Université Paris-Nord Année 2011-2012 Institut Galilée MACS 3 ...

Description

Universite Paris-Nord Annee 2011-2012 Institut Galilee MACS 3 Departement de Mathematiques C. Basdevant Corrige de l'examen d'Analyse Numerique du mercredi 9 novembre 2011 Duree : 3 h Aucun document autorise Probleme I - Stabilisation du pendule inverse On considere le systeme dynamique : x(t) = x(t) − u(t) ou x(t) ∈ R est l'etat du systeme et u(t) ∈ [−1, 1] le controle.

• formule classique
• differentes etapes de la resolution du probleme de controle
• commande optimale
• equation φ
• conditions de transversalite
• y1 −
• y2
• bang-bang
• bang bang

Sujets

• Équation
• Condition
• Optimum de Pareto
• Problème
• Contrôle
• Résolution
• Classique

Informations

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• Langue: Français

Extrait

Universit´eParis-Nord InstitutGalile´e D´epartementdeMath

´ematiques

Corrig´edel’examen dumercredi9

d’Analyse novembre

Num´erique 2011

Dure´e:3h Aucundocumentautoris´e

Probl`emeI-Stabilisationdupenduleinverse´

Onconside`relesyste`medynamique:

x¨(t) =x(t)−u(t)

Ann´ee2011-2012 MACS 3 C. Basdevant

ou`x(t)∈Reettsel’´etatdusyst`emu(t)∈[−1,imrete´dalrenolrˆntcoutveOne.]1el commandeoptimalepourunretour`al’´equilibre(x(T) = 0, x˙ (T) = 0) en temps minimum. 2 1. En posantz=x+ ˙xdeontiluvoe´’dnoitauqe´’ltenformanetz, montrez que l’´equilibren’estpasatteignablesi|z(0)|>1.

2 dz 2 Corrig´e: Un calcul simple donnez˙ =z−u, et donc = 2(z−uz), ce qui prouve dt 2 que si|z|>1,zsteoicransstdtelcnote´’udtatsysrstetuapenepe`emer`aourn l’origine. 2. Pour|z(0)|<1tinilaiomaczlnemieretd´milaeefnamdnoetpel’´etatonctiond (x(0), xstriaePon.Vougineudepicnidmuminimisilutusprleezer(˙emt`Voe.)d0)ysus montrerez que la commande optimale est bang-bang puis que pour une commande constante les trajectoires dans l’espace des phases sont des hyperboles d’asymptotes fixes.Vousdonnerezenparticulierl’´equationdelacourbedecommutation.

˙ Corrig´e: PosonsY= (x, xtse`emyd˙,)elysec’´tariminaesqusrolY= (Y 2 , Y 1 −u) et R T lecrit`ere`aminimiserJ(u) = 1dt. Le hamiltonien estH= 1 +p 1 Y 2 +p 2 (Y 1 −u). 0 t−t L’´equationdel’´etatadjointp˙ = (−p 2 ,−p 1 itdu`a)noc,p¨ 2 =p 2 etp 2 (t) =αe+βe. Laconditiondetransversalit´eautempsfinal(η= 0, τquelconque) donneH(T) = 0, et le temps n’intervenant pasH(t) = 0,∀t. La commande optimale minimisant le hamiltoniena`toutinstantonobtientu(t) = signe(p 2 (t)). Commep 2 s’annule au plusunefois,onend´eduitqu’unecommandeoptimaleestbang-bangavecauplus une commutation. Etudions alors les trajectoires dans l’espace des phases (Y 1 , Y 2 ) pour une commande ˙ ˙ 2 constante.Dusyste`medynamiqueonobtientY 2 Y 2 = (Y 1 −u)Y 1 et doncY−(Y 1 − 2 2 u) =CavecCune constante arbitraire. Les trajectoires dans l’espace des phases 2 2 sont donc des hyperboles de centre (u,0), d’asymptotesY= (Y 1 −ud’axe) et 2 Y 2 = 0 siC <0 etY 1 =usiC >Lere1.afigusurlsee´tnese´rperemom,c0 ˙ sensdeparcourssede´duitdel’e´quationY 1 =Y 2 :Y 1 est croissant quandY 2 est positif.Onpeutalorsve´rifiergraphiquementler´esultatdelapremi`erequestion:si |Y1 +Y2|>uxtrajectoirespaslsaaon’tirigenl,seedleibredeurtor`neeli1mitsssop paruntelpointemm`enent`al’infini. Lacourbedecommutationestform´eedesdeuxportionsd’hyperbolescorrespondant

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