UNIVERSITÉ d'ORLÉANS SCL1 MA02 Département de mathématiques 2008-9 ...

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UNIVERSITÉ d'ORLÉANS SCL1 MA02 Département de mathématiques 2008-9 ...

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• mathématiques
• mathématique

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Extrait

´ ´ UNIVERSITE d’ORLEANS De´partementdemathe´matiques

Arithm´etique:Corrige´Feuille4(Congruences).

SCL1 MA02 2008-9

8 Exercice 1.7idiv´sreseetedoncherchepar6i.e0eaClsnolucl≤x <6 tel que 8 7≡x6, on a :[6]. Modulo 8 24 44 4 7≡(7 )≡(49)≡(6×8 + 1)≡(1)≡1. Le reste est donc 1. 15 Calculonslerestede3divise´par11.Modulo11,ona 15 35 55 52 22 2 3≡= (27)(3 )≡(2×11 + 5)≡5≡(5 )×5≡(25)×5≡(2×11 + 3)×5 2 ≡3×5≡9×5≡45≡4×11 + 1≡1. Le reste est donc 1.(On n’a pas besoin de calculer explicitement la puissance). Exercice 2.Montrons que 2x+ 9y≡0 [8] implique 10x−3y≡0 [8].On a (modulo 8) 2x≡ −9ydonc 5×2x≡ −5×9y≡ −45y≡(−6×8 + 3)y≡3y. Ainsi10x≡3yet donc 10x−3y≡0 [8]. Exercice 3.Trouvrons tous les entiersytels que 2y≡On calcule5 [7].pgcd(2,7) = 1. Ainsi 2 et 7 sont premiers entre eux et que 7 = 3×2+1. Ainsi(1)×7+(−3)×Ce2 = 1. qui donne (−3)×2≡On pose1 [7].x 0 =−3 alors 2×x 0 ≡En multipliant par1 [7]. 5: 2×(5x 0 )≡ed5e2trapnoitre`ilucinsAi].[7lusoneiuy≡5 [7] esty 0 = 5x 0 =−15. Pour trouver toutes les solutions de 2y≡ulitnoaptrcilu`in”retranche”laso[5o,]7ere y 0 ainsi 2(y−y 0 )≡5−5≡(ise2d7vi`t:aviuae´uquieq.C7]0[y−y 0 2). Puisque et 7 sont premiers entre eux, on a par le lemme de Gauss, que 7 divise (y−y 0 il) i.e. existek∈Ztel quey−y 0 = 7kconclut que. Ony=y 0 + 7k=−15 + 7kaveck∈Z. R´eciproquement,onve´rifiequetoutyde la formey=−15 + 7kaveck∈Zefiire´v aussi 2y≡L’ensemble des solutions5 [7].See´ts`lagaS={−15 + 7k, k∈Z}. Exercice 4.Trouvons tous les entiersytels que 3y≡On calcule12 [33].pgcd(3,33) = 3 1233 3.L’´equation3y≡uqe´uavi21]33[t`ay≡[ ](Voir cours) i.e.y≡Ainsi4 [11]. 3 33 y= 11k+ 4aveck∈Z. L’ensembledes solutionsS`lae´agetsS={11k+ 4, k∈Z}. Exercice 5.Trouvons tous les entiersxtels que ( x≡3 [11] x≡5 [7]. Oncommenceparchercherunesolutionparticuli`erex 0 t`emuuistys´.eOsnsoeu`darred lam´ethodeducoursa`lalettre.Onapgcd(11,7) = 1.Par Bezout, 1 = (2)×11 + (−3)×7. Onposex 0 = (2)×5×11+3×(−3)×7=(A47iba`lpnenettnoitele3carelte 5:voircours).Onve´rifiratoujoursexplicitementquex 0 enosulitnoaptrciuli`ere.tues En effet, on a modulo 11,x 0 ≡3×[(−3)×7]≡3[1−2×11]≡3−3×(2)×11≡3. Et modulo 7, on a : 1