Equations Differentielles Ordinaires avec Singularites Regulieres

Description

Equations Differentielles Ordinaires avec Singularites Regulieres Contents 1 Theorie de L. Fuchs 1 1.1 Singularites regulieres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Solutions multiformes et Monodromie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.3 Exemple: Fonction Hypergeometrique de Gauss . . . . . . . . . . . . . . 3 1.4 Systemes avec singularites regulieres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.5 Demonstration de Theoreme 1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2 Connexions meromorphes 8 2.1 Une version locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.2 Connexions holomorphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.3 Connexions meromorphes regulieres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1 Theorie de L. Fuchs Dans cette section, j'expliquerai une theorie classique de L.

• pole d'ordre


• pole sauf


• recrire avec l'operateur d'euler


• matrice monodromique


• systeme fondamental de solutions

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Extrait

´Equations Diff´erentielles Ordinaires
avec Singularit´es R´eguli`eres
Contents
1 Theorie de L. Fuchs 1
1.1 Singularit´es r´eguli`eres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Solutions multiformes et Monodromie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Exemple: Fonction Hyperg´eom´etrique de Gauss . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4 Syst`emes avec singularit´es r´eguli`eres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.5 D´emonstration de Th´eor`eme 1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2 Connexions meromorphes 8
2.1 Une version locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2 Connexions holomorphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3 m´eromorphes r´eguli`eres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1 Theorie de L. Fuchs
Dans cette section, j’expliquerai une th´eorie classique de L. Fuchs [F] suivant l’expos´e
de A. Heafliger [H]. Un exemple classique sera aussi donn´e.
1.1 Singularites regulieres
Ici, je d´efini singularit´es r´eguli`eres et fomule le th´eor`eme de L. Fuchs. Comme c’est une
th´eorie locale, j’utilise les notions suivantes:
×D :={z;|z|<"}; D :={z;0<|z|<"};" "
O :=l’anneau de germs des fonctions holomorphes pr`es de 0;
1 × ×eK :=O[ ]; O(D ) := l’anneau de fonctions holomorphes multiformes sur D ;" "z
× × 2ite e eO :=limO(D ); D :={t∈C;|e |<"}:" "
"→0
× ×e eEn particulier, D est le revˆetement universel deD , et on a les inclusionsO⊂K ⊂O." "
1eDe nition 1.1. Une fonction multiforme f ∈ O est `a croissance moderee pr`es de
0 si, pour tout secteur {z; ≤ argz ≤ ; 0 < |z| < "}, avec " suffisamment petit, il0 1
existe un entier k > 0 et un constant C > 0 tels que
1
|f(z)|<C· ∀ z∈S:
k|z|
eNotons le sous-anneau de O constitu´e des fonctions ´etant `a croissance mod´er´ee pr`es de
mode0 par O
mPar exemple, les fonctionsz (∈C) et (logz) (m∈N) sont `a croissance mod´er´ee.
D’ici, je admets pr`es de 0 pour simplicit´e s’il n’y aura pas de risque de confusion.
Le th´eor`eme remarquable montr´e par L. Fuchs [F] est
( )∑ n−kn dTheoreme 1.1. Soit P := a (z) un op´erateur diff´erentiel avec a (z)∈Kk kk=0 dz
eet a (z)6 0. Alors, les solutions multiformes u∈O de l’´equation diff´erentielle0
Pu = 0 (1)
ai
sont `a croissance mod´er´ee pr`es de 0 s.si l’ordre du pˆole de `a 0 est au plus i pour
a0
i = 1;2;··· ;n.
Si ces conditions ´equivalentes sont satisfaites, l’EDO (1) est dite reguliere `a 0, ou
on dit que 0 est une singularite reguliere.
d
L’EDO (1) peut s’´ecrire avec l’aide de l’op´erateur d’Euler := z ( apr`es avoir
dz
n −1multipli´e par z a (z) ) dans la forme0
n∑
n n−i u+ b (z) u = 0:i
i=1
i−1Si on pose v := u, cette ´equation est ´equivalent au syst`emei
v =v i = 1;··· ;n−1;i i+1
v =−b (z)v −···b (z)v :n n 1 1 n
aiRemarqueonsquelaconditionder´egularit´edeFuchs, i.e., aitunpˆoled’ordreauplusi
a0
`a 0, est´equivalent `a la queb ;··· ;b soient holomorphes. Pour le voir, utiliser1 n
la formule
ndnz =(−1)···(−n+1):
ndz
1.2 Solutions multiformes et Monodromie
Ici, je commence par un syst`eme d’EDO de la forme
d
U(z) =A(z)U(z); (2)
dz
2n tou` A(z) ∈ End(K ) et U(z) = (u (z);··· ;u (z)). Choisissons " > 0 tel que les coef-1 n
ficients A(z) = (a (z)) soient fonctions m´eromorphes sur D n’yant pas de pˆoleij 1≤i;j≤n "
sauf 0.
× ×e eComme D est simplement connexe, les solutions de (2) sur D forment un espace vec-" "
1 ne e etoriel sur C de dimension n. Soit S(t) = (U (t);··· ;U (t)) n solutions lin´eairement
ind´ependantes.
2itPuisque les coefficients a (e ) ont la p´eriode 1, en rempla¸cant t par t+1, on obtientij
une autre base de l’espace de solutions, i.e., il existe une matrice C ∈GL (C) telle quen
e eS(t+1) =S(t)C:
La matrice C s’appelle la matrice monodromique du syst`eme et la transformation
lin´eaire correspondant dans l’espace des solutions est dit la monodromie.
eSoit Γ une matrice telle que C = exp(2iΓ). Car la matrice S(t)exp(−2iΓt) est de
1p´eriode 1, en rempl¸cant t par logz, on obtient une Σ(z) dont les coefficients
2i
×sont holomorphe sur D . Les colonnes de la matrice S(z) := Σ(z)exp(Γlogz) forment"
un systeme fondamental de solutions (multiformes) de (1). Voici un r´esum´e:
Proposition 1.2. Tout syst`eme fondamental de solutions (multiformes) de l’´equation
dU
=A(z)U
dz
est de la forme
S(z) = Σ(z)exp(Γlogz);
ou`Σ(z)estunematriceaveccoefficientsholomorphesendehorsde0, etΓestunematrice
avec coefficients constants telle que exp(2iΓ) =C soit la matrice monodromique.
Si on choisit une autre base de l’espace de solutions, la matrice monodromique C,
aussi bien que la matrice Γ, sera conjug´ee par la matrice de passage. Ainsi, on peut
choisir une base telle que Γ soit dans une forme r´eduite de Jordan avec k bloc de la∑n−1
forme Γ = I +N ( I ∈ GL (C) est la matrice d’indentit´e et N = e ). i n n n n n i;i+1i i i i=1
Alors, la matrice exp(Γlogz) est une matrice bloc diagonale de la forme
n −1i∑ 1 m miexp(Γ logz) =z N (logz) :i nim!
m=0
Donc, on a
Corollaire 1.3. Pour toute EDO Pu = 0 d’ordre n, il existe une solution de la forme
2i z h(z), ou` h(z) est holomorphe en dehors de 0, et ∈C est tel que e soit une valeur
propre de la monodromie.
1.3 Exemple: Fonction Hypergeometrique de Gauss
Ici, je pr´esente la fonction hyperg´eom´etrique de Gauss. Pour le d´etail, voir, e.g., [AAR].
L’´equation diff´erentielle hyperg´eom´etrique (HG) est donn´ee comme suit:
2d w dw
z(1−z) +{−(+ +1)z} −w = 0: (3)
2dz dz
3Il est souvent utile de la r´ecrire avec l’op´erateur d’Euler:
[ ]
1
(+)(+)− (+−1) :w = 0: (4)
z
L’´equation (3) admet singularit´es r´eguli`eres `a 0;1 et∞. Cherchons une solution formelle
de (3) autour de 0.
∑
nPosons w =z c z et on suppose que c = 1. Commen 0n≥0
∑
n(+)(+)w =z (n++)(n++)c z ;n
n≥0
∑1 n−1(+−1)w =z (n+)(n++−1)c z ;n
z
n≥0
−1compar´esant le coefficient de z , une condition n´ecessaire et suffisante pour que (4)
admette cette solution formelle est
(+−1) = 0 ⇐⇒ = 0;1−:
nSupposons que = 0. En compar´esant le coefficient de z , on a
(+n)( +n)
c = c :n+1 n
(1+n)( +n)
(Ici, on suppose que 62Z pour simplicit´e.) Donc, on obtient
( )∞∑ () (