OBJECTIFS DE FORMATION ET PROGRAMME DE MATHÉMATIQUES I. OBJECTIFS ...

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OBJECTIFS DE FORMATION ET PROGRAMME DE MATHÉMATIQUES I. OBJECTIFS ...

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• mathématiques
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` ´ CLASSE DE DEUXIEME ANNEE PT

´ OBJECTIFS DE FORMATION ET PROGRAMME DE MATHEMATIQUES

` I. OBJECTIFS DE FORMATION DE LA FILIERE PT

1-Objectifsge´ne´rauxdelaformation

Danslafili`erePhysiqueetTechnologie,lesmathe´matiquesconstituentconjointement: -unedisciplinescientifiquea`partentie`re,de´veloppantdesconcepts,desr´esultats,desm´ethodesetune de´marchesp´ecifiques, -unedisciplinefournissantdesconnaissancesetdesme´thodesne´cessairesauxsciencesphysiques,a` l’informatique ` la chimie et aux sciences industrielles. , a Lar´eflexionsurlesconceptsetlesm´ethodes,ainsiquelapratiqueduraisonnementetdelade´marche mathe´matiqueconstituentunobjectifmajeur.Lese´tudiantsdoiventconnaˆıtrelesde´finitionsetles´enonc´esdes th´eore`mesfigurantauprogramme,savoiranalyserlaport´eedeshypoth`esesetdesre´sultats,etsavoirmobiliser leursconnaissancespourl’´etudedeprobl`emes.Lesd´emonstrationsquisontutilesa`unebonnecompre´hension ducourssontauprogramme.Enrevanche,certainsre´sultatspuissantsutilesauxsciencesdel’ing´enieursont admis. a) Objectifs de la formation ¸ quatre objectifs essentiels : La formation est concue en fonction de -De´velopperconjointementl’intuition,l’imagination,leraisonnementetlarigueur. -Promouvoirlare´flexionpersonnelledes´etudiantssurlesproble`mesetlesphe´nome`nesmath´ematiques,surla porte´edesconcepts,deshypothe`ses,desr´esultatsetdesme´thodes,aumoyend’exemplesetdecontreexemples; d´evelopperainsiuneattitudedequestionnementetderecherche. -Exploitertoutelarichessedelad´emarchemathe´matique:analyserunproble`me,exp´erimentersurdes exemples,formuleruneconjecture,´elaboreretmettreenœuvredesconceptsetdesr´esultatsthe´oriques,re´diger unesolutionrigoureuse,contrˆolerlesr´esultatsobtenuset´evaluerlapertinencedesconceptsetdesre´sultatsau regardduprobl`emepose´,sontdese´le´mentsindissociablesdecetted´emarche;valoriserainsil’interactionentre d’unepartl’e´tudedephe´nom`enesetdeproble`mesmathe´matiques,etd’autrepartl’´elaborationetlamiseen œuvredesconceptsth´eoriques,lesphasesd’abstractionetdemiseenthe´orieinteragissantdoncconstamment avec celles de passage aux exemples et aux applications. -Privile´gierlesprobl`emesmath´ematiquessusceptiblesdede´velopperlar´eflexionpersonnelledese´tudiants etlescapacite´sdesynth`ese.Enparticulier,onnesauraitenaucuncasselimitera`l’´etudedeprobl`emes dontles´enonce´ssontferm´esetd’exercicesmettantenœuvredestechniquesbienre´pertorie´es.Ilestn´ecessaire d’entraıˆnerlese´tudiants`aseposereux-mˆemesdesquestions,c’est-a`-direa`prendreencompteuneprobl´ematique mathe´matique. b)Unite´delaformationscientifique Ilestimportantdemettreenvaleurl’interactionentrelesdiff´erentespartiesduprogrammed’unemˆeme discipline,tantauniveauducoursquedesth`emesdestravauxpropose´sauxe´tudiants.Pluslargement, l’enseignementd’unedisciplinescientifiqueesta`reliera`celuidesautresdisciplinessousdeuxaspectsprincipaux: organisationconcerte´edesactivit´esd’enseignementd’unemˆemeclasse;´etudedequestionsmettantenœuvre desinteractionsentreleschampsdeconnaissances(math´ematiquesetphysique,math´ematiquesetinformatique, mathe´matiquesetsciencesindustrielles, . . . ). Lacoop´erationdesenseignantsd’unemeˆmeclasseoud’unemeˆmedisciplineet,pluslargement,cellede l’ensembledesenseignantsd’uncursusdonn´e,ycontribuedefac¸onefficace,notammentdanslecadredes travauxd’initiativepersonnelleencadre´s. Ilimporteaussiquelecontenucultureldesmathe´matiquesnesoitpassacrifie´auprofitdelaseuletechnicite´. Enparticulier,lestextesetlesr´ef´erenceshistoriquespermettentd’analyserl’interactionentrelesproble`mes mathe´matiquesetlaconstructiondesconcepts,mettentene´videncelerˆolecentraljoue´parlequestionnement scientifiquepourlede´veloppementth´eoriqueetmontrentenoutrequelessciences,etlesmath´ematiquesen particulier,sontenperp´etuelle´evolutionetqueledogmatismen’estpaslare´f´erenceenlamati`re. e

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2- Architecture et contenus des programmes

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a) Intentions majeures Lescontenussontorganis´esautourdetroisintentionsmajeures: -Organiserlesprogrammesautourdequelquesnotionsessentielles,end´egageantleside´esmajeuresetleur portee,enfournissantdesoutilspuissantsetefficaces,ene´vitanttoutetechnicit´egratuite,etene´cartantles ´ notionsquinepourraienteˆtretraite´esquedefa¸consuperficielle. -Donnerunrˆoletr`esimportanta`lare´solutiondeproble`mesetd’exercicesd’application,pourcertains enmettantenœuvrel’outilinformatique.Lebutestd’indiquerlechampdesprobl`emesetph´enom`enes mathe´matiquesa`´etudierenrelationaveclesconceptsfigurantauprogrammeetdepre´ciserlesm´ethodes etlestechniquesusuellesexigiblesdes´etudiants.Enrevanche,l’´etudedecesprobl`emesnedoitpasconduire `adesd´epassementsdeprogrammeprenantlaformed’uneanthologied’exemplesdontlaconnaissanceserait exigibledese´tudiants. -R´ealiserun´equilibreglobalentrel’alge`bre,l’analyseetlage´ome´trie.Ilvadesoi,d’ailleurs,quecette se´parationtraditionnellen’estqu’unecommodite´der´edactionetnedoitpasfaireoublierlesinteractions nombreusesete´troitesentrecestroisgrandsdomainesdesmathe´matiques.Danscetteintention,lesprogrammes sontpr´esente´sselondeuxgrandesparties:alg`ebrelin´eaireetg´eome´trie,analyseetg´eome´triediffe´rentielle,mais le plan du programme n’est pas un plan de cours. C’estenfonctiondesobjectifspre´c´edentsquelesprogrammessontconc¸usetquel’horairehebdomadairedoit ˆetreg´er´e.DanslesclassesPTSIetPT,ilestde9heures(6heuresdecourset3heuresdetravauxdirige´s). Pourvaloriserlesconceptsessentielsetlesprincipalesme´thodes,ilconvientdeconsacrer`aleur´etudeenviron 5 heures de cours en classe PTSI et PT. Dans les deux classes, les 4 heures restantes (1 heure de cours et 3 heuresdetravauxdirig´es)sont`aconsacrer`al’´etudedeproble`mesmathe´matiquesdedifficult´evarie´e;`acet ´egard,toutetechnicite´gratuiteest`a´eviter. b) Secteur de l’analyse et de ses interventions Danscesecteur,leprogrammeestorganis´eautourdesconceptsfondamentauxdefonctionetdesuite(ouse´rie) quipermettentdemode´liserlecomportementdemode`lescontinusoudiscrets.Lesinteractionsentrelecontinu etlediscretsontmisesenvaleur,enparticulierensecondeanne´e. Leprogrammed’analysecombinel’e´tudedesproble`mesqualitatifsaveccelledeprobl`emesquantitatifs; ilde´veloppeconjointementl’´etudeducomportementglobaldesuitesoudefonctionsaveccelledeleur comportement local ou asymptotique. Pour l’ensemble de l’analyse, il met l’accent sur les techniques de majoration. c)Secteurdel’alg`ebreetdesesinterventions Danscesecteur,leprogrammeestcentre´autourdesconceptsfondamentauxdel’alge`brelin´eaire(pointsdevue ge´om´etriqueetmatriciel),tandisquel’´etudedesgroupes,desanneauxtdesc´ete´e´carte´e. e orps en a Leprogrammemetenœuvrelesme´thodesdel’alg`ebrelin´eairepourlare´solutiondeprobl`emesissus,non seulementdesautressecteursdel’alge`bre,maisaussidel’analyseetdelag´eome´trie. d)Secteurdelag´eom´etrieetdesesinterventions Unevisionge´om´etriquedesprobl`emesimpre´gnel’ensembleduprogrammedemathe´matiquescarlesm´ethodes delage´ome´triejouentunrˆolecapitalenalg`ebre,enanalyseetdansleursdomainesd’interventionparles apportsdulangagege´ome´triqueetdesmodesderepr´esentation.Lag´eom´etriediff´erentielle(´etudedescourbes etdessurfaces)estun´el´ementessentieldelaformation,enrelationnotammentaveclaphysiqueetlessciences industrielles. e) Articulation avec les sciences physiques et les sciences industrielles Enrelatione´troiteaveclesconceptspropresauxsciencesphysiques,lachimieetauxsciencesindus- trielles(m´ecanique,e´lectrocine´tique,´electronique,optique,cin´etiquechimique),leprogrammevaloriselesin- terpre´tationscin´ematiquesetdynamiquesdesconceptsdel’analyseetdelage´om´etrie,ainsiqueleursin- terpre´tationsentermesdesignauxcontinusoudiscrets(vitesseetacc´el´eration,trajectoiresetlignesde niveau,e´quationsdiffe´rentiellesmod´elisantl’e´volutiondesyste`mesm´ecaniques,physiquesouchimiques).Ces interpr´etations,conjointementaveclesinterpr´etationsgraphiquesetge´om´etriques,viennentenretour´eclairer les concepts fondamentaux de l’analyse.