Comparaison des ordres maximaux dans les groupes GL n Z et Sn

Jean-Louis Nicolas

Description

• exposé - matière potentielle : synthèse

Comparaison des ordres maximaux dans les groupes GL(n,Z) et Sn par Jean-Louis NICOLAS 1 Abstract. Let Sn be the symmetric group on n letters, and g(n) be the maximal order of an element of Sn. Let G(n) be the maximum order of torsion elements of GL(n,Z). It is known that for all n, g(n) ≤ G(n) and that, as n?∞, log g(n) ? log G(n) ? √ n log n . In this paper, it is proved that for n ≥ 5, the inequality log G(n) ≤ 1.054511 √ n log n holds. Further, it is proved that, as n?∞, G(n)/g(n)?∞. 2000 Mathematics subject classification : primary 11 N 56, secondary 11 N 37. 1. Introduction 1. Recherche partiellement financée par le CNRS, Institut Girard Desargues, UMR 5028. 1

• ordre fini de gl


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• groupe multiplicatif des matrices n?n


• comparaison des ordres maximaux dans les groupes gl

Sujets

• Synthese
• Desargues
• Nicolas

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Extrait

Comparaison des ordres maximaux dans les groupesGL(n,Z)etS n

par

Jean-Louis NICOLAS 1

Abstract.LetS n be the symmetric group onnletters, andg(n)be the maximal order of an element ofS n . LetG(n)be the maximum order of torsion elements ofGL(n,Z). It is known that for alln,g(n)≤G(n)and that, asn→ ∞, logg(n)∼logG(n)∼ p nlogn . In this paper, it is proved that forn≥5, the inequality logG(n)≤1.054511 p nlogn holds. Further, it is proved that, asn→ ∞,G(n)/g(n)→ ∞.

2000 Mathematics subject classification : primary 11 N 56, secondary 11 N 37.

1. Introduction

1. Recherche partiellement financée par le CNRS, Institut Girard Desargues, UMR 5028.

1

SoitGL(n,Z)le groupe multiplicatif des matricesn×ninversibles à coef- ficients entiers. Différents auteurs ont étudié la fonctionγ(n)ordre maximal d’un sous groupe d’ordre fini deGL(n,Z). En particulier dans [6], il est démontré :

γ(n)≤(e c +o(1)) n n!, n→+∞, oùc= P ogl 1 p ) 2 = 1.227. . ., la sommation portant sur tous les nombres p (p− premiers. On conjecture que la constantee3.41. . .peut être remplacée c = par 2. Nous définissonsG(n)comme l’ordre maximal d’un sous groupe cyclique d’ordre fini deGL(n,Z). On trouvera dans [9] quelques propriétés deG(n). SoitS n le groupe desn!permutations denlettres. Dans [8], E. Landau a introduit la fonctiong(n), ordre maximal d’un élément deS n , et prouvé que (1.1) logg(n)∼ p nlogn .

Il est facile de voir queS n se plonge naturellement dansGL(n,Z)et cela entraîne :

(1.2)

g(n)≤G(n).

La fonction de Landauga fait l’objet de plusieurs articles, et on lira avec intérêt l’exposé de synthèse [14]. On trouvera dans la thèse de H. Gerlach [3] une généralisation des fonctionsgetG. Une fonction arithmétiquefest dite additive si l’on af(mn) =f(m) + f(n)lorsquemetneux. Une telle fonction est doncsont premiers entre définie si l’on connait sa valeur sur les puissances de nombres premiers. On définit la fonction additive`par`(p α ) =p α pour toutppremier etα≥1. Il est démontré dans [15], p.139 que

(1.3)

g(n) = `( m N) a ≤ x n N.

Erdős et Turán ont observé dans [2] qu’il existe un élément d’ordreK dansS n si et seulement si`(K)≤n, et ont montré que le nombreW(n) d’ordres distincts d’éléments deS n vérifiait

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logW(n  2 ) = √ π 6 r logn n +O  √ n ogl gllo n ogn  . Soitfune fonction telle quelim t→+∞ f(t) = +∞. On dit queNest un champion pour la fonctionf(on unf-champion) si NM >⇒f(M)> f(N)ou, ce qui est équivalent, sif(M)≤f(N)⇒M≤N. Une autre façon de formuler (1.3) est de dire que les nombresg(n), valeurs prises par la fonctiong, sont exactement les nombres`-champions. Soitϕl’indicateur d’ Euler, et` 0 la fonction additive définie par ( ` ` 0 0 ( (p 1 α =) )= ` 0 ϕ( )2( p α 0= )=p α −p α−1 sip α ≥3. Notons que, pourN= Q p α i i 6≡2mod4, on a` 0 (N) = P ϕ(p α i i ), tandis que, pourN≡2mod4, on a` 0 (N) = P ϕ(p i α i )−1. Remarquons aussi que ` 0 (N)est toujours pair, et que, pourNimpair,` 0 (2N) =` 0 (N). Dans [20] (cf. aussi [9] et [7]), il est démontré queKest l’ordre d’un élément deGL(n,Z)si et seulement si` 0 (K)≤n. Il s’ensuit que

(1.4)

G(n max) =N ` 0 (N)≤n

et les remarques ci-dessus montrent que

(1.5)

G(2n+ 1) =G(2n),

On trouvera aussi dans [9] l’ équivalence :

n≥1.

(1.6) logG(n)∼ p nlogn , n→ ∞ et une table des valeurs deG(n)pourn≤300. Commeϕ(n)≤n, on a` 0 (n)≤`(n)et les formules (1.3) et (1.4) re- donnent aisément (1.2). La similitude des formules (1.3) et (1.4) permet d’étendre àGla plupart des résultats démontrés pourg. Nous dirons qu’un nombreNest super`-champion s’il existe un réel ρ >0tel que pour tout entierMon ait

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(1.7)

`(M)−ρlogM≥`(N)−ρlogN.

Un tel nombre est`-champion : NM >⇒`(M)≥`(N) +ρlog N M > `(N). Cette définition généralise la notion de nombre hautement composé supé- rieur introduite par Ramanujan (cf. [17]), et dans le problème d’optimisation défini par (1.3), le paramètreρjoue le rôle d’un multiplicateur de Lagrange discret. L’inconvénient est que tous les nombres`-champions ne sont pas super`-champions. Les nombres super` 0 -champions sont définis en remplaçant dans la défi- nition des nombres super`-champions la fonction`par` 0 , notamment dans (1.7). Au paragraphe 2, nous rappellerons les propriétés des nombres super `-champions, et nous donnerons les propriétés, très similaires, des nombres super` 0 -champions. Comme application, nous donnerons au paragraphe 3 la démonstration du theorème 1, qui étend à la fonctionGle résultat de [10] :

THÉORÈME 1.On a pour toutn≥5:

(1.8)

logG(n)≤1.054510... p nlogn

avec égalité pourn= 235630,G(n) = 2 9 3 5 5 3 7 3 11 2 . . .29 2 31. . .1811.

La démonstration du théorème 1 que nous donnerons ci-dessous est dif- férente de celle donnée dans [10] pour majorerlogg(n), et qui aurait pu s’adapter sans difficulté. Il s’agit en fait de deux méthodes de démonstra- tion de ce type de résultat, et il est difficile de dire quelle est la meilleure. Rappelons que d’après [12], on alogg(n) √ ≥nlognpourn≥906. (1.2) et le calcul deG(n)pourn≤905montrent que

(1.9)

logG(n)≥ p nlognpourn≥154.

Nous verrons que la fonctionGn’est pas beaucoup plus grande que la fonctiong. Plus précisément, nous démontrerons :

THÉORÈME 2. (i) Lorsquen→ ∞, on a :

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