Corrigé du baccalauréat STI La Réunion juin 2007

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
Durée : 4 heures [ Corrigé du baccalauréat STI La Réunion juin 2007 \ Génie électronique, électrotechnique, optique EXERCICE 1 5 points 1. ∆= 9?4?9=?3?9= ( 3 p 3i )2 . L'équation a donc deux solutions complexes conjuguées : 3+3i p 3 2 ; 3?3i p 3 2 . 2. a. On a |zA|2 = ( 3 2 )2 + ( 3 p 3 2 )2 = 9 4 + 27 4 = 9= 32. Donc |zA| = 3. On peut donc écrire zA = 3 ( 1 2 + i p 3 2 ) = 3 ( cos π3 + i sin π 3 ) = 3ei π 3 (écriture exponentielle). Un argument de zA est π 3 . Comme zB est le conjugué de zA son module est égal à 3 et un de ses arguments est ? π 3 . On a donc 3e?i π 3 b. Voir ci-dessous. c. Les points A et B sont symétriques par rapport à l'axe ( O ; ?? u ) car les complexes zB et zA sont conjugués. 3. a.

• temps inférieur


• lnx


• corrigé du baccalauréat sti


• ?2π


• ?? ?


• chemins finissant par le sas


• hauteur du triangle cbd


• baccalauréat sti


• ??

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 juin 2007
• Nombre de lectures: 29
• Langue: Français

Extrait

Durée:4heures
[CorrigédubaccalauréatSTILaRéunionjuin2007\
Génieélectronique,électrotechnique,optique
EXERCICE 1 5points
p¡ ¢2
1. Δ=9−4×9=−3×9= 3 3i .
L’équationadoncdeuxsolutionscomplexesconjuguées:
p p
3+3i 3 3−3i 3
; .
2 2
à !p 2µ ¶23 3 3 9 272 22. a. Ona|z | = + = + =9=3 .Donc|z |=3.A A
2 2 4 4
à !p
¡ ¢1 3 ππ π i
3Onpeutdoncécrirez =3 +i =3 cos +isin =3e (écritureA 3 32 2
π
exponentielle).Unargumentdez est .A
3
Comme z est le conjugué de z son module est égal à 3 et un de sesB A
π π−i 3argumentsest− .Onadonc3e
3
b. Voirci-dessous.
³ ´→−
c. Les points A et B sont symétriques par rapport à l’axe O ; u car les
complexes z et z sontconjugués.B A
−2π′ i
33. a. Onsaitque z =ze .
−2π π −2π −π′ i i i i
3 3 3 3b. Cherchonsl’imageA dupointA:z ′=z e =3e e =3e =z .A BA
OnabienB=R(A).
4. a. Voirplusbas.
p
2| |b. OD= z = (4) =4.Dp
2DC= (−3−4) =7;
q p p
2AB= (3 3) =3 3.
s
µ ¶2p p1 3 3 3
c. Onaz = (z +z )= .IB= − 3 = 3.I A B
2 2 2 2
³ ´→−
A et B étant symétriques autour de O ; u , le point I est sur cet axe et
[BI]esthauteurdutriangleCBD.
p p3 3
7×CD×BI 21 32L’airedecetriangleestdoncégaleàA = = = .1
2 2 4
p
3 3
4× pOD×AI 2
d. A = = =3 3.2
2 2p
21 3
A 71 4Donc = p = .
A 41 3 3CorrigédubaccalauréatSTIGénieélectronique,électrotechnique,optique A.P.M.E.P.
A
2
1
→−
v
C
→−O I D
−3 −2 −1 u 1 2 3 4
−1
−2
B−3
EXERCICE 2 5points
1. Lestrajetspossiblessont:
ABC AFE BCD BAF CAB CDE.
2 1
2. a. IlyadeuxtrajetsquifinissentenE,donc p = = .1
6 3
4 2
b. Ilya4cheminsfinissantparlesas2,donc p = = .2
6 3
3. a. Xpeutprendrelesvaleurs:56 58 66 68 74.
x 56 58 66 68 74i
b.
p(X=x ) 1/6 1/6 1/6 1/6 2/6i
1 1 1 1 2
c. E(X)=56× +58× +66× +68× +74× =66(min)
6 6 6 6 6
Cette espérance représente le temps moyen que mettra le robot pour
nettoyertroissalles.
2 1
d. Onatempsinférieurà60minutesdans2cassur6,soit p = = .3
6 3
2 2 2 2 2(66−56) +(60−58) +(66−66) +(68−66) +2×(74−66)24. a. Onaσ(X) = =
6
100+4+0+4+128 232 116
= = .Doncσ(X)≈6,22.
6 6 3
p
b. Enfaisanttravaillerlerobot365joursona365×E(X)+1,5×σ(X)× 365=
p
365×66+1,5×6,22× 365= 24268,2 (min) soit environ 407,5 h. C’est
doncacceptable.
PROBLÈME 10points
PartieA:étuded’unefonctionauxiliaire g
1. Sur]0 ;+∞[, g produitdefonctionsdérivablesestdérivableet:
1′g (x)=1+lnx+x× =1+lnx+1=2+lnx.
x
−2 −22. 2+lnx>0 ⇐⇒ lnx>−2 ⇐⇒ lnx>lne ⇐⇒ x>e ,parcroissancedela
fonctionlogarithmenépérien.
¤ £
−2 −2 ′Demême2+lnx<0 ⇐⇒ x<e .Conclusion:sur 0; e ,g (x)>0⇒g est
décroissante;
¤
−2 ′e ;+∞[,g (x)<0⇒g estcroissante.
LaRéunion 2 juin2007
bbbbbCorrigédubaccalauréatSTIGénieélectronique,électrotechnique,optique A.P.M.E.P.
¡ ¢ ¡ ¢
−2 −2 −2 −2 −23. Leminimumdeg estdoncg e =1+e 1+lne =1+e (1−2)=1−e .
−24. Comme 1−e ≈ 0,86> 0, on en déduit que la fonction g est positive sur
]0 ;+∞[.
PartieB:étudedelafonction f
1. a. Ona lim x= lim =+∞,onpeutenconclureque lim f(x)=+∞.
x→+∞ x→+∞ x→+∞
b. f(x)peuts’écrire: f(x)=xlnx+lnx.
On sait que limxlnx= 0; comme limlnx=−∞, on peut en conclure
x→0 x→0
que lim f(x)=−∞.
x→0
Géométriquement ceci montre que l’axe des ordonnées est asymptote
verticaleàC auvoisinagede0.
2. a. f produit de fonctions dérivables sur ]0 ; +∞[ est dérivable sur cet in-
tervalleet
1 xlnx+x+1 1+x(1+lnx) g(x)′f (x)=lnx+(x+1)× = = = .
x x 2 x
′b. OnavupartieA,question4queg(x)>0sur]0 ;+∞[;donc f (x)>0sur
]0 ;+∞[etlafonction f estcroissantesurcetintervalle.D’oùletableau
devariations:
x 0 +∞
+∞
f(x)
−∞
½
x+1 = 0
3. Ilfautrésoudredans]0 ;+∞[,l’équation f (x)=0 ⇐⇒ (x+1)lnx ⇐⇒ ⇐⇒
lnx = 0
½
x = −1
x = 1
Seul1∈]0 ;+∞[,doncA(1;0).
4. Lafonction f estcroissantesur[1;2], f(1)=0etf(2)=3ln2≈2,08>1.
Ilexistedoncununiqueréelα∈[1; 2],telque f(α)=1.
Lacalculatricedone f(1,4)≈0,8et f(1,5)≈1,01
Puis f(1,49)≈0,993et f(1,50)≈1,013.
Conclusionα≈1,5àundixièmeprès.
5. Voiràlafin
PartieC:calculd’uneaire
1. Sur]0;+∞[, F estdérivableet
µ ¶2x 1 2x x x′F (x)=(x+1)(lnx−1)+ +x × + =x−x+lnx−1+ +1+ =x+lnx=
2 x 4 2 2
(x+1)lnx= f(x).
DoncF estuneprimitivede f sur]0;+∞[
2. a. Voirplusbas.
b. Ona vu que x>1⇒ f(x)>0. Donc l’aire,enunité d’airedela partieE
estégaleàl’intégrale:
Z µ ¶ µµ ¶ ¶2 2 2 2e e e 1 1ef(x)dx=[F(x)] =F(e)−F(1)= +e (lne−1)+ − +1 (ln1−1)+ =1
2 4 2 41
2 2 2e 3 1 5 e 5+e
+ − = + = .(u.a.)
4 2 4 4 4 4
LaRéunion 3 juin2007CorrigédubaccalauréatSTIGénieélectronique,électrotechnique,optique A.P.M.E.P.
2Or l’unité graphique est égale à 2×2=4 cm . Donc l’aire de la partieE
estégaleà:
25+e 24× =5+e .
4
3
2
1
E
→−

→−O
ı 1 2 3 4
−1
−2
(C)−3
−4
LaRéunion 4 juin2007