Mathématiques Appliquées Générales Cours 2: Intégration ...

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Mathématiques Appliquées Générales Olivier DAZEL Université du Maine - Faculté des Sciences Laboratoire d'Acoustique de l'Université du Maine UMR CNRS 6613 Cours 2: Intégration, Espaces de Lebesgue 1 UEO AM01A-1

• limitation de l'approche de riemann
• lebesgue intégrable
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• intégrale de lebesgue
• faculté des sciences laboratoire d'acoustique de l'université

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• mathématique

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Extrait

UEO AM01A-1
Mathématiques Appliquées Générales
Cours 2: Intégration, Espaces de Lebesgue
Olivier DAZEL
[e-mail]
Université du Maine - Faculté des Sciences
Laboratoire d’Acoustique de l’Université du Maine
UMR CNRS 6613
1Une nouvelle intégrale
Limitation de l’approche de Riemann•
Passage à la limite•
Ensembles infinis (intégrales généralisés)•
Espaces de fonctions•
Nouvelle définition : Principe•
Riemann discrétisait l’ensemble de départ•
Lebesgue: Discrétisation de l’ensemble d’arrivée•
2Intégrale de Riemann: définition
f d´ efinie sur [a;b]
x =a x x0 =x1 bn−1 nn n￿ ￿
s(f,σ)= h inff(x),S(f,σ)= h supf(x)i i
Ii Iii=1 i=1
f est Riemann-int´egrable sur [a;b]ssi
sup s(f,σ)= inf S(f,σ)
σ∈Sa,bσ∈Sa,b
3Limitations de l’intégrale de Riemann
Définie sur des intervalles fermés bornés•
Physique: frontière•
ln(x) sur ]0;1] •
21/x sur [1;+∞[ •
Notion d’intégrale généralisée (passage limite)•
Interversion signe somme et limite•
Suite et/ou série de fonction•
￿ ￿b b
lim f (x)dx?=? lim f (x)dxn n n→∞ n→∞a a
Convergence uniforme (lourde)•
4Intégrale de Lebesgue: un nouvel outil
Généralisation de l’intégrale de Riemann•
Toute fonction Lebesgue intégrable est Riemann-•
intégrable
Dans ce cas les intégrales coïncident•
Va déboucher naturellement sur la notion d’espace •
(complet) de fonctions
Ne s’encombrera pas des ensembles «négligeables»•
Frontières•
On pourra naturellement travailler sur des ouverts•
On oubliera la convergence ponctuelle•
On pourra facilement montrer que les fonctions que •
l’on rencontrera en physique sont dans ce cadre
5Sommes de Riemann
f d´ efinie sur [a;b]
δ(σ)= max(x −x )i i−1
i=1..n
c ∈ [x ;x [i i−1 i
x =a x x0 =x1 bn−1 nc c1 n
￿ nb ￿
f(x)dx=lim f(c )(x −x )i i i−1
δ(σ)→0a i=1
6Intégrale de Lebesgue: principe
y∈E
f d´ efinie sur [a;b]
E
a b
Image réciproque F de E
￿
f(x)dµ(x)≈ y×µ(F)
F
Mesure de F
7Parle t’on de la même chose ?
Riemann Lebesgue
1 1
0 0
1 20 1 1 20 1
3 3 3 3
￿￿ ￿ ￿ ￿￿￿1 2
I=1×µ 0; ;11 1 1 2
3 3I=1× +0× +1× =
￿￿ ￿￿3 3 3 3
1 2
+0×µ ;= 3 3
2
=
3
8Mesure sur une tribu
Objectif: Obtenir la taille (Mesurer) d’un ensemble
Application abstraite (définie sur une tribu) qui vérifie
• ∀E∈ τ,µ(E)∈ [0;+∞]
• µ(∅)=0
￿ ￿
+∞ +∞￿ ￿￿
• (∀E,E ∈ τ,E E =∅) µ E = µ(E )i j i j i i
i=1 i=1
Un ensemble n’est pas forcément mesurable•
Un ensemble qui est inclus dans un espace de •
µmesure nulle est dit -négligeable
Une propriété qui est vraie partout sauf sur un •
µensemble négligeable est dite vraie -presque partout
9Mesure de Lebesgue dans R
Tribu de Borel engendré par l’ensemble des ouverts
Mesure de Lebesgue est engendré par une application
sur l’ensemble I des intervalles ouverts
µ :I−→ [0;+∞]
]a;b[￿→ b−a
Propriété importante: La mesure de Lebesgue des
ensembles au plus dénombrable est nulle
µ({a})= µ(N)= µ(Z)= µ(Q)= ...=0
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