Université Henri Poincaré (Nancy 1) Département de Mathématiques ...

Sujets

• mathématiques
• mathématique
• Mathématiques

Informations

• Publié par: eqaloxoq
• Nombre de lectures: 161
• Langue: Français

Extrait

Université Henri Poincaré (Nancy 1) Département de Mathématiques Algèbre Linéaire, Master I, premier semestre 2009/2010 Feuille n ◦ 1 Espaces vectoriels

Exercice I. Soit K un corps (commutatif), E un ensemble non-vide et F ( E ) := F ( E, K ) l’ensemble des fonctions définies sur E et à valeurs dans K . Pour chaque élément e ∈ E on définit une fonction d’évaluation en e  e : F ( E ) → K,  e ( f ) := f ( e ) . On outre on définit pour chaque e ∈ E une fonction delta centrée en e δ e : E → K telle que δ e ( e 0 ) = 0 si e 0 6 = e et δ e ( e ) = 1 . Montrer que: 1. F ( E ) admet une unique structure d’espace vectoriel sur K telle que les fonctions d’évaluation soient linéaires. On munit F ( E ) de cette structure. 2. Les fonctions delta forment un système libre de F ( E ) . Ce système est générateur si et seulement si l’ensemble E est fini. 3. F ( E ) est de dimension finie si et seulement si E est un ensemble fini. Donnez dans ce cas un isomorphisme F ( E ) → K n . 4. Lorsque E est un espace vectoriel sur K le sous-ensemble L ( E, K ) ⊂ F ( E ) est un sous espace vectoriel de F ( E ) . Exercice II. Soit l 2 ⊂ F ( N , R ) l’espaces des suites réelles ( a n ) n ∈ N telles que P n ∞ =0 a 2 n < ∞ . Montrer que le système formé par les fonctions delta sur N n’est pas une base de l 2 . Exercice III. Soit I ⊂ R un intervalle. Lesquels des sous-ensembles suivants de F ( I, R ) sont des sous-espaces vectoriels réels de F ( I, R ) : 1. l’ensemble C ( I ) des fonctions continues, 2. l’ensemble C ∞ ( I ) des fonctions indéfiniment dérivables, 3. l’ensemble des fonctions positives, 4. l’ensemble des fonctions qui s’annulent en un points donné e ∈ I , 5. l’ensemble des fonctions qui prennent la valeurs 1 en un point donné e ∈ I , 6. l’ensemble des fonctions ayant au moins un zéro dans I , 7. l’ensemble des fonctions continues et C 1 par morceaux,

1