Pourquoi démontrer les théorèmes - Pourquoi faut-il démontrer les ...

Marcel Délèze

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Pourquoi démontrer les théorèmes - Pourquoi faut-il démontrer les ...

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• Langue: Français

Extrait

Pourquoi fautil démontrer les théorèmes ?

L'histoire des mathématiques nous fournit un exemple spectaculaire qui montre que des vérifications, même très nombreuses, ne suffisent pas.

Le nombre de facteurs premiers estil pair ou impair ? 3 2 1 Dans la décomposition d'un nombre naturel en facteurs premiers, par exemple 360=2 3 5, comptons le nombre de facteurs premiers. Ainsi, 13 est formé d'un seul facteur premier, tandis que 360 est formé de 6 facteurs premiers. La décomposition en facteurs premiers des entiers de 2 à 999 peut être consultée à l'adresse http://www.deleze.name/marcel/culture/premiers/facteurs.html Puisque 13 comporte un nombre impair de facteurs premiers, nous dirons que 13 estde type impair. Comme 360 comporte un nombre pair de facteurs premiers, 360 sera ditde type pair. Déterminons le type pair ou impair des 24 premiers entiers positifs. Un 0 indique que le nombre est de type pair tandis qu'un 1 indique que le nombre est de type impair.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 0 1 1 0 1 0 1 1 0 01 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 On constatera que, sur les 24 premiers entiers positifs, il y en a 11 de type pair et 13 de type impair.

Hypothèse dePólya Au tableau précédent, ajoutons 3 lignes, ce qui donne: * sur la ligne 1: un entier n; * sur la ligne 2: le type de cet entier; * sur la ligne 3: le nombre d'entiers de type impair parmi {1, 2, ..., n}; * sur la ligne 4: le nombre d'entiers de type pair parmi {1, 2, ..., n} * sur la ligne 5: d[n] = (ligne 3)  (ligne 4) = excédent du nombre des type impairs sur les types pairs dans l'intervalle 1..n Par exemple, d[8]= 5  3 = 2signifie que, entre 1 et 8, il y a 2 entiers de type impair de plus que de type pair

1 23 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 0 11 0 1 0 1 1 0 01 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 12 2 3 3 4 5 5 56 7 8 8 8 8 9 1011 12 12 12 13 13 1 11 2 2 3 3 3 4 55 5 5 6 7 8 8 8 8 8 9 1010 11 -1 0 1 0 1 0 1 2 1 01 2 3 2 1 0 1 2 3 4 3 2 3 2 En 1919,George Pólyaa formulé l'hypothèse suivante: en un sens à préciser,le nombre d'entiers de type impair est plus grand ou égal au nombre d'entiers de type pair. Un programmeMathematicacalcule de combien le nombre d'entiers type impair dépasse le nombre d'entiers de type pair @ D Clear d ; =@88_<< d Compilen, Integer , @8 <= -@ @@ @@ @DDD@@ DDD== Module s,k ,s 1;Do If Mod Apply Plus,Transpose FactorInteger k2 ,2 0, = -= +<D DDD 8 s s 1,s s 1, k,2, n; s; Voici la suite obtenue pour les entiers de 1 à 99: