LES DIFFICULTES D'ENSEIGNEMENT DE LA PROPORTIONNNALITE A L'ECOLE ...

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LES DIFFICULTES D'ENSEIGNEMENT DE LA PROPORTIONNNALITE A L'ECOLE ET AU COLLEGE Eugène Comin 1 Introduction Il est connu depuis longtemps que l'apprentissage et l'enseignement de la proportionnalité présentent des difficultés aux élèves et aux professeurs. En quoi la proportionnalité peut-elle encore intéresser la didactique ? La proportionnalité couvre des champs mathématiques et didactiques suffisamment vastes pour y étudier les effets des changements d'organisations savantes et scolaires sur les conceptions des élèves et des professeurs.

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• Mathématiques
• Exposé
• Dupuis
• Adrien Douady
• Louis Pasteur University

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Extrait

LES DIFFICULTES D’ENSEIGNEMENT DE LA PROPORTIONNNALITE
A L’ECOLE ET AU COLLEGE
Eugène Comin
1 Introduction
Il est connu depuis longtemps que l’apprentissage et l’enseignement de la proportionnalité
présentent des difficultés aux élèves et aux professeurs.
En quoi la proportionnalité peut-elle encore intéresser la didactique ?
La proportionnalité couvre des champs mathématiques et didactiques suffisamment vastes
pour y étudier les effets des changements d’organisations savantes et scolaires sur les
conceptions des élèves et des professeurs.
De plus, l’évolution rapide des contenus d’enseignement justifie qu’on fasse une analyse
périodique de leurs pratiques.
2 Questions
• Quelle(s) compréhension(s) élèves et enseignants ont-ils actuellement de la
proportionnalité et de la linéarité ?
• Quels sont aujourd’hui les usages des vocabulaires de la proportionnalité et de la
linéarité chez les élèves et les professeurs des différents niveaux ?
• Quelles sont les différentes techniques utilisées, les modèles qui ont cours ? à quels
niveaux d’enseignement ?
• Quelles relations élèves et professeurs établissent-ils entre ces différents modèles ?
3 Plan de l’exposé
L’exposé présente trois volets :
A Observation des difficultés (auprès d’élèves de seconde et de professeurs des écoles).
B Recherche d’explications (dans les conditions d’enseignement de la proportionnalité).
C Macro didactique et perspectives (l’étude de ces conditions montre la nécessité d’un
développement théorique et ouvre un nouveau champ de recherche que nous appelons macro
didactique).
A OBSERVATIONS DES DIFFICULTES
Avant de donner les résultats des enquêtes que nous avons menées auprès des élèves et des
professeurs des écoles, il est intéressant de noter que notre travail s’inscrit dans la continuité
des recherches récentes.
1 Quelques apports de travaux récents sur la proportionnalité
Avant 1970, la proportionnalité sert principalement de marqueur dans l’ontogenèse.
Dans les années 1970, plusieurs recherches mettent en cause l’universalité du modèle des
stades développé par Piaget. Trois idées se dégagent de ces travaux :
• Il est possible de décrire des cheminements différents dans l’élaboration de la notion de
proportion.
• Les concepts de rapport et de proportion s’acquièrent sur toute la durée de l’adolescence.
• Les différents aspects de la situation conditionnent la réussite ou l’échec.Les difficultés d’enseignement de la proportionnalité à l’école et au collège
A partir des années 1980, les recherches reprennent davantage en considération les
1apprentissages scolaires des sujets. Les travaux de Gérard Vergnaud présentent un double
intérêt :
• Une classification systématique des problèmes de l’arithmétique élémentaire.
• Un regroupement en champs conceptuels des situations et des concepts.
Il attire l’attention sur la différence entre structures additives et structures multiplicatives.
Voici ce qu’il écrit : « Il n’est pas superflu de remarquer que l’analyse des structures
multiplicatives est profondément différente de celle des structures additives. Les relations de
base les plus simples ne sont pas ternaires mais quaternaires parce que les problèmes les plus
simples de multiplication et de division impliquent la proportion simple de deux variables
l’une par rapport à l’autre. ».
Cette déclaration appelle un commentaire sur le rôle des grandeurs. Ce ne sont pas les
structures algébriques modernes qui différencient les champs conceptuels de l’addition et de
la multiplication (ces « opérations » considérées comme « lois de composition » établissent
toutes deux des relations ternaires) mais les relations entre grandeurs que ces opérations
décrivent. On peut additionner ou soustraire des grandeurs de même nature ; l’addition est une
opération interne à une grandeur. Mais le produit de deux grandeurs est une autre grandeur.
Le rapport de deux grandeurs de nature différente (rapport externe) détermine une autre
grandeur et le rapport de deux grandeurs de même nature (rapport interne) est un scalaire.
2Dans tous les cas, la multiplication apparaît comme une opération « externe » . Les grandeurs
conditionnent le sens des opérations.
Peut-on envisager l’enseignement des mathématiques élémentaires et en particulier de la
proportionnalité sans les grandeurs ? sans la notion de rapport ?
3André Rouchier a attiré l’attention sur la « pluridimentionnalité conceptuelle » de la
proportionnalité : aspects numériques, dimensions des grandeurs, aspects fonctionnels.
Le travail sur les grandeurs donne du sens aux nombres par les différentes fonctions qu’ils
jouent dans la résolution des problèmes d’arithmétique classique : rapport, mesure, opérateur
…
Plusieurs travaux ont été consacrés à l’étude des techniques utilisées par les élèves pour
résoudre ces problèmes. La comparaison des rapports de grandeurs conduit à l’étude des
proportions. La proportion simple met en jeu quatre quantités appartenant à deux espaces de
mesures différents M1 et M2 :
M1 M2
x f(x)
q
x’ f(x’)
k

1
Gérard VERGNAUD ; 1981 ; L’enfant, la mathématique et la réalité ; Editions Peter Lang.
2 Hassler Witney propose une « algèbre des grandeurs » dans « The mathematics of physical quantities »
3
André ROUCHIER ; 1980 ; Situations et processus didactiques dans l’étude des nombres rationnels positifs ;
RDM vol 1-2.
2Les difficultés d’enseignement de la proportionnalité à l’école et au collège
La question standard dans un problème de proportionnalité est la recherche d’une quatrième
proportionnelle.
La structure de la proportionnalité conduit à considérer deux types de procédures :
Les procédures dites analogiques expriment une relation entre des éléments d’un même
espace qu’on rapporte ensuite aux éléments correspondants de l’espace associé.
Les dites analytiques expriment une relation fonctionnelle applicable à tout couple
4d’éléments associés par la correspondance entre les deux espaces .
Les contradictions qu’apportent les résultats de ces différentes recherches (Karplus,
Vergnaud, Ricco, Morin, etc.) confirme que le choix d’un type de procédure n’est pas
assujetti à un développement génétique universel mais dépend autant du sujet que de la
situation et donc dépend de l’enseignement.
Comment l’enseignement peut-il influencer les pratiques et les conceptions des élèves ?
5Claire Dupuis et François Pluvinage se sont intéressés à l’évolution de l’enseignement de la
proportionnalité et ont distingué trois périodes :
1. La « règle de trois » des « mathématiques traditionnelles »
2. Les fonctions linéaires des « mathématiques modernes »
3. Les tableaux de proportionnalité des « mathématiques concrètes ».
Une des conclusions de leur travail expérimental est que l’hétérogénéité entre classes pourrait
résulter de la diversité des enseignements ; les professeurs pouvant opter pour un
enseignement conforme à l’une de ces trois périodes.
6Marianna Bosch i CasabÚ identifie ces périodes à des « organisations scolaires » qui sont
pratiquées en même temps, à des niveaux scolaires différents.
Elle montre que les techniques de l’arithmétique souffrent de l’absence d’une algèbre des
grandeurs. La notion de fonction peut y remédier facilement mais l’algèbre moderne ne
permet pas de justifier l’adéquation du modèle au système étudié. La rencontre des pratiques
de l’algèbre actuelle et de l’arithmétique traditionnelle donne lieu à un travail régi par une
syntaxe « hybride » où les ostensifs propres à la modélisation algébrique cohabitent avec les
« vestiges » de l’organisation classique ; il en résulte un phénomène « d’opacification » des
techniques de la proportionnalité. Arithmétique et algèbre se côtoient sans se rencontrer
réellement.
Peut-on enseigner la fonction linéaire sans la proportionnalité ?
Avant de faire des choix, il est nécessaire de savoir :
Quelle(s) compréhension(s) élèves et enseignants ont actuellement de la proportionnalité
et de la linéarité ?