Corrigé du baccalauréat STI Polynésie juin 2010

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
Durée : 4 heures [ Corrigé du baccalauréat STI Polynésie juin 2010 \ Génie mécanique, énergétique, civil EXERCICE 1 5 points 1. a. On a |a|2 = 1+1= 2?|a| =p2. Donc a = p 2 (p 2 2 + i p 2 2 ) . On reconnaît le cosinus et le sinus de pi4 . Un argument de a est donc pi 4 et a peut s'écrire : a = p 2e pi4 . b = a ?2ei pi3 = p 2e pi4 ?2ei pi3 = 2 p 2e pi4 + pi3 = 2 p 2e 7pi12 . Le module de b est 2 p 2 et un argument de b est 7pi12 . |c|2 = 3+3= 6?|c| = p 6. On peut donc, en factorisant ce modèle écrire c = p 6 ( ? 1 2 + i 1 2 ) = p 3 ( ? p 2 2 + i p 2 2 ) . On reconnaît le cosinus et le sinus de 3pi4 . Un argument de c est donc 3pi 4 . b. On a b = a ?2ei pi3 = (1+ i)?2? (cos pi3 + isin pi3 ) = 2(1+ i) ( 1 2 + i p 3 2 ) = (1+ i)(

• cercle


• ob2 ??


• corrigé du baccalauréat sti


• cercle précédent


• sti génie mécanique


• ??

Sujets

• Cercle

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 juin 2010
• Nombre de lectures: 27
• Langue: Français

Extrait

Durée:4heures
[CorrigédubaccalauréatSTIPolynésiejuin2010\
Géniemécanique,énergétique,civil
EXERCICE 1 5points
p
21. a. Onajaj ?1?1?2)jaj? 2.? !p p
p 2 2
Donca? 2 ?i .
2 2
πOnreconnaîtlecosinusetlesinusde .
4
pπ π
4Unargumentdea estdonc eta peuts’écrire:a? 2e .
4
p p pπ π π π π 7πi i ?
3 4 3 4 3 12b?a?2e ? 2e ?2e ?2 2e ?2 2e .
p
7πLemoduledeb est2 2etunargumentdeb est .
12p
2jcj ?3?3?6)jcj? 6.
Onpeutdonc,enfactorisantcemodèleécrire
? !p p? ?
p p1 1 2 2
c? 6 ? ?i ? 3 ? ?i .
2 2 2 2
3π3πOnreconnaîtlecosinusetlesinusde .Unargumentdec estdonc .
4 4
? p ?? ?π π π 1 3i 3b. Onab?a?2e ?(1?i)?2? cos ?isin ?2(1?i) ?i ?
3 3 2 2
p p ? p ?
(1?i)(1?i 3)?1? 3?i 1? 3 .
p p ? ?7π 7π 7π
12c. On a vu que b?2 2e ?2 2 cos ?isin et on vient de voir que
12 12p ? p ?
b?1? 3?i 1? 3 ,doncparidentificationdespartiesréelles:
p? ?
7π 1? 3
cos ? p .
12 2 2
d. Voiràlafin.
? p ?22 22. a. OnaOA ?2etOB ? 2 2 ?8.
? p ? p ? ? ? p p ?2 22 2 ? ? ? ?AB ?jz ?z j ? 1? 3?i 1? 3 ?(1?i) ? ? 3?i 3 ?3?3?6.B A
2 2 2Or2?6?8 () OA ?AB ?OB () OABestuntrianglerectangleen
Ad’aprèslaréciproqueduthéorèmedePythagore.
b. OABestuntrianglerectangle:ilestdoncinscritdanslecerclecentréau? !p p
1? 3 1? 3
milieudesonhypoténuse[OB]dontlescoordonnéessontdonc ; .
2 2
p
Onsaitdeplusque[OB]estundiamètredececercle;commeOB?2 2,p
lerayonducerclemesure 2.
? !p p
1? 3 1? 3
3. Lemilieudusegment[AC]apourcoordonnées: ; :c’estdonc
2 2
lecentreducercledonclemilieududiamètre[OB].
Conclusion :lequadrilatèreOABCCasesdiagonalesquiontlemêmemilieu,
c’estdoncunparallélogramme; deplusilaunangledroit:c’estdoncunrec-
tangleinscritdanslecercleprécédent.DoncCappartientàcecercle.STIgéniemécanique,énergétique,civil A.P.M.E.P.
B
2
C
A
1
O
?2 ?1 1
?1
?2
EXERCICE 2 4points
00 001. X ?100X ? 0 () X ??100X : on sait sues solutions de cette équation
différentielle sont définies par f(t)? Acos10t?Bsin10t, avec A et B réels
quelconques.
02. Lessolutions vérifient f (t)??10Asin10t?10Bcos10t.
? ? ?
?1 ?1 ?1X(0) ? 10 A ? 10 A ? 10
Donc () ()0 ?1X (0) ? 1 10B ? 1 B ? 10
?1 ?1LasolutionparticulièreestdoncX(t)?10 cos10t?10 sin10t.
? !p p
p 2 2?1 ?1 ?1 ?13. OnaX(t)?10 cos10t?10 sin10t?10 (cos10t?sin10t)?10 ? 2 cos10t? sin10t ?
2 2
? ?p p? ? ππ π?1 ?110 ? 2 cos cos10t?sin sin10t ?10 2cos 10t? , d’après la for-
4 4 4
mule:
cos(a?b)?cosacosb?sinasinb,quelsquesoienta etb.
? ? ??p 2π
?1 0 2 2 ?1 ?24. OnaW(t)?10 [X (t)] ?10[X(t)] ?10 ? 2sin 10t? ?10?10 ?
4? ? ? ? ? ?π π π2 2 22?cos 10t? ?0,2sin 10t? ?0,2cos 10t? ?0,2.
4 4 4
h hπ
5. LavaleurmoyennedelafonctionX surl’intervalle 0; estégaleà:
10
πZ π Z π ? ?? ? ? ?p p 101 10 10 10 π 10 1 π?1 ?1f(t)dt? 10 2cos 10t? dt? 10 2? sin 10t? ?π ?0 π 4 π 10 40 0 010 p? ?p p p10 π 3π 2?1 ?1 ?1 ?1 ?1?10 2?10 sin π? ?10 2sin ?10 2? ?10 ?0,1.
π 4 4 2
PROBLÈME 11points
PartieA:déterminationdelafonction f
Polynésie 2 juin2010
bbbSTIgéniemécanique,énergétique,civil A.P.M.E.P.
1. Ona f(0)?1, f(1)?1, f(2)??1.
8 8 8
f(0) ? 1 c ? 1 c ? 1< < <
2. Ona f(1) ? 1 () (a?b)e?c ? 1 () (a?b)e ? 0 ()
: : :
f(2) ? ?1 (2a?4b)?c ? ?1 (2a?4b) ? ?2
8 8 8
c ? 1 c ? 1 c ? 1< < <
a?b ? 0 () b ? ?a () b ? ?1
: : :
(a?2b) ? ?1 a?2a ? ?1 a ? 1
? ?
2 (?x?2)Conclusion: f(x)? x?x e ?1.
PartieB:étudedelafonction f
(?x?2) 2 (?x?2)1. f(x)?xe ?x e ?1.
(?x?2) 2 (?x?2)On sait que lim xe ??1, et lim ?x e ??1 donc par somme
x!?1 x!?1
delimites, lim f(x)??1.
x!?1
(?x?2) (?x) (2)a. Onae ?e ?e ,donc
? ? ? ?
(2) 2 (?x) 2 ?x 2 ?xf(x)?e x?x e ?1?e xe ?x e ?1.
n (?x?2)b. Onsaitque lim x e ?0,quelquesoitlenatureln,donc
x!?1
lim f(x)?1.
x!?1
c. Géométriquement lerésultatprécédentsignifiequeladroited’équation
y?1estasymptoteàlacourbeC auvoisinagedeplusl’infini.
f produitdefonctionsdérivablessurRestdérivableetsurcetintervalle:
? ? ? ?
0 (?x?2) 2 (?x?2) 2 (?x?2)f (x)?(1?2x)e ?(?1)? x?x e ? 1?2x?x?x e ?
? ?
2 (?x?2)x ?3x?1 e .
(?x?2) 023. Onsait que quel que soit leréel x, e ?0, donclesigne de f (x) est celui
2dutrinômex ?3x?1. p p
3? 5 3? 5
CommeΔ?9?4?5?0,cetrinômeadeuxracines: et .
2 2
Cetrinômeestpositifsaufentrelesracines,donc:
# " # "p p
3? 5 3? 50f (x)?0sur ?1; [ ;?1 ;lafonctionestcroissante
2 2
# "p p
3? 5 3? 50f (x)?0sur ; ;lafonctionestdécroissante
2 2
4. a. Ilfautrésoudrel’équation:
? ? ? ?
2 (?x?2) 2 (?x?2) 2f(x)?1 () x?x e ?1?1 () x?x e ?0 () x?x ?
(?x?2)0(care 6?0) () x(1?x)?0 () x?0 ou x?1.
´Ilyadoncdeuxpointscommuns,lespointdecordonndes(0;1)et(1;1).
? ?
2 (?x?2)b. Soitd lafonctiondéfiniesurRpar:d(x)? f(x)?1? x?x e .
(?x?2) 2Commee ?0,lesigneded(x)estceluidex?x ?x(1?x),trinôme
quiestnégatifsaufentresesracines0et1.
Donc si 0?x?1, d(x)?0, ce qui signifie que la courbe est au dessus
deΔ.LacourbeestaudessousdeΔailleurs.
35. a. Ona f(?1)??2e ?1??39 et f(0)?1.Lafonction f étantdérivable,il
existeunréeluniqueαtelque f(α)?0avec0?α1.
b. Lacalculatricedonne?0,2?α??0,1,puis?0,11?α??0,10.
PartieC:calculd’uneaire
Polynésie 3 juin2010STIgéniemécanique,énergétique,civil A.P.M.E.P.
1. G produitdefonctionsdérivablessurRestdérivableetsurR,
? ? ? ?
0 (?x?2) 2 (?x?2) 2 (?x?2)G (x)?(2x?1)e ? x ?x?1 e ? 2x?1?x ?x?1 e ?
? ?
2 (?x?2)?x ?x e ? f(x)?1.
Onadonc f(x)?G(x)?1.
2. On a vu que sur l’intervalle [0 ; 1], la fonction f est positive, donc l’aire du
domaineD estégaleàl’intégrale :
Z Z1 1 ? ? ?? ? ?
0 1 2 (?1?2) 2 (?0?2)f(x)dx? [G (x)?1]dx?[G(x)?x] ? 1 ?1?1 e ?1? 0 ?0?1 e ?0 ?0
0 0
21?3e?e unitéd’airesoitàpeuprès1,8à0,1près.(cequel’onvérifieapproxi-
mativement surlafigure
Polynésie 4 juin2010STIgéniemécanique,énergétique,civil A.P.M.E.P.
Annexe(problème)
C
2
1
O
?1 1 2
?1
?2
Polynésie 5 juin2010