Une étude de l'entropie humide en Météorologie. W + ∆ ( h + Te s + ...

Pascal.Marquet

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31/01/2011 1 P. MARQUET ; DPrévi-LABO. Météo-France Une étude de l'entropie humide en Météorologie. Pascal MARQUET. Météo-France, DPrévi / LABO. 42 av. Coriolis. 31057 TOULOUSE CEDEX 1. 1) Résumé. Une étude de l'entropie de l'air humide (s) a conduit à la détermination d'une température potentielle (θ s ) qui est complètement synonyme de l'entropie, quelle que soit la composition de l'air humide.

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Une étude de l’entropie humide en Météorologie. Pascal MARQUET. Météo-France, DPrévi / LABO. 42 av. Coriolis. 31057 TOULOUSE CEDEX 1. [e-mail]://perso.numericable.fr/~pmarquet/ 1)Résumé. Une étude de l’entropie de l’air humide (s) a conduit à la détermination d’une température potentielle ( q s ) qui est complètement synonyme de l’entropie, quelle que soit la composition de l’air humide. On peut montrer que la formulation analytique de q s s’écrit, au premier ordre, par une combinaison ( q  s ) 1 des deux variables de Betts ( q l ,q t ). Les applications de ( q  s ) 1 peuvent concerner, a priori, la paramétrisation de la turbulence humide (avec le paradigme des Strato-cumulus), mais aussi la convection (définition de la flottabilité et de la CAPE). Plusieurs de ces applications sont ici montrées, ou suggérées. 2)Introduction – Motivations. La motivation pour cette étude de l’entropie en météorologie provient, presque directement, des travaux engagés en 1989 sur l’énergétique de la mousson africaine. Ces travaux m’ont conduit à m’intéresser à ce qui est appelé de manière générique « Exergie » en thermodynamique et qui correspond à ce qui est appelé « énergie (potentielle) utilisable » en météorologie.

Les premiers résultats, obtenus en 1989, ont été exposés en France au LMD-X et à l’EERM/CRMD à Paris, puis à l’EERM/CNRM à Toulouse. Un autre exposé à été fait dans la foulée à Reading en mai 1990 (présentation disponible surhttp://perso.numericable.fr/~pmarquet/), devant le professeur Pearce et en présence d’Alan Thorpe. Ce dernier m’a posé deux questions : (1) pouvez-vous expliquer aux élèves ce qu’est l’enthalpie ? (2) est-il possible d’améliorer la définition de la CAPE grâce à ce concept d’exergie ?

Il m’était malaisé de répondre à la première question, car il me semblait tellement évident que l’enthalpie est la fonction thermodynamique à employer (à la place de l’énergie interne) pour un fluide compressible et en mouvement. Cela paraissait évident, mais j’ai pris conscience ce jour là que cette évidence n’était pas partagée. Il m’a fallu indiquer aux étudiants que l’enthalpiehse déduit simplement de l’énergie internee i rajoutant le terme local en p/ r  =R T, sans faire d’ hypothèse de type « évolution à pression constante ». Déjà, C. Normand (1946) indiquait : "The meteorologist can learn something from the engineer by thinking in terms of total heat, and perhaps by the practical use of it". Ce message de Sir Charles Normand n’avait visiblement pas fait école dans son pays, bien qu’il ait fortement milité pour l’utilisation du concept de "Total Heat = Enthalpy" et qu’il ait attiré l’attention sur les travaux de M. Margules (1905, 1910) bien avant E. N. Lorenz (1955).

Il me fut encore plus malaisé de répondre à la deuxième question, sur les liens éventuels entre la CAPE et l’Exergie, mais pour une autre raison : tout simplement parce que je n’y avais pas pensé et que je n’avais donc pas de réponse à cette question ! En fait, la situation n’a pas énormément changé depuis lors, sauf depuis quelques mois, où des espoirs de trouver une réponse commencent à émerger d’un questionnement ininterrompu, engagé depuis cet exposé de 1990… Cette question d’Alan Thorpe était assurément d’une grande importance et l’espoir de pouvoir la résoudre a sans doute été une des motivations de l’encadrement par lui, à Reading et à partir de 1997, des travaux de F. Kucharsky qui a essayé d’utiliser le concept d’Exergie en météorologie dynamique (http://users.ictp.it/~kucharsk/). La question serait donc de trouver comment relier les fonctions d’Exergie et le terme de flottabilité lié à une colonne convective ascendante ? Autant que je peux deviner les choses, il conviendrait d’écouter le message de Sir Charles Normand et d’imaginer que la science atmosphérique a peut-être encore des choses à apprendre des sciences de l’ingénieur ? En ce sens, il me semblerait judicieux de calculer les variations sur la verticale de la fonction « enthalpie utilisable » (une des formes de l’Exergie). Cette approche est décrite sur la Figure 1, où une analogie est suggérée entre l’air traversant horizontalement une turbine entourée par un environnement à température constante (T env ) et l’air qui monte verticalement au sein d’une colonne convective, en étant entouré par un environnement à la températureT e (z) qui dépend de l’altitudez. Dans le premier cas (Figure 1-a), les théories de l’Exergie indiquent que la quantité suivante reste positive, quelle que soit la nature des transformations du fluide traversant la turbine : W +D(h + T e s + e k )>0.(1) On en déduit que le maximum du travail W max récupérable sur l’arbre de la turbine est égal à l’opposé de la variation entre l’entrée et la sortie de la somme (Th + e  s + e k ), où (Th + e  s) est justement égal à la fonction « enthalpie utilisable ». Ce type de résultat a beaucoup intéressé les thermodynamiciens et les 31/01/2011 1P. MARQUET ; DPrévi-LABO. Météo-France

concepteurs de machines thermiques, le but étant d’essayer d’optimiser ces systèmes, afin de fournir un travail maximum en assurant un rendement maximum.

(a) (b) Figure 1.(a) :le travail maximalW max thermique peut fournir à l’extérieur à travers la qu’une machine turbine s’exprime en fonction de la variation entre l’entrée et la sortie de la turbine de la quantité « h + T e s + e k » .En effet, à la suite du mémoire de Carnot (1824), et d’après les théorèmes générauxdus entre autres à Thomson (1853, 1879), Gibbs (1873), Maxwell (1871), Gouy (1889), Stodola (1898, 1903-06), Jouguet (1907), Darrieus (1931) (voir surhttp://perso.numericable.fr/~pmarquet/),W max est égal à la variation de la fonction EXERGIE du système qui s’exprime ici, pour un fluide en mouvement, comme la somme de l’énergie cinétique e k et de fonction enthalpie utilisable « h + T e h et s sont s », où les enthalpie et entropie locales du fluide et où T e est la température (constante) du milieu extérieur qui entoure le fluide.(b) :pour le cas d’une colonne convective qui subit une force de flottabilité verticale qui est notée B, on peut être tenté de faire une certaine analogie entre l’air qui traverse la turbine de manière horizontale en(a)en et (b) une tranche d’air qui traverse verticalement une altitude donnée (ovales en traits pointillés bleus). Voir la suite dans le texte… Dans le deuxième cas (Figure 1-b), on pourrait imaginer d’appliquer le résultat (1) pour essayer de répondre à la question d’Alan Thorpe, ceci en absence de travail (W10 si pas d’élément interne à la colonne ascendante : avions, montgolfières, oiseaux, …), ou avec un travail (W1 % qui serait celui exercég dz) contre la force de gravité ? L’important, pour représenter la CAPE, serait de pouvoir exprimer le changement infinitésimal de l’énergie cinétique. On pourrait avoir, en cas de mouvements quasi-réversibles – impliquant une égalité dans (1) - une relation du type : d ( CAPE)» d (e k )» % d (h + T env s) % W ?(2) C’est là où le jeu des devinettes s’arrête, car la difficulté vient de ce que la températureT env  de l’environnement extérieur à la colonne ascendante varie avec l’altitudezpour l’atmosphère. Au contraire,T e est constant dans les applications thermodynamiques, ce qui simplifie bien les choses et où il est par exemple équivalent de calculer les variationsd(h – T e s)etd(h) – T e d(s). Mais ces deux formulations ne sont plus équivalentes pour une colonne convective… Mais alors quelle est la formulation de l’Exergie d’une colonne convective ? De surcroît, cela a-t-il un sens de parler de l’Exergie d’une colonne convective ?

En fait, sans pouvoir rentrer dans le détail des choses, il semblerait qu’il existe une façon de déterminer de manière univoque quel est ce lien entre la flottabilité et l’Exergie et de savoir quelle est la bonne formulation. Il faudrait repartir de l’équation de la vitesse verticaledw/dt, puis l’exprimer en fonction de l’enthalpieh et de l’entropie s, à la fois pour la colonne convective et pour l’environnement … (étude en cours, non-publiée)

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Mais avant de mieux préciser cette nouvelle façon d’exprimer le problème, il faut remarquer que les premiers calculs furent consacrés à l’étude des variations élémentaires du typed[ h – T e (z) s], avec par conséquent un besoin d’évaluer en tout point la fonction enthalpie utilisable «h – T e (z)s». Ainsi, il semblait important de pouvoir définir de manière absolue les fonctionshets, ceci pour des concentrations arbitraires en eaux vapeur et en eaux condensées. Le but était de pouvoir en étudier les variations sur la verticale et d’espérer les relier d’une manière ou d’une autre à la variation de l’énergie cinétique du mouvement vertical 2 (w /2), et donc à la CAPE, comme suggéré en (2). L’intérêt a priori de pouvoir relier la force de flottabilité et la CAPE à des fonctions d’exergie (et donc en fonction de l’entropie) provient de l’équation différentielle de Gibbs (1875-76-77-78, voir aussi De Groot ème et Mazur, 1962), qui conduit aux formes suivantes pour l’équation de l’entropie (2 principe) : -1 T ds= de i %p d(1/ r )–S k m k dq k = dh% r dp–S k m k dq k  (3) er avec la forme suivante pour l’équation de l’enthalpie (1 principe) : -1 -1 dh= r Ñ. (S k h k J k )# r dp#dQ. (4) On voit que, pourT e constant, un calcul ded(h – T e s)à partir de (3) donne un terme du type(1 – T e /T) dh qui, pour le terme de chauffage diabatique dQ de (4), donne(1 – T e T ) dQ / , ce qui se traduit par un impact dû aux chauffages différentiels, avec l’apparition du rendement de Carnot(1 – T e T ) /  entre la colonne convective et l’environnement. Ce facteur d’efficacité (autre nom donné par Lorenz à «1 – T e / T») ressemble, en fait, au terme de flottabilité (à un terme multiplicatifgprès)… On voit aussi que le dernier terme de (3) (égal à –S k m k dq k ) traduit l’impact des flux entrants et sortants de matière sur l’entropie (avec des poids qui s’expriment par les fonctions de Gibbs m k = h k – T s k ). Il -1 y a un terme correspondant dans (4), à travers les flux d’enthalpie r Ñ. (S k h k J k ). On peut donc imaginer (ou espérer) obtenir des impacts novateurs concernant les effets des entraînements et détraînements latéraux sur le terme de flottabilité, sous une forme à découvrir… (par exemple avec des facteurs de Carnot de type(1 – T e  / T ) et/ou une dépendance avec les différences d’enthalpie, d’entropie ou de fonction de Gibbs entre l’air sec et la vapeur d’eau ?) Tous ces arguments heuristiques ne constituent pas des preuves, mais ce sont des indices encourageants pour essayer de trouver une réponse à la question posée en 1990 par A. Thorpe, avec dans un premier temps la recherche d’une définition « absolue » de l’enthalpie et de l’entropie. Le sens que l’on donne au terme « absolu » est celui où on garde l’approximation des valeurs constantes pour les constantes des gaz (R d etR v ) et pour les chaleurs spécifiques (c pd ,c pv ,c l  etc i ) dans la gamme des températures atmosphériques (150 à 320 K), mais en déterminant de manière précise la valeur des enthalpies partielles 0 0 0 0 0 0 0 0 (h d ,h v ,h l eth i ) et entropies partielles (s d ,s v ,s l ets i des conditions standards : la température) pour T 0 =273.15 K ; les pressions partiellesp d0 ete 0 avecp 0 1p d0 #e 0 ; les concentrations (q v ) sat (T 0 ), (q l ) 0 1(q i ) 0 10. 3)Définition de l’entropie humide. Les parties théoriques et les applications pratiques décrites ci-après font l’objet d’un article qui est accepté pour publication au QJRMS (Marquet, 2011). Il ont également fait l’objet d’une présentation orale (fichiers disponibles surhttp://perso.numericable.fr/~pmarquet/index_my_art_conf.html) faite au CNRM en juin 2010. Il s’agit de poursuivre et de préciser les approches de Hauf et Höller (1987), Marquet (1990, 1993, voir surhttp://perso.numericable.fr/~pmarquet/index_my_art_conf.html) ou encore Emanuel (1994). En fait, derrière le concept d’entropie se profile l’idée de trouver des quantités « conservatives » qui sont inchangées en cas de transformations adiabatiques et réversibles du fluide atmosphérique (par définition de l’entropie). Pour l’air sec considéré comme un gaz parfait et dans l’approximation oùc pd  etR d  sont 0 constants, l’entropie peut s’écrire sous la formes d 1s d #c pd  ln(T/T 0 )%R d  ln(p/p 0 un simple) et réarrangement des termes conduit à définir la température potentielle : (R/c) d pd q 1T(p/p 0 ) (5) par la relation suivante entre q et l’entropie : 0 s d 1[s d %c pd ln(T 0 ) ]#c pd ln( q (6)) . Ce faisant, l’expression entre crochets étant constante et indépendante deTet dep, q est bien un synonyme de l’entropie pour l’air sec. Il devient ainsi une quantité « conservative » au sens des transformations adiabatiques et réversibles de l’air sec. L’expression analytique (6) correspond à la forme différentielle suivante (l’expression entre crochets étant constante) :

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ds d 1c pd d q / q (7) . Pour l’air humide, Betts (1973) a cherché à définir une version humide de l’entropie et une nouvelle température potentielle « q l » en généralisant (5) et (6) en partant de l’équation de Gibbs suivante :

(8) Clairement, (7) est une version sèche de la différentielle (8) sir t 10 et siq l 10. Betts a ensuite intégré cette équation (8) pour aboutir aux définitions suivantes pour « q l » :

; . (9) En fait, dans (8) plusieurs approximations ont été faites. Par exemple le termec pd n’est qu’une approximation de la version humidec p 1 S k q k c pk , une approximation qu’il faut faire pour pouvoir intégrer (8). De plus, un termer t est déporté du côté du membre de gauche, au dénumérateur de la différentielle de l’entropie. Bien sûr, le cadre d’application de q l  est de considérer le couple ( q l ,q t ) comme une paire de variables conservatives. Dans ce cas, on peut en effet considérer queq t  (our t ) sont des termes constants et on peut considérer que dans Betts (1973) on pose implicitement : (s) B73  »« Cste »#c pd  ( 1#r t ) ln( q l ) . (10) On peut donc en déduire que q l  n’est pas vraiment un synonyme de l’entropie humide(s)donnée par (8) : ·parce quec pd ¹ c p , avec une dépendance non seulement en fonction deq t , aussi en fonction deq l et deq i ; ·parce que le termer t n’est pas constant en général, et que l’on aimerait calculer l’entropie de l’air humide dans tous les cas, justement pour connaître l’impact deq t  (our t ) sur l’entropie (en particulier pour les phénomènes turbulents ou convectifs) ; ·aussi parce que le termeL v (T) / T est considéré comme constant dans l’intégration de (8) vers (9) ; ·et enfin parce que le terme« Cste » a peu de chance d’être constant dans (10), en fonction de toutes les approximations décrites ci-dessus ; ·de plus, l’hypothèse que l’on pourrait «avoir trouvé en q l bonne quantité synonyme de l’entropie la humide, par d’heureuses compensations d’erreurs et ce malgré les approximations décrite ci-dessus» est fausse, car quand on veut démontrer que q l conservée » par le système des équations de l’enthalpieest « et de la manière (dh/dt1… etdq/dt1…) il faut faire les mêmes hypothèses (c p »c pd ;L v (T) / T»Cste ; etc) … par conséquent q l  n’est pas vraiment (ou pas du tout) conservative. Toutes ces critiques et limitations de l’approche de Betts (1973) et de l’usage généralisé qui est fait de q l  dans les paramétrisations de la turbulence humide ne sont pas nouvelles. Comme indiqué dans l’introduction de ce chapitre, d’autres approches existent comme celles de Hauf et Höller (1987), Marquet (1990, 1993) ou Emanuel (1994), où l’entropie humide est calculée comme une somme pondérée des entropies partielles (s d ,s v ,s l ets i ) pour les différents composants de l’atmosphère. Les méthodes décrites par ces auteurs évitent de partir d’une équation différentielle telle que (8) ou de celle plus générale de Gibbs rappelée en (3). L’idée est de rechercher directement des formulations analytiques pour l’entropie humide (c’est à dire sans faire d’intégration et sans faire d’approximation). De manière générique les formulations proposées dans Hauf et Höller (1987), Marquet (1990, 1993) et Emanuel (1994) s’écrivent sous la forme : * * s 1« Cste »#c p  ln( q (11)) . * Mais, là encore, il apparaît que les différents c p continuent de dépendre deq t (ou der t ), en empêchant les * températures potentielles q d’être vraiment des synonymes de l’entropie humide. De plus, pour le cas de Emanuel (1994), les formulations pour les entropies partielles ne sont pas correctes et le terme constant « Cste » devient arbitraire et doit dépendre deq t au moins, et possiblement deq l etq i . Le but de la nouvelle formulation proposée dans Marquet (2011) est d’écrire l’entropie humide sous une forme analogue à celle du cas sec rappelée en (6), mais avecs d s et q  q s , ce qui défini q s  comme une « température potentielle entropique humide » qui devient de ce fait vraiment synonyme des: 0 s1 [s d %c pd ln(T 0 ) ]#c pd ln( q s ) , (12)  0 où est l’entropie de l’air sec s d correspondaux conditions standards T 0 1K et 273.15 p 0 1 1000hpa. On trouve, tous calculs faits, une expression un peu complexe qui s’écrit :

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(13)

* En fait, cette formulation n’est pas très complexe. En tout cas, elle n’est pas très éloignée de celle pour q * due à Marquet (1993) et donnée en (14), ou de celle pour q l due à Emanuel (1994) et donnée en (15) :

(14)

(15)

* Le terme entre crochet dans l’expression q l de Emanuel (1994)%dans la seconde ligne de (15)%est un terme en trop, qui correspond à une inexactitude (dans son étude) sur la formulation des entropies partielles * * (voir Marquet, 2011). A part ce terme, les deux formulations (14) et (15) pour q et q l coïncident. * On peut donc ce concentrer sur les différences entre les formulations de q s  donnée par (13) et de q donnée par (14). Il apparaît, en fait, que la différence principale provient du terme exp( > q t ) dans (13), où > dépend des différences d’entropies partielles entre l’eau vapeur et l’air sec, sous la forme : (16)

D’après ce tableau, il existe donc une variation de > avec les valeurs de référencesT r etp r (peu avecp r , un peu plus avecT r ). Pour les applications pratiques, une analyse d’ordre de grandeur (confirmée par les applications numériques) indique qu’au premier ordre on a : (17)

La formulation au premier ordre ( q  s ) 1 de q  s  s’exprime donc très simplement en fonction du couple des variables de Betts ( q l ,q t ), sous la forme du produit : q l exp( > q t ). C’est q s donnée par (13), et au premier ordre ( q  s ) 1 donnée par (17), qui sont conservées lors de l’évolution adiabatique et réversible d’une parcelle humide du fluide atmosphérique (parcelle insaturée ou saturée, avec ou sans eaux condensées). Les écarts à la conservation de q  s  - et au premier ordre ceux de ( q  s ) 1 - traduisent donc les effets d’entraînement / détraînement ou les effets des termes diabatiques (mais sans compter les changements de phases réversibles, qui laissent l’entropie inchangée). 4)Influence des valeurs de référence. Comme toujours depuis mes premiers travaux en 1989 sur l’Exergie, l’idée du choix des valeurs de références (T r ,p r , q r ) et du possible impact sur les aspects physiques et météorologiques est une source d’inquiétudes pour certains, souvent de rejet pour d’autres. On peut démontrer l’universalité des calculs de l’entropie humide et de la température potentielle associé q s » pour la particulesuivant où on fait varier à gauche les « valeurs de référence le tableau  par saturée dont les conditions sont indiquées à droite :

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Il faut remarquer que le terme constant entre crochets dans (12) ne dépend pas des choix deT r oup dr dans (13), car quelles que soient ces valeurs (T r ,p r ), le fait de définirq r 1 q sat (T r ) fait que l’on garde la même 0-1 -1 valeur pour q s  (voir le tableau). Numériquement, on obtient [s d %c pd  ln(T 0 ) ]1kg . 1138.56 J K Il est donc clair qu’à la foisset q s sont constants et définis de manière absolue. Il en va bien sûr différemment de la formulation approchée ( q s ) 1 qui, comme pour > en (16), varie peu avecp r et un peu plus avecT r . En conclusion, si on ne veut pas faire d’approximation et avoir une formulation universelle, alors il faut prendre les formulations exactes (12) et (13) pourset q s . Le prix à payer pour ne garder que la forme simple (mais approchée) ( q  s ) 1 de gérer une légère dépendance avec est p r  etT r , mais avec des valeurs qui restent heureusement très proches de q s  pour le choixT r 1273.15 K (choix retenu dans Marquet, 2011). 5)Applications : FIRE-I ; autres Sc ; Emagrammes. Le bien fondé d’une nouvelle approche théorique est de pouvoir retrouver l’ensemble des résultats antérieurs, et si possible indiquer des résultats nouveaux qui soient pertinents. Pour tester les propriétés physiques deset q s , il a semblé intéressant d’utiliser les données mesurées in situ par avion lors des campagnes FIRE-I, décrites dans De Roode et Wand (2007). On montre les résultats sur la Figures 2. Il apparaît en (d) que les profils verticaux de ( q  s ) 1 coïncident (ou presque) pour les parties en air « clair » et « nuageux » . Ce résultat n’était pas spécialement recherché, mais il s’impose ici au vue des observations et il se vérifie pour les 3 autres cas observés (voir RF02B, RF04B et RF08B dans Marquet, 2011). De même, on constate que le saut à l’inversion semble faible ou inexistant pour ( q s ) 1 , alors qu’ils sont très élevés pour les variables de Betts :»10 K en (a) et»5 g/kg en (b). L’absence d’inversion (ou presque) pour ( q s ) 1 se vérifie pour les 3 autres cas de FIRE-I (voir Marquet, 2011).

(a) (b) (c) (d) Figure 2.(a) :Les profils verticaux de la variable de Betts q  l , avec une croissance dans la couche limite et des valeurs bien différentes entre les valeurs en air « clair » et « nuageux ».(b) :Les profils verticaux de la variable eau totale q t . On observe une décroissance avec l’altitude et, comme pour q l , des valeurs bien différentes entre les valeurs en air « clair » et « nuageux » (en particulier dans la zone d’entraînement).(c) :Le profil de l’eau liquide nuageuse q l montre que l’on traite ici d’un Strato-Cumulus homogène).(d) :Comparaison des profils de q l et de ( q s ) 1 texte).(voir les commentaires dans le

La vision en « moyennes horizontales » correspond aux valeurs moyennes sur les grilles des modèles (moyennes des valeurs locales en « clair » et en « nuageux »). Le résultat est indiqué sur la Figure 3 (a), où on retrouve le même comportement que sur la Figure 2 : ( q s ) 1 (z)est constant dans la couche limite jusqu’au sommet de l’inversion, avec un saut à l’inversion qui est nul ou très faible. Il en va de même en (b) pour 3 autres cas de Strato-Cumulus (ASTEX, EPIC, DYCOMS-II-RF01). On voit en (c) que les écarts entre q s (z) et ( q s ) 1 (z)sont faibles (< 0.6 K) et sont relativement constants sur la verticale.

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(a) (b) (c) (d) Figure 3.(a) :Profils verticaux pour FIRE-I (03B) des « moyennes horizontales » = « moyenne sur la maille » de q l et de( q s ) 1 .(b) :Profils verticaux de q l et de( q s ) 1 pour 3 autres cas de Sc.(c) :Comparaison des profils verticaux de q l et de( q s ) 1 pour FIRE-I (04B).(d) :Profils verticaux FIRE-I (03B) pour différentes températures potentielles. On voit sur la Figure 3 (d) une comparaison entre différentes températures potentielles humides, avec tout à gauche (trait continu violet) un profil de type q  l  et à droite 4 courbes (traits continus violets également) qui correspondent à différentes formulations de températures potentielles équivalentes q . Le E profil de ( q s ) 1 (z)(trait continu noir épais) se situe en position intermédiaire, dans une proportion2/3||1/3 entre q l  et q . (voir l’explication dans Marquet, 2011). Ceci démontre que ( q s ) 1 est franchement différent à E la fois de q l  et q . E On voit sur les Figures 4 deux autres exemples d’applications. En (a) on montre un radio-sondage (30 mai 2010 sur les Bermudes). On observe un alignement des points rouges qui représentent les températures (T  s ) 1  à chaque niveau sur la courbe en pointillé bleu qui représente une iso-( q  s ) 1 . Comme pour les cas de Stratocumulus précédents, cet alignement reste valide jusqu’au sommet de la couche limite, avec une transition douce avec les valeurs situées dans l’atmosphère libre (excepté la valeur ponctuelle à la base de l’inversion : problèmes de mesure par la sonde ? ou correspondant aux crochets que l’on devine sur les Figures 3-b pour EPIC et DYCOMS-II ?).

q l

( q s ) 1

r t

r l

(a) (b) (c) (d) Figure 4.(a): Un sondage sur les Bermudes.(b - d): Des sorties issues d’un LES pour les profils de EUCAARI (O. Thouron et J.L. Brenguier) : q l  et ( q s ) 1 en(b); r t en(c); r l en(d). En (b) on montre des sorties obtenues avec un LES et pour un Strato-cumulus homogène EUCAARI. On retrouve dans cette simulation (ovales en vert continu) les aspects « pas d’inversion en ( q  s ) 1 « valeurs» et identiques pour ( q  s ) 1 et en air nuageux », tout le contraire des comportements pouren air clair q  l  etq t (ovales en pointillés rouges). 6)"à la Gibbs".Conséquences théoriques : Turbulence ; Diagrammes 3D Même si le but final était de progresser dans la compréhension des liens entre les concepts d’exergie et de flottabilité / CAPE, une fois découverte l’existence des variables q  s et ( q  s ) 1 , qui sont synonymes de 31/01/2011 7P. MARQUET ; DPrévi-LABO. Météo-France

l’entropie de l’air humide, il était a priori intéressant de pouvoir tirer le maximum de ces avancées théoriques en termes de conséquences concrètes. C’est le cas pour les Strato-cumulus qui constituent un paradigme pour la turbulence humide. On peut par exemple imaginer que le but de la turbulence (à travers des mouvements adiabatiques et réversibles) pourrait être de modifier les profils verticaux des différentes variables de sorte que l’on homogénéise les profils verticaux de l’entropie, et donc de q s et ( q s ) 1 ? Les flux verticaux s’écrivent sous la forme suivante :

(18)

On voit que la condition de nullité du flux de ( q s ) 1 correspondrait à une simple proportionnalité entre les flux des variables de Betts (encadré rouge). On peut aussi exprimer les flux turbulents en fonction des variables de type « énergie statique humide » (notée iciS m ) :

On obtient des fo Il est possible Gibbs, sous la form

Gibbs a représenté les processus thermodynamiques sous un double aspect : d’une part sous la forme d’équations différen- tielles ; d’autre part avec des « diagrammes 3D » + les diffé- rentes projections suivant les axes et plans auxiliaires (l’ema- gramme peut être vu comme un des descendants pour les ap- plications météorologiques). La construction de telles structu- res 3D (lignes, surfaces, volumes) se fait en partant des proje- ctions suivant les axes, puis en reportant les points en 3D. Figure 5.Les représentations de la thermodynamique par les diagrammes et les surfaces (J. W. Gibbs, 1873).

 (a) (b) (c) Figure 6. (a) :voir la Figure (5) – il est possible de reporter dansComme dans l’approche de Gibbs (1873) - l’espace les points qui ont pour coordonnées 3D les deux variables de Betts( q l ,q t )+ l’altitude z. On obtient la « courbe gauche » en bleu foncé, qui se projette sur le plan à gauche pour former le profil vertical de q t (z) en brun, et sur le plan arrière pour former le profil vertical de q l (z) en vert. Les isentropes - ici les iso-( q s ) 1 - sont

31/01/2011

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P. MARQUET ; DPrévi-LABO. Météo-France