PCSI Maths - PCSI 10/11 - Programme de colle de Mathématiques no12 ...

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PCSI Maths - PCSI 10/11 - Programme de colle de Mathématiques no12 ...

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o PCSI10/11-ProgrammedecolledeMathe´matiquesn12: du 3 au 7 janvier 2011.

Fonctionsnum´eriquesr´eelles 1.uiinntCounurest´lavretnielIde IR.noA.gle`´DfieinitbreC(I,IR). Parextension,unefonctionestcontinuesursondomainedede´finitionDsi elle est continue en chaque e´l´ementdeD. Th´eor`emedesvaleursinterme´diaireset corollaires : Propri´ete´deCauchy. L’image d’un intervalle par une application continue est un intervalle. L’image d’un segment par une application continue est un segment (admis). Fonctions lipschitziennes. Les fonctions lipschitziennes sont continues. 2. Limitesd’une fonctionmonotonesur un intervalle. The´ore`mefondamental(ditaussidelabijection):unefonctionstrictementmonotoneetcontinue sur un intervalleIednoitcejiunebfinitd´eIsur l’intervallef(I,d)icrpqoeunoltrae´tementeststric monotoneetcontinue.D´efinitiond’hom´eomorphismesurunintervalle. 3. Relationsdedomination, dencrrapedne´e´opet d’cneleeq´vauiau voisinage d’un point ou de l’infini : de´finitions,proprie´te´setope´rations.Rappeldelade´finitiondelad´eriv´eeenunpoint.Equivalentsdes fonctions usuelles en 0. Application au calcul de limites.

Fonctionsde´rivables. 1.De´finitiondelad´erivabilite´(-`adroite,-`agauche)d’unefonctionenunpoint.Fonctiond´erivablesur unintervalle,fonctiond´eriv´ee.D´eriv´eelogarithmique.De´riv´eeet´equivalenten0. 2.noitavirPpot´esri´ed´erdelaniop-.teuniecnesttentcouneninpo:ilppaenUd´onticaleabiver Op´erationssurlesd´erive´es.-Compositionselbavire´dsnoitcalipp’ad.evie´d´erdelaleuretva The´ore`medelabijectionpourdesfonctionsd´erivables:casd’existencedelad´erive´edelare´ciproque etvaleurdelade´riv´eelecas´ech´eant. Lienentreextremumlocaletde´riv´ee. 3.Th´eore`medeRolle-h´Tiorccasedeme`roefinisssementsnisfis.seisntme-In´edasccorgelatie´ Lienentrelamonotonieetlesignedelad´eriv´eed’unefonctionde´rivablesurunintervalle. Poura < bdans IR, sifest une application continue sur [a, bd´[,iverleabr]sua, bee´vri´eadtlon,d[ 0 admet une limite finie`ena, alorsfelneviba´dreetsaetf(a) =`e´hte`rosetneced.Viaarme. 4.pue´irueo’drerssriv´eesdD´esr n∞ De´finition.ApplicationsdeclasseC,Csur un intervalle (nentier naturel). Formule de Leibniz. Fonctionsnum´eriquescomplexes. FonctionsdeIRdansIC.Fonctionspartiesre´elleetimaginaire. ∗ n∞ Limite,continuite´,d´erivabilit´ed’ordren∈IN , fonction de classeCavecn∈IN, de classeC. In´egalite´desaccroissementsfinis. at ∗ Cas det7→eaveca.daICns

Questions de cours. Touteslesd´efinitionsettouslese´nonce´sdepropositionsetth´eor`emesdoiventˆetreconnus. Lesr´esultatssuivantsdoiventˆetreconnusavd´urleecartsnomenoit. 1.Th´eor`emedesvaleursinterm´ediaires. 2.Uneapplicationd´erivableenunpointestcontinueencepoint.Contre-exemplepourlar´eciproque. 3.D´erive´eduproduitdedeuxfonctionsde´rivablesenunpoint. 4.De´rivabilite´delar´eciproqued’uneapplicationstrictementmonotoneetde´rivablesurunintervalle. Valeurdelade´riv´eelecas´ech´eant. 5.The´ore`medeRolle.