40=−4= (2i) . L’équation a donc deux solutions complexes conju-
guées:
6+2i
=3+i et 3−i.
2
2 2 2 2Oubien:z −6z+10=0 ⇐⇒ (z−3)−9+10=0⇐⇒ (z−3) +1=0 ⇐⇒ (z−3) −i =
0 ⇐⇒ (z−3−i)(z−3+i)etl’onretrouvelesdeuxsolutions.
3 22. a. P(6)=6 −12×6 +46×6−60=216−432+276−60=492−492=0. Onpeut
doncfactoriserP(z)parz−6).
? ? ? ?
2 3 2 2b. P(z)=(z−6) az +bz+c ⇐⇒ z −12z +46z−60=(z−6) az +bz+c ⇐⇒
3 2 3 2 2 3 2z −12z +46z−60=az +bz +cz−6az −6bz−6c ⇐⇒ z −12z +46z−60= 
a = 1 a = 1   
b−6a = −12 b = −63 2az +(b−6a)z +(c−6b)z−6c ⇐⇒ ⇐⇒
 c−6b = 46  c = 10 
−6c = −60 c = 10
Onadonc
? ?
3 2 2P(z)=z −12z +46z−60=(z−6) z −6z+10 .
? ?
2c. P(z)=0 ⇐⇒ (z−6) z −6z+10 =0.Lessolutionssontdoncz=6etlessolu-
tionsdel’équation delaquestion1.
S={6 ; 3+i ; 3−i}
3. Voirplusbas
4. Lemilieude[OC]apourcooordonnées(3;0);
? ?
3+3 1−1
Celuide[AB]apourcooordonnées ; =(3; 0).
2 2
[OC]et[AB]ontlemêmemilieu:lequadrilatèreOABCestunparallélogramme.
p p
2 25. OA=|3+i|= 3 +1 = 10;
p p
2 2OB=|3−i|= 3 +(−1) = 10.
LequadrilatèreOACBadeuxcôtésconsécutifsdemêmelongueur:c’estunlosange.
2
A
1
C
O
−1 1 2 3 4 5 6
−1
B
−2
bbbCorrigédubaccalauréatSTIGénieélectrotechnique,génieoptique A.P.M.E.P.
EXERCICE 2 6points
PartieI
1. Onconstruitletableauàdouble-entréesuivant:
XX eX 2 jetonXXX 2 1 1 0,5 0,5
er XX1 jeton XX
2 3 3 2,5 2,5
1 3 2 1,5 1,5
1 3 2 1,5 1,5
0,5 2,5 1,5 1,5 1
0,5 2,5 1,5 1,5 1
Onpeutdoncobtenir:
1; 1,50; 2; 2,50; 3
8 2
2. a. p(A)= = =0,4.
20 5
2 1
b. p(B)= = =0,1.
20 10
? ?
3. OnaP(S>2)=1− p(A)+p(B) =1−0,5=0,5.
PartieII
1. C’estlaprobabilitédetirer1,50(,soitlaprobabilitédeAsoit0,4.
x 2 3 4 5 6i
2.
p(X=x ) 0,1 0,4 0,1 0,2 0,2i
3. OnaE(X)=2×0,1+3×0,4+4×0,1+5×0,2+6×0,2=0,2+1,2+0,4+1+1,2=4.
Enmoyennesurungrandnombredetiragesonpourrastationnerpendant4heures.
PROBLÈME 10points
PartieI
1. Onsaitquelessolutions decetteéquationdifférentiellesontdelaforme:
2xy=Ce , C∈R.
′ x2. a. Onau (x)=ae .
u estunesolutiondel’équationdifférentielle (E)sietseulement si
x x x x xae −2ae =e ⇐⇒ −ae =e ⇐⇒ a=−1.
xLafonction−e estdoncsolutionde(E).
2x xb. w(x)=be −e ,doncw(0)=b−1=0⇐⇒ b=1.
2x xConclusion:lafonctione −e estlasolutionde(E)quivérifiew(0)=0.
PartieII
x2x x x x1. Commee −e =e (e −1)etque lim e =+∞,onpeutendéduireque
x→+∞
lim f(x)=+∞.
x→+∞
xEnmoinsl’infini:comme lim e =0,onpeutendéduireque lim f(x)=0.
x→−∞ x→0
Géométriquement ceci signifie que l’axe des abscisses est asymptote horizontale à
lacourbeC auvoisinagedemoinsl’infini.f
Antilles-Guyane 2 juin2007CorrigédubaccalauréatSTIGénieélectrotechnique,génieoptique A.P.M.E.P.
a. f estladifférencededeuxfonctionsdérivablessurRet
′ 2x x x xf (x)=2e −e =e (2e −1).
x ′Commee >0,quelquesoitleréeelx,lesignede f (x)estceluideladifférence
x2e −1.
? ?1x x x 1Or2e −1>0 ⇐⇒ 2e >1 ⇐⇒ e > ⇒x>ln ⇐⇒ x>−ln2.22
xDemême2e −1<0entraînex<−ln2.
1 1 1 1 1 1 1−2ln2 −ln2b. f(−ln2)=e −e = − = − = − =−
2ln2 ln2 ln4 ln2e e e e 4 2 4
c. Onadoncletableaudevariationssuivant:
x −∞ −ln2 +∞
+∞0
f(x)
1−
4
′2. M(x ; y)∈T ⇐⇒ y−f(0)= f (0)(x−0) ⇐⇒ y−0=1(x) ⇐⇒ y=x.
3. Voirplusbas.
PartieIII
1. Sur]−∞;−ln2[, f(x)60.
Sur ]−ln2 ; +∞[, la fonction f est croissante : elle s’annule donc pour une valeur
2×0 0unique0,car f(0)=e −e =1−1=0.
Conclusion:sur]−∞; 0[, f(x)<0etsur]0;+∞[ f(x)>0.
? ? ? ?Z Zln2 ln2 ln2? ? 1 1 12x x 2x x 2×(ln2) ln2 2×0 02. I= f(x)dx= e −e dx= e −e = e −e − e −e =
2 2 20 0 0
1 1 1 1 12×(ln2) ln2e −e − +1= ×4−2− +1= .
2 2 2 2 2
3. a. Voirplusbas.
b. Onavu que pour x>0, f(x)>0, doncl’airede lapartieD est, enunité d’aire
1
égaleàl’intégraleI,soit (u.a.)
2
2Orl’unitéd’aireestégaleà3×3=9cm .
1 9 2Doncl’aireestégaleà9× = cm .
2 2
Antilles-Guyane 3 juin2007CorrigédubaccalauréatSTIGénieélectrotechnique,génieoptique A.P.M.E.P.
C
2
1
→−

→−O e
−3 −2 −1 ı 1
Antilles-Guyane 4 juin2007