Corrigé du baccalauréat STI Polynésie juin 2008

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
Durée : 4 heures [ Corrigé du baccalauréat STI Polynésie juin 2008 \ Géniemécanique, énergétique, civil EXERCICE 1 4 points 1. La probabilité de tomber sur un secteur est proportionnelle à son aire ou en- core à lamesure de l'angle au centre, soit pour un angle demesure d en dégrés par d 360 . D'où la loi de probabilité : d 150 1 p(D = d) 150 360 100 360 50 360 35 360 15 360 10 360 X ?3 0 1 3 7 12 2. La probabilité d'obtenir au moins trois euros est égale à la somme des proba- bilités d'obtenir 3, ou 7 ou 12 euros soit : 35 360 + 15 360 + 10 360 = 60 360 = 1 6 . 3. a. On a E(X )=?3? 150 360 +0? 100 360 +1? 50 360 +3? 35 360 +7? 15 360 +12? 10 360 = ?450+50+105+105+120 360 = ?70 360 =? 7 36 . b. L'espérance mathématique est inférieure à zéro, le jeu est inéquitable pour le joueur. 4. a. Le calcul de l'espérance est le même sauf pour le dernier produit : E(X )= ?190+10(a?3) 360 = 10a?220 360 .

• somme des proba- bilités


• lnx


• espérance mathématique


• zc? za


• ?? ad2


• réciproque du théorème de pythagore


• baccalauréat sti


• ??


• angle demesure


• lamesure de l'angle au centre

Sujets

• Espérance mathématique

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 juin 2008
• Nombre de lectures: 35
• Langue: Français

Extrait

Durée:4heures
[CorrigédubaccalauréatSTIPolynésiejuin2008\
Géniemécanique,énergétique,civil
EXERCICE 1 4points
1. La probabilitédetombersur unsecteur est proportionnelle àsonaireou en-
coreàlamesuredel’angleaucentre,soitpourunangledemesured endégrés
d
par .D’oùlaloideprobabilité:
360
d 150 100 50 35 15 10
150 100 50 35 15 10
p(D=d)
360 360 360 360 360 360
X −3 0 1 3 7 12
2. Laprobabilitéd’obteniraumoinstroiseurosestégaleàlasomme desproba-
bilitésd’obtenir3,ou7ou12eurossoit:
35 15 10 60 1
+ + = = .
360 360 360 360 6
150 100 50 35 15 10
3. a. OnaE(X)=−3× +0× +1× +3× +7× +12× =
360 360 360 360 360 360
−450+50+105+105+120 −70 7
= =− .
360 360 36
b. L’espérance mathématique est inférieure à zéro, le jeu est inéquitable
pourlejoueur.
4. a. Lecalculdel’espéranceestlemêmesaufpourledernierproduit:
−190+10(a−3) 10a−220
E(X)= = .
360 360
b. E(X)=0 ⇐⇒ 10a−220=0 ⇐⇒ a=22(().
EXERCICE 2 4points
? !p p
p p ? ? pπ 2 2i π π
41. a. a=2 2e =2 2 cos +isin =2 2 +i =2+2i.
4 4 2 2
b. Voirlafigureplusbas.
2 2 22. OnaAC=|z −z | =(11−2) +(4−2) =81+4=85;C A
2 2 2BC=|z −z | =(11−5) +(4+3) =36+49=85.C B
22OnadoncAC =bC =85⇒AC=BC,doncABCestuntriangleisocèleenC.
3. a. |z−a|=AM et|z−b|=BM.
b. |z - a| = |z - b| ⇐⇒ AM=BM ⇐⇒ M est équidistant de A et de B. Les
pointsM appartiennentdoncàlamédiatricede[AB].
c. CommeCA=CB,CestéquidistantdeAetdeBetappartientdoncàΔ.
2 2 2 2 2D’autre part AD = (6−2) +(1−2) = 16+1= 17 et BD = (6−5) +
2(1+3) = 1+16= 17, donc D est azussi équidistant de A et de B et D
appartientàΔ.
2 2 24. OnaaussiAB =(5−2) +(−3−2) =9+25=34.
2 2 2Donc 17+17= 34 ⇐⇒ AD +BD = AB ⇐⇒ ABD est un triangle isocèle
rectangleenDd’aprèslaréciproqueduthéorèmedePythagore.A.P.M.E.P. CorrigédubaccalauréatSTIGéniemécanique,énergétique,civil
5. Si ADBH est un carré, c’est un parallélogramme : donc [AB] et [DH] ont le
mêmemilieuI.LepointHestdonclesymétriquedeDautourdeI.
? ?
7 1
OrI ;− .
2 2

7 6+x ? = 1 = x2 2SiH(x ; y),alors ⇐⇒1 1+y −2 = y − =
2 2
DoncH(1;−2).
C
A
D
O
5 10
H
Δ B
PROBLÈME 12points
PartieA-Étudedelafonction f
1
1. Comme lim =0et lim lnx=+∞, lim f(x)=−∞.
x→+∞ x→+∞ x→+∞x
2. a. D’aprèsl’indication lim2x−1−xlnx=−1,ona limf(x)=−∞
x→0 x→0
b. D’aprèslaquestionprécédentel’axedesordonnéesestasymptoteverti-
caleàC auvoisinagedezéro.
3. a. f sommedefonctionsdérivablessur]0;+∞[estdérivablesurcetinter-
tvalleet
1 1 1−x′f (x)=+ − = .
2 2x x x
2 ′b. Comme x < 0 sur ]0 ; +∞[, le signe de f (x) est celui de 1−x; donc
′ ′f (x)>0 ⇐⇒ x<1 et f (x)<0 ⇐⇒ x>1. La fonction est donc crois-
sante puis décroissante; elle a donc un extremum (maximum) en x=1
égalà
f(1)=2−1−ln1=1.
D’oùletableaudevariations:
Polynésie 2 juin2008
bbbbbA.P.M.E.P. CorrigédubaccalauréatSTIGéniemécanique,énergétique,civil
x 0 1 +∞
′ −f (x) + 0
1
f(x)
−∞ −∞
4. a. On a f(0,1)= 2−10−ln0,1≈−5,7< 0 et f(1)= 1> 0. Sur [0,1; 10] la
fonction f est dérivable et à valeurs dans l’intervalle [f(0,1) ; f(1)] qui
contient 0 : la fonction f s’annule donc une seule fois en x dans cet1
intervalle.
Ilenestdemêmedansl’intervalle [1;10],lafonctions’annulantenx .2
b. Lacalculatricedonne0,31<x <0,32et6,30<x <6,31.1 2
PartieB-Étuded’unetangente
? ?
1 1′1. M(x ; y)∈T ⇐⇒ y−f(2)= f (2)(x−2) ⇐⇒ y− 2− −ln2 =− (x−2) ⇐⇒
2 4
3 1 1 1
y= −ln2− x+ ⇐⇒ y=− x+2−ln2.
2 4 2 4
2. a. h est une somme de fonctions dérivables sur ]0 ; +∞[ et est donc déri-
vablesurcetintervalle et
? ?2 2 21 1−x 1 4−4x+x (x−2) x−2′ ′h (x)= f (x)+ = + = = =
2 2 24 x 4 4x 4x 2x
′b. h (x)étantuncarréestpositifounul:lafonctionestdonccroissantesur
]0;+∞[.
? ?
1 2
c. Onah(2)=2− −ln2− − +2−ln2 =0.
2 4
Lafonctionh étantcroissanteonadonc:
x<2⇒ f(x)<0;
x>2⇒ f(x)>0;
h(2)=0.
1
3. Commey=− x+2−ln2estl’équationdeT ,lafonctionhdonneladifférence
4
pourunevaleurdex donnée,entrelepointdeC etlepointdeT .
Laquestionprécédentemontredoncque:
pourx<2,lecourbeC estsousladroiteT ;
pourx>2,lecourbeC estaudessusdeladroiteT .
4. Voirlafigure
PartieCCalculd’uneaire
1. Gdifférencededeuxfonctionsdérivablessur]0;+∞[estdérivablesur]0;+∞[
et
1
′G (x)=1−lnx−x× =1−lnx−1=−lnx.
x
2. LaquestionprécédentemontrequeG(x)estuneprimitivede−lnx.
3. a.
2b. Ensupposant quel’unitéd’aireestégaleà1cm ,onsaitque
Z Z ? ? Z Z ? ? Z6 6 6 6 61 1
A = f(x)dx= 2− −lnx dx= 2dx− − dx+ (−lnx)dx
x x1 1 1 1 1
6 6 6 6 6=[2x] −[lnx] +[G(x)] =[2x−lnx+x−xlnx] =[3x−lnx−xlnx] =1 1 1 1 1
18−ln6−6ln6−3=15−7ln6
SoitfinalementA ≈2,46aucentièmeprès
Polynésie 3 juin2008A.P.M.E.P. CorrigédubaccalauréatSTIGéniemécanique,énergétique,civil
Annexe:tracédelacourbeC représentativedelafonction f danslerepère? ?→− →−
orthogonal O, ı , 
Cettefeuilleestàcompléteraufildesquestionsetàrendreaveclacopie
2
T
1
1
→−

0 O
0
→−0 1 2 3 4 5 6 7 8
2 4 6ı C
-1
−1
-2
−2
-3
−3
-4
−4
Polynésie 4 juin2008