Corrigé du baccalauréat STI La Réunion 15 juin 2007

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
Durée : 4 heures [ Corrigé du baccalauréat STI La Réunion 15 juin 2007 \ Génie mécanique, énergétique, civil EXERCICE 1 5 points 1. ∆ = ( 4 p 3 )2 ?4?16 = 48?64 = ?16 = (4i)2 ; l'équation a donc deux solutions complexes conjuguées : 4 p 3+4i 2 = 2 p 3+2i et 2 p 3?2i 2. a. |zA|2 = ? ?2 p 3?2i ? ? 2 = 12+4= 16= 42 ?|zA| = 4. On peut écrire zA = 4 (p 3 2 )i 1 2 ) = 4 ( cos?π6 + isin? π 6 ) . Un argument de zA est donc ? π 6 . Comme zB est le conjugué de zA, son module est égal à 4 et un de ses arguments à π 6 . b. Le point A est à l'intersection du cercle centré en O de rayon 4 et de la droite d'équation y = ?2 et B à l'intersection du cercle centré en O de rayon 4 et de la droite d'équation y = 2. c. (??? OA ; ??? OB ) = (??? OA ; ?? u ) + (?? u ; ??? OB ) =?arg(zA)+arg(zB)= π 6 + π 6 = π

• solution précédente


• corrigé du baccalauréat sti


• ?? ?


• sin π


• x??∞ ex


• baccalauréat sti


• ??

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 juin 2007
• Nombre de lectures: 10
• Langue: Français

Extrait

Durée:4heures
[CorrigédubaccalauréatSTILaRéunion15juin2007
\
Géniemécanique,énergétique,civil
EXERCICE 1 5points
? p ?2 21. Δ= 4 3 −4×16=48−64=−16=(4i) ; l’équation a donc deux solutions
complexesconjuguées:
p
p p4 3+4i
=2 3+2i et 2 3−2i
2
? ?p 22 2? ?2. a. |z | = 2 3−2i =12+4=16=4 ⇒|z |=4.A A? !p
? ?3 1 π πOnpeutécrirez =4 )i =4 cos− +isin− .A 6 62 2
π
Unargumentdez estdonc− .A
6
Comme z est le conjugué de z , son module est égal à 4 et un de sesB A
π
argumentsà .
6
b. Le point A est à l’intersection du cercle centré en O de rayon 4 et de la
droite d’équation y =−2 et B à l’intersection du cercle centré en O de
rayon4etdeladroited’équation y=2.
? ? ? ? ? ?−−→ −−→ −−→ →− →− −−→ π π π
c. OA ; OB = OA ; u + u ; OB =−arg(z )+arg(z )= + = .A B
6 6 3
d. On sait déjà que OA = OB donc que OAB est isocèle en O, et comme? ?−→ −→ π π
OA ; OB = , les trois angles ont mesure : OAB est donc équilaté-
3 3
ral.
e. Soit H le projeté orthogonal de A (ou de B) sur l’axe des abscisses; il ap p
pourcoordonnées(2 3; 0);doncOH=2 3.
On sait que le centre du cercle circonscrit au triangle équilatéral OAB
estaussil’orthocentreetlecentredegravitédecetriangle;cecentrede
gravité est situé sur la médiane [OH] aux 2/3 sur cette médiane à partir
p
p2 4 3
de O. Donc à une distance de ×2 3= . Ce centre de gravité est
3 3
donclepointI.A.P.M.E.P. CorrigédubaccalauréatSTIGéniemécanique,énergétique,civil
B
2
1
→−
v
I H
→−O
u 1 2 3
−1
−2
A
EXERCICE 2 4points
1 ′′ ′′1. y +9y=0 ⇐⇒ y +36y=0.
4
Onsaitque les solutions decette équation sont dela forme f(x)= Acos6x+
Bsin6x, A∈R,B∈R.
′2. Ladérivéedesfonctionssolutionsest: f (x)−6Asin6x+6Bcos6x;
 ? ? ( (π 1 1 1 f = − Acosπ+Bsinπ = − −A = −6 2? ? ⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒2 2p p pπ ′f = 3 3 −6Asinπ+6Bcosπ = 3 3 −6B = 3 3
6
1 A =
2p
3 B = −
2
Lasolutionparticulièreestdoncdéfiniepar:
p
1 3
f(x)= cos6x− sin6x.
2 2
3. a. Lasolutionprécédentepeuts’écrire:
? ?
π π π π πf(x)=cos− cos6x+sin− sin6x=cos cos6x−sin sin6x=cos 6x+ .3 3 3 3 3? ?
π π π πb. f(x)= 0 ⇐⇒ cos 6x+ = 0⇒6x+ = +kπ, k∈Z ⇐⇒ 6x= +3 3 2 6
π πkπ ⇐⇒ x= +k .36 6
? ?
5π π
4. Lavaleurmoyenne?delafonction f surl’intervalle − ; estégaleà:
36 36
πZ π ? ? ? ?? ? ? ?361 36 6 π 6 π π 6 5π π
?= f(x)dx= sin 6x+ = sin + − sin − + =
π 5π 5π 5ππ 3 π 6 3 π 6 3+ − −36 36 36 36? ?6 π 6 π 6 6 12
sin − sin − = + = .
π 2 π 2 π π π
LaRéunion 2 juin2007
bbbbA.P.M.E.P. CorrigédubaccalauréatSTIGéniemécanique,énergétique,civil
PROBLÈME 11points
PartieA:étuded’unefonctionauxiliaire
1. g estlasommedefonctionsdérivablessurRetsurcetintervalle:
? ?
′ −2x −x −2x −x −x 2g (x)=−4e +8e −4=−4 e +2e +1 =−4(e +1) .
2−x2. Comme(e −1) >0quelquesoitleréelx,ladérivéeestnégativeetlafonc-
tionestdécroissantesurR.D’oùletableaudevariations:
x −∞ +∞
f(x)
3. a. g(0)=2−8−0+6=0.
b. LafonctionétantdécroissantesurRets’annulanten0,onendéduitque:
-sur]−∞; 0[, g(x)>0;
-sur]0;−∞[, g(x)<0.
PartieB:étudedelafonction
2−x −2x −x 21. a. Posonse =X ;alorse =(e ) =X ;l’équation àrésoudres’écrit :
2 2 22X −8X+6=0 ⇐⇒ X −4X+3=0 ⇐⇒ (X−2) −4+3=0 ⇐⇒ (X−
2 2 22) −1= 0 ⇐⇒ (X−2) −1 = 0 ⇐⇒ (X−2+1)(X−2−1)= 0 ⇐⇒? ?
X−1 = 0 X = 1
⇐⇒
X−3 = 0 X = 3
Ilresteàrésoudre:? ? ?−xX=e = 1 −x = 0 x = 0
⇐⇒ ⇐⇒ On a−xX=e = 3 −x = ln3 x = −ln3
doncS= −ln3 ; 0 .{ }
b. Voirplusbas.
−x −2x2. a. Ona lim e = lim e =0,donc lim f(x)=6.
x→+∞ x→+∞ x→+∞
Ceci montre que la droiteD d’équation y=6 est asymptote à la courbe
C auvoisinagedeplusl’infini.
−2xb. Dansl’écriturede f(,factorisonse ;
? ?
−2x x 2xf(x)=e 2−8e +6e ;
? ?
x 2x x 2xComme lim e = lim e =0,onpeutendéduireque lim 2−8e +6e =
x→−∞ x→−∞ x→−∞
−2x2 et comme lim e =+∞, on en déduit par produit de limites que
x→−∞
lim f(x)=+∞.
x→−∞
3. a. f sommedefonctionsdérivablesqurRestdérivablesurcetintervalleet
′ −2x −x −x −xf (x)=−4e +8e =4e (−e +2).
−x ′ −xComme4e >0quelquesoitleréelx, f (x)estdusignede−e +2.
−x −xb. Ona−e +2>0 ⇐⇒ 2>e ⇐⇒ ln2>−x ⇐⇒ x>−ln2.
′Doncsur]−ln2;+∞[, f (x)>0,donc f estcroissante,
′sur]−∞;−ln2[, f (x)<0,donc f estdécroissante.
D’oùletableaudevariationsde f :
x −∞ −ln2 0 +∞
f(x) 0
−2
LaRéunion 3 juin2007A.P.M.E.P. CorrigédubaccalauréatSTIGéniemécanique,énergétique,civil
2ln2 ln2 ln4 ln2f(−ln2)=2e −8e +6=2e −8e +6=2×4−8×2+6=8−16+6=
−2.
′c. Ona M(x ; y)∈T ⇐⇒ y−f(0)= f (0)(x−0) ⇐⇒ y−0=4x(−0) ⇐⇒
y=4x.
d. PourcomparerlespositionsrelativesdeladroiteT etdelacourbeC on
−2x −xconsidèreladifférence f(x)−(4x)=2e −8e +6−4x=g(x)donton
avulesigneàlapartieA.
Six<0,g(x)>0,donclacourbeC estaudessusdeladroiteT ;
Six<0,g(x)<0,donclacourbeC estaudessousdeladroiteT .
e. Voirlafigure.
PartieC:primitiveetcalculd’aire
1. Uneprimitivede f estlafonctionF définiepar:
−2x −xF(x)=−e +8e +6x.
2. Voirlafigure.
3. Surl’intervalle[−ln3; 0], f(x)<0,doncl’aireenunitéd’airedelapartieE est
égaleà:
Z0
0− f(x)dx=−[F(x)] =F(−ln3)−F(0)=−ln3
−ln3 ? ?
2ln3 ln3 0 0−e +8e −6ln3− −e +8e +6×0 =−9+24−6ln3+1−8=8−6ln3.
2Orl’unitéd’aireestégaleà2×2=4cm .
2 2Finalement:A(E)=4(8−6ln3)=32−24ln3≈5,633≈5,63cm aumm près.
LaRéunion 4 juin2007A.P.M.E.P. CorrigédubaccalauréatSTIGéniemécanique,énergétique,civil
5
4
3
2
1
→−

−ln3−ln2
→−O
−2 −1 ı 1 2 3
−1
−2
LaRéunion 5 juin2007