YjY AGRÉGATION INTERNE DE MATHÉMATIQUES YjY Continuité, Dérivation ...

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YjY AGRÉGATION INTERNE DE MATHÉMATIQUES YjY Continuité, Dérivation ...

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• Publié par: asutuwin
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Y j YAGRÈGATION INTERNE DE MATHÈMATIQUESY j Y Continuitè, Dèrivation & Applications – 28 JUIN 2008.

1.DÉrivation

0 Exercice 1.Soitf: [a, b]→Rune application dÉrivable, montrer quef(a)est 0 valeur d’adhÉrence def(]a, b[). 0 Exercice 2.Soitf∈C([a, b],R)une application dÉrivable sur]a, b[sauf peut tre 0 en un pointc∈]a, b[. Sif(x)admet une limitellorsquextend versc, montrer que 0 fest dÉrivable encetf(c) =l. Exercice 3.Donner plusieurs dÉmonstrations du thÉorÈme de Darboux : SoitIun 0 intervalle deR. Sif:I→Rest dÉrivable surIalorsfvÉrifie la propriÉtÉ des valeurs intermÉdiaires. Exercice 4.Soientf, g, htrois fonctions continues sur[a, b], dÉrivable sur]a, b[. On dÉfinit   f(x)g(x)h(x)   F(x) = det f(a)g(a)h(a) f(b)g(b)h(b) 0 montrer qu’il existec∈]a, b[tel queF(c) = 0, en dÉduire le thÉorÈme des accrois- sements finis puis la forme gÉnÉralisÉe de ce thÉorÈme. Exercice 5.1) Soitf:R→R, montrer quefest continue À l’origine si, et seulement si elle admet un dÉveloppement limitÉ À l’ordre0À l’origine; montrer que fest dÉrivable À l’origine si, et seulement si elle admet un dÉveloppement limitÉ À l’ordre1À l’origine. 2) Soit ( 2 −1/x esix∈R\Q, f(x) = 0sinon. ? Montrer quefest discontinue en tous points deR, qu’elle est continue et dÉri- vable À l’origine et nulle part deux fois dÉrivable. Toutefois montrer quefadmet À l’origine un dÉveloppement limitÉ À tout ordre. 10 Exercice 6.Soitf∈C(R)telle quef(0) = 0et|f(x)| ≤ |f(x)|, x∈R. Montrer quefest identiquement nulle. (on pourra commencer par montrer que pour tout a≥0il existeC a telle que|f(x)| ≤C a ∙xpour tout0≤x≤a....) 0 Exercice 7.Soitf:R→RdÉrivable. On suppose quef(x) =O(x),(x→+∞), 2 montrer quef(x) =O(x),(x→+∞). Exercice 8.On dÉfinitfsurRpar ( 1 exp(− 2 ) + cos(x)six >0, x f(x) = cos(x)sinon. 1