UNIVERSITE DE BOURGOGNE L3-MATHEMATIQUES Analyse Numérique ...

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• Publié par: ywijabiv
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UNIVERSITE DE BOURGOGNE

Analyse Nume´rique Ele´mentaire ,

NORMES MATRICIELLES ET CONDITIONNEMENT

L3-MATHEMATIQUES

1.Rappel sur les normes et les normes matricielles: (a)Notations: -Kest le corpsRouC.K n est l'espace vectoriel surKdes colonnes ansnadstn´eme´elK. -K n eualtsjnociagureaiueusotln(o´esoncomplexe):mtsealscitduroupidun ¯ y 1 n i=1 Y ¯ X=    x x . n 1       y . n    ∈K n  <X|Y>= å x i y¯ i = t X∈K n Y= -L'espace vectoriel des matrices a coefcients dansKa,nlignes etpnot´enoenestscloM np (K). Il est de dimension npsurK. Quandn=p, on le noteM n (K):on a un produit interne qui en fait une algebre. - SoitM∈M n (C). On appellespectre deM´ton,eΜ(M), l'ensemble de ses valeurs propres dansC. (b)rmNo:Desn ´ eoitisn i. Une norme sur une espace vectoriel E surKest une application de E dansR + e´eot,n||||, telle que: -||v||=0⇔v=0 -||v 1 +v 2 || ≤ ||v 1 ||+||v 2 ||∀v 1 v 2 ∈E, -||lv||=|l| ||v|| ∀v∈E∀l∈C ii. Une norme sur l'espaceM n (K)est appele´ematriciellesi et seulement si elle ve´rie: ||AB|| ≤ ||A|| ||B||∀AB∈M n (K)

(c)Equivalence des Normes

i.D´enition:Soientdeuxnormesnote´es||||et|||| ′ sur un espace vectorielEsurK.||||et|||| ′ sont e´quivalentes si et seulement s' il existe deux re´els positifsaetbtels que: a||v|| ≤ ||v|| ≤b||v|| ′ ∀v∈E ii. Cas de la dimension nie: Dansunespacededimensionnie,touteslesnormessont´equivalentes. iii. Remarques: Endimensionnie,laconvergenceounond'unesuitened´ependpasdelanormechoisie:onprendraune norme,mˆeme inhabituelle , qui permet de conclure facilement. Par contre, un calcul d'erreur de´pendra de la norme choisie. (d) Exemples:

i.Exemples surK n : On a les 3 normes usuelles suivantes: ∀X=    x 1    ∈K n  . x n

ii.Normes surM n (K).

1

||X|| 1 = å n |x i | i ||X|| 2 = å i n =1 |x i | 2 ||X|| +υ =sup{|x i |i=1n}