Corrigé du baccalauréat STI Polynésie juin 2009

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
Durée : 4 heures [ Corrigé du baccalauréat STI Polynésie juin 2009 \ Génie électronique, électrotechnique, optique EXERCICE 1 5 points 1. z2?2z p 2+4= 0 ?? ( z ? p 2 )2?2+4= 0 ?? ( z ? p 2 )2+2= 0 ?? ( z ? p 2 )2? ( i p 2 )2 = 0. L'équation a donc deux solutions complexes : p 2+ i p 2 et p 2? i p 2. 2. a. |zA|2 = 2+2= 4= 22 ?|zA| = 2. Donc on peut écrire zA = 2 (p 2 2 + i p 2 2 ) = 2 ( cos pi4 + isin pi 4 ) . Un argument de zA est donc pi 4 . Comme zB = zA, |zB| = 2 et un argument de zB est ? pi 4 . b. Erreur d'énoncé : A et B appartiennent au cercle de centre O et de rayon 2. Pour A on construit la bissectrice de (?? u ; ?? v ) . 3. a. Le produit par i de module 1 et d'argument pi2 est une rotation de centre O et d'angle pi2 : un quart-de-tour.

• coefficient directeur de la tangente ∆


• ex ?5


• ?8 ?15


• ?3 ?8


• baccalauréat sti


• argument de zb

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 juin 2009
• Nombre de lectures: 18
• Langue: Français

Extrait

Durée:4heures
[CorrigédubaccalauréatSTIPolynésiejuin2009\
Génieélectronique,électrotechnique,optique
EXERCICE 1 5points
p ¡ p ¢ ¡ p ¢2 221. z −2z 2+4=0 ⇐⇒ z− 2 −2+4=0 ⇐⇒ z− 2 +2=0 ⇐⇒
p p¡ ¢ ¡ ¢2 2
z− 2 − i 2 =0.
p p p p
L’équationadoncdeuxsolutionscomplexes: 2+i 2et 2−i 2.
2 22. a. |z | =2+2=4=2 ⇒|z |=2.A A Ã !p p
¡ ¢2 2 π πDonconpeutécrirez =2 +i =2 cos +isin .A 4 42 2
π
Unargumentdez estdonc .A
4
π
Comme z =z ,|z |=2etunargumentdez est− .B A B B
4
b. Erreurd’énoncé:AetBappartiennentaucercledecentreOetderayon³ ´→− →−
2.PourAonconstruitlabissectricede u ; v .
π3. a. Leproduitparidemodule1etd’argument estunerotationdecentre2
πOetd’angle :unquart-de-tour.2
¡p p ¢ p p
b. Onaz =iz =i 2+i 2 =− 2+i 2.C A
1
c. Ona (z +z )=0,cequisignifiequeOestlemilieude[BC],ouencoreC B
2
CestlesymétriquedupointBautourdupointO.
p p ¡p p ¢
Plussimplement :z =− 2+i 2=− 2−i 2 =−z .C B
l’évaluation.
4. De la question précédente on déduit que OC = 2. La corde [BC] contient le
centre du cercle O : c’est donc un diamètre. Le point A appartenant lui aussi
aucercledediamètre[BC],letriangleABCestrectangleenA.
³ ´ ³ ´ ³ ´ ¡ ¢−→ −→ −→ →− →− −→ π π πDeplus OB, OA = OB, u + u , OA =− + = .
4 4 2
DoncdansABC,ladroite(AO)esthauteuretmédiane.
ConclusionletriangleABCrectangleestisocèleenA.
2
C A
→−
v
→−O−2 2u
B
−2
EXERCICE 2 4points
bbbA.P.M.E.P. CorrigédubaccalauréatSTIGénieélectronique,électrotechnique,optique
1. Ilya4×4=16couplesdifférentspossibles.
(J;J) (J;R) (J;V) (J;N) (R;J) (R;R) (R;V) (R;N)
(V;J) (V;R) (V;V) (V;N) (N;J) (N;R) (N;V) (N;N)
1
2. Chaquecouplealamêmeprobabilitédesortir,doncp(N; N)= .
16
3. a. La jaune rapporte 20 euros et la rouge 12 euros soit en tout 32 euros
moinsles20eurosdemisesoitungainde12euros.
XXX Tirage2XXX Rapport J R V NXTirage1 XXX
Rapport 20 12 5 0
b. J 20 20 12 5 0
R 12 12 4 −3 −8
V 5 5 −3 −10 −15
N 0 0 −8 −15 −20
2 1
c. Deuxtiragesconduisentàungainde12euros;doncp(X=12)= = .
16 8
x 20 12 5 4 0 −3 −8 −10 −15 −20i
d. 1 2 2 1 2 2 2 1 2 1
p(X=x )i
16 16 16 16 16 16 16 16 16 16
1 2 2 1 2 2
e. OnaE(X)=20× +12× +5× +4× +0× +(−3)× +(−8)×
16 16 16 16 16 16
2 1 2 1
+(−10)× +(−15)× +(−20)× =
16 16 16 16
20+24+10+4+0−6−16−10−30−20 24 3
=− =− =−1,50(().
16 16 2
Celasignifiequ’enmoyenneonperd1,50(parpartie...
PROBLÈME 11points
PARTIEA:Étudedelafonction f
x 2 2x2x x1. a. Ona lim e =0,doncpuisquee = e , lim e =0.( )
x→−∞ x→−∞
Donc lim f(x)=4.
x→−∞
Cecimontre quela droiteD d’équation y=4 estasymptote àC au voi-
sinagedemoinsl’infini.
2x x 2 xb. On a vu que e =(e ) , donc en factorisant e dans les deux premiers
termes:
¡ ¢
x xf(x)=e e −5 +4.
′2. a. f estunesommedefonctionsdérivablessurRetpourtoutx∈R, f (x)=
x x x x ′ x x2e ×e −5e .Enfactorisante , f (x)=e (2e −5).
µ ¶
5 5x xb. 2e −5=0 ⇐⇒ e = ⇐⇒ xln .(parcroissancedelafonctionln.)
2 2
µ ¶
5 5x x2e −5>0 ⇐⇒ e > ⇐⇒ x>ln
2 2
µ ¶
5 ′c. La question précédente montre que pôur x> ln , f (x)> 0, donc f
2
estcroissante. µ ¶
5 ′Demêmepôur x<ln , f (x)<0,donc f estdécroissante.
2
Polynésie 2 juin2009A.P.M.E.P. CorrigédubaccalauréatSTIGénieélectronique,électrotechnique,optique
µ ¶
5
3. Ilrésulte delaquestion précédente que f aunminimum pour x=ln qui
2µ ¶ · µ ¶¸ · µ ¶¸
5 5 5 5 25 9xvaut,sachantquee =ln ,f ln = −5 =− +4=− .
2 2 2 2 4 4
2 4Or f(1)=e −5e+4≈−2,2<0et f(2)=e −5e+4≈21,7>0.
Dans l’intervalle [1 ; 2], la fonction f dérivable est croissante et ses valeurs
appartienentàl’intervalle[f (1); f(2)]quicontient0.
Ilexistedoncunréeluniqueα∈[1; 2]telque f(α)=0.
Lacalculatricedonneα≈1,39.
24. a. Ona f(0)=1 −5+4=0,doncOappartientàC
b. Le coefficient directeurdela tangenteΔà la courbeC aupoint O estle
′nombre f (0).
′ x x ′f (x)=e 2e −5 ⇒ f (0)=1×(2−5)=−3.( )
5.
y
12
8
D
4
C
xO
−2 −1 1 2
PARTIEB:Calculd’aire
· ¸
1
1. +Sur l’intervalle ln ; 0 on a vu que f(x)> f(0) car f est décroissante; or
2
f(0)=0:lafonctionestdoncpositivesurcetintervalle.
2. Uneprimitivede f surRestF telleque:
1
F(x)=
2
2. 2. Cf.figure
· ¸
1
3. Ona vu que sur ln ; 0 , f(x)>0. Doncl’aireA en unités d’airedela sur-
2
facedudomaineD estégaleàl’intégrale
µ ¶ µ ¶Z0 1 1 1 1 1 10 2ln ln2 2A = f(x)dx=[F(x)] =F(0)−F ln = −5− e −5e +4ln =1ln1 2 2 2 2 2ln 2µ ¶ µ µ ¶ ¶2¡ ¢29 1 5 19 1 1 1 1 1 1 12ln ln2 2− − − −4ln2 =− +4ln2. care =e = × = × =
2 8 2 8 2 2 2 4 8
Polynésie 3 juin2009A.P.M.E.P. CorrigédubaccalauréatSTIGénieélectronique,électrotechnique,optique
2Oruneunitéd’aireestégaleà4×1=4cm .
µ ¶
19 19 2A =4 − −4ln2 =− +16ln2cm .
8 2
2Lacalculatricedonne:A ≈2,590≈2,59cm .
Polynésie 4 juin2009