Comparaison des ordres maximaux dans les groupes GL n Z et Sn
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  • exposé - matière potentielle : synthèse


Comparaison des ordres maximaux dans les groupes GL(n,Z) et Sn par Jean-Louis NICOLAS 1 Abstract. Let Sn be the symmetric group on n letters, and g(n) be the maximal order of an element of Sn. Let G(n) be the maximum order of torsion elements of GL(n,Z). It is known that for all n, g(n) ≤ G(n) and that, as n?∞, log g(n) ? log G(n) ? √ n log n . In this paper, it is proved that for n ≥ 5, the inequality log G(n) ≤ 1.054511 √ n log n holds. Further, it is proved that, as n?∞, G(n)/g(n)?∞. 2000 Mathematics subject classification : primary 11 N 56, secondary 11 N 37. 1. Introduction 1. Recherche partiellement financée par le CNRS, Institut Girard Desargues, UMR 5028. 1

  • ordre fini de gl

  • multiplicateur de lagrange discret

  • ordre maximal

  • groupe multiplicatif des matrices n?n

  • comparaison des ordres maximaux dans les groupes gl


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Exrait

Comparaison des ordres maximaux dans les groupesGL(n,Z)etSn
par
Jean-Louis NICOLAS1
Abstract.LetSnbe the symmetric group onnletters, andg(n)be the maximal order of an element ofSn. LetG(n)be the maximum order of torsion elements ofGL(n,Z). It is known that for alln,g(n)G(n)and that, asn→ ∞, logg(n)logG(n)pnlogn . In this paper, it is proved that forn5, the inequality logG(n)1.054511pnlogn holds. Further, it is proved that, asn→ ∞,G(n)/g(n)→ ∞.
2000 Mathematics subject classification : primary 11 N 56, secondary 11 N 37.
1. Introduction
1. Recherche partiellement financée par le CNRS, Institut Girard Desargues, UMR 5028.
1
SoitGL(n,Z)le groupe multiplicatif des matricesn×ninversibles à coef-ficients entiers. Différents auteurs ont étudié la fonctionγ(n)ordre maximal d’un sous groupe d’ordre fini deGL(n,Z). En particulier dans [6], il est démontré :
γ(n)(ec+o(1))nn!, n+, c=Pogl1p)2= 1.227. . ., la sommation portant sur tous les nombres p(ppremiers. On conjecture que la constantee3.41. . .peut être remplacée c= par 2. Nous définissonsG(n)comme l’ordre maximal d’un sous groupe cyclique d’ordre fini deGL(n,Z). On trouvera dans [9] quelques propriétés deG(n). SoitSnle groupe desn!permutations denlettres. Dans [8], E. Landau a introduit la fonctiong(n), ordre maximal d’un élément deSn, et prouvé que (1.1) logg(n)pnlogn .
Il est facile de voir queSnse plonge naturellement dansGL(n,Z)et cela entraîne :
(1.2)
g(n)G(n).
La fonction de Landauga fait l’objet de plusieurs articles, et on lira avec intérêt l’exposé de synthèse [14]. On trouvera dans la thèse de H. Gerlach [3] une généralisation des fonctionsgetG. Une fonction arithmétiquefest dite additive si l’on af(mn) =f(m) + f(n)lorsquemetneux. Une telle fonction est doncsont premiers entre définie si l’on connait sa valeur sur les puissances de nombres premiers. On définit la fonction additive`par`(pα) =pαpour toutppremier etα1. Il est démontré dans [15], p.139 que
(1.3)
g(n) =`(mN)axnN.
Erdős et Turán ont observé dans [2] qu’il existe un élément d’ordreK dansSnsi et seulement si`(K)n, et ont montré que le nombreW(n) d’ordres distincts d’éléments deSnvérifiait
2
logW(n 2) =π6rlognn+Onoglgllonogn. Soitfune fonction telle quelimt+f(t) = +. On dit queNest un champion pour la fonctionf(on unf-champion) si NM >f(M)> f(N)ou, ce qui est équivalent, sif(M)f(N)MN. Une autre façon de formuler (1.3) est de dire que les nombresg(n), valeurs prises par la fonctiong, sont exactement les nombres`-champions. Soitϕl’indicateur d’ Euler, et`0la fonction additive définie par (``00((p1α=))=`0ϕ()2(pα0=)=pαpα1sipα3. Notons que, pourN=Qpαii6≡2mod4, on a`0(N) =Pϕ(pαii), tandis que, pourN2mod4, on a`0(N) =Pϕ(piαi)1. Remarquons aussi que `0(N)est toujours pair, et que, pourNimpair,`0(2N) =`0(N). Dans [20] (cf. aussi [9] et [7]), il est démontré queKest l’ordre d’un élément deGL(n,Z)si et seulement si`0(K)n. Il s’ensuit que
(1.4)
G(n max) =N `0(N)n
et les remarques ci-dessus montrent que
(1.5)
G(2n+ 1) =G(2n),
On trouvera aussi dans [9] l’ équivalence :
n1.
(1.6) logG(n)pnlogn , n→ ∞ et une table des valeurs deG(n)pourn300. Commeϕ(n)n, on a`0(n)`(n)et les formules (1.3) et (1.4) re-donnent aisément (1.2). La similitude des formules (1.3) et (1.4) permet d’étendre àGla plupart des résultats démontrés pourg. Nous dirons qu’un nombreNest super`-champion s’il existe un réel ρ >0tel que pour tout entierMon ait
3
(1.7)
`(M)ρlogM`(N)ρlogN.
Un tel nombre est`-champion : NM >`(M)`(N) +ρlogNM> `(N). Cette définition généralise la notion de nombre hautement composé supé-rieur introduite par Ramanujan (cf. [17]), et dans le problème d’optimisation défini par (1.3), le paramètreρjoue le rôle d’un multiplicateur de Lagrange discret. L’inconvénient est que tous les nombres`-champions ne sont pas super`-champions. Les nombres super`0-champions sont définis en remplaçant dans la défi-nition des nombres super`-champions la fonction`par`0, notamment dans (1.7). Au paragraphe 2, nous rappellerons les propriétés des nombres super `-champions, et nous donnerons les propriétés, très similaires, des nombres super`0-champions. Comme application, nous donnerons au paragraphe 3 la démonstration du theorème 1, qui étend à la fonctionGle résultat de [10] :
THÉORÈME 1.On a pour toutn5:
(1.8)
logG(n)1.054510...pnlogn
avec égalité pourn= 235630,G(n) = 29355373112. . .29231. . .1811.
La démonstration du théorème 1 que nous donnerons ci-dessous est dif-férente de celle donnée dans [10] pour majorerlogg(n), et qui aurait pu s’adapter sans difficulté. Il s’agit en fait de deux méthodes de démonstra-tion de ce type de résultat, et il est difficile de dire quelle est la meilleure. Rappelons que d’après [12], on alogg(n)nlognpourn906. (1.2) et le calcul deG(n)pourn905montrent que
(1.9)
logG(n)pnlognpourn154.
Nous verrons que la fonctionGn’est pas beaucoup plus grande que la fonctiong. Plus précisément, nous démontrerons :
THÉORÈME 2. (i) Lorsquen→ ∞, on a :
4
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