Alg`ebre et Arithmétique Mathématiques L3 Université de Nice ...

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Alg`ebre et Arithmétique Mathématiques L3 Université de Nice ...

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• Publié par: ojurarop
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Alg ` ebreetArithm ´ etique Universite´deNiceSophiaAntipolis

´ FEUILLE DE TRAVAUX DIRIGES 1

Mathe ´ matiquesL3 Ann´ee20082009

RAPPELS SUR LES GROUPES, ANNEAUX ET CORPS

1.Groupes D´efinition1(Groupe).Ungroupe(G, ⋆, e) est un ensembleGmuni d’une loi de composition interne⋆:G×G→Gtelle que •la loi⋆est associative, i.e. (x ⋆ y)⋆ z=x ⋆(y ⋆ z), pour toutx, y, z∈G, •il existe uneml´´eetreutnene, i.e.x ⋆ e=e ⋆ x=x, pour toutx∈G, •´lmetue´nutoneatinverse, i.e. pour toutx∈Gil existey∈Gtel quex ⋆ y=y ⋆ x=e Lorsque la loi⋆est commutative, on parle de groupecommutatifou de groupebaen´eli. D´efinition2(Sousgroupe).Unsousgrouped’un groupeGest un sousensembleH⊂Gtel que e∈Het la restriction de la loi⋆`aHicluf`onenernetuurtsrutcgedepuor.e Proposition 1.SoitGun groupe etH⊂Gun sousensemble. L’ensembleHest un sousgroupe 2−1 deGsi et seulement siH6=∅et pour tout couple (x, y)∈H, on ax ⋆ y∈H.

′ ′ ′ D´efinition3(Morphisme de groupes).Soient (G, ⋆, e) et (eG ,⋆ ,) deux groupes. Unmorphisme ′ ′ de groupesest une applicationϕ:G→Gtelle queϕ(x ⋆ y) =ϕ(x)⋆ ϕ(y). Lenoyaud’un morphisme de groupesϕseal`at´eg

−1′ ′ Ker ϕ:=ϕ({e}) ={x∈G;ϕ(x) =e}.

′ Exercice 1(yau)tie´teonnIejtcvi.Montrer qu’un morphisme de groupesf:G→Gest injectif, c’est`adiref(x) =f(y) impliquex=y, si et seulement si le noyau def`aalegt´es{e}. Exercice 2(Le cercle unitaire). (1) Montrerque l’application  ! cosθ−sinθ R→GL 2 (R) ;θ7→ sinθcosθ est un morphisme de groupes. (2) Quelleest son image? (3) Quelest son noyau? (4)De´terminerunisomorphismedegroupesdeSO(2) surU:={z∈C;|z|= 1}. Exercice 3(Union et intersection de sousgroupes). Soit unGun groupe et soientH 1 etH 2 deux sousgroupes deG. 1