Université des Sciences et Technologies de Lille

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Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
Université des Sciences et Technologies de Lille 1 2010/2011 Licence Profil Mécanique Semestre 4 Compléments d'analyse réelle M 203' Exercices sur les séries entières Exercice 1 Calculer les rayons de convergence des séries entières suivantes : (1) ∑ n≥0 1 7n+ 1 zn ; (2) ∑ n≥0 n2 + 3 2n+ 1 zn ; (3) ∑ n≥0 nlnnzn ; (4) ∑ n≥0 ( n+ 1 n+ 2 )n zn ; (5) ∑ n≥0 cos (npi 2 ) zn ; (6) ∑ n≥0 n(?1) n zn ; (7) ∑ n≥0 1 4n+ 1 z4n ; (8) ∑ n≥0 (?1)n (2n+ 1)! zn ; (9) ∑ n≥0 E(en)zn (où E(x) est l'unique entier tel que E(x) ≤ x < E(x) + 1) ; (10) ∑ n≥0 3(?1) nnzn ; (11) ∑ n≥0 (2? 2 1 2 )(2? 2 1 3 ) .

• compléments d'analyse réelle


• vérifie r? ≤


• rayon de convergence de la série entière

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Extrait

X 1
nz
7n+1
n0
2Xn +3 nz
2n+1
n0
X
lnn nn z
n0
nX n+1 nz
n+2
n0
X n ncos z
2
n0
X
n( 1) nn z
n0
X 1
4nz
4n+1
n0
nX ( 1) nz
(2n+1)!
n0
X
n nE(e )z E(x) E(x)x<E(x)+1
n0
X
n( 1) n n3 z
n0
X
1 1 1 n
2 3 n(2 2 )(2 2 ):::(2 2 )z
n0
Z 1X
n t nt e dt z
0n0
le;s?ries(9)chnoloM?onscdes:an1(11)anique(2)ExerSemestr;e2010/20114ti?res(4)ergence;con(o?(7)Compl?mentsrad'analyse1r(6)?esestTl'uniquetes;;.suivtelenquedesel;levdeM;203';(3)y;sExercicesCalculersurcicelesUniversit?s?ries;enSciencti?reset)(12)PreolenceLicgies;de(10)Lil(5)le(1)(8)en1tierP
na z R a > 0n nn0
n
P
n> 0 a zn0 n
P
0 n< 0 R a zn0 n
0 R R
2n 2na = 2 a = 22n 2n+1
P
na z R = +1nn0
P+1 nS(z) = a z C a = 0 n 1n nn=0
P jS(z)jP(jzj) z C
a = 0 nn
+1X
2 nn z
n=0
+1X
np z p (p;q;r) p+2q+3r =nn n
n=0
P+1 nz
n=0
P
na z R 1 Snn0
{t0<r< 1 f(t) =S(re ):
S D(0;1) a ! 0n
z2C n2N n
tz0 1 f (t) =e :z
P kn z zR > 0 P (z) = en k=0 k!
D(0;R):
R> 0 n P D(0;R):n
.ciced'ordre4,CalculerSoitle(2)ssoitsommess?riesuivvanettesor:cice(1)uleciceconExerd?duire2congrand..assezgrand,2deoursip.Soitque;Mon(2).uneylors?rieergenceenraalorsra,conti?reg?n?ral.dansrdesurtoutSoit,po?uleourvps?rieestd?duireleestnomebrPe,de.triplets(1)d'.entrertierslaraTyinonendevcononvti?revSoit?rian.tonergenceergencetelleciceque?galit?pergeour?mentoutn'a.trerques?rietelti?re.trerOn?riepneourrsurappergenceartirladeenlEn(1)queformuleti?redebolyn?men?psurun(2)existeourilalorss'siquetrer.ExerExer6ciceSoit5*(1)SoitettrermonMonque(2)?crire.formPdeoura,restetoutt?graluneles?rietreenetti?rededederayydeonende(2)conunevyergenceEnourquepded?terminervetdede3sommeExerleen.pas(1)vPunifoourmratyersalors,l'on,queonMon,la?crire(3)l'?galit?endevPMonarsevque,alourpassezour.Exersurs'annorn?epasb(3)estOndeoseconaz2C n2N n
0 1 f (t) = sin(tz):z
P k 2k+1n ( 1) z
R > 0 P (z) =n k=0 (2k+1)!
sin(z) D(0;R):
sinxk2N g :x7!
x
kC R
P
na z R> 0 a = 0n 0n0
(b )n n0
nX
a b = 1 8n 1; a b = 0:0 0 k n k
k=0
n 1M(M+1)
0 < r < R M > 0 jbjn nr
n 1
P
nb znn0
jzj
! !
+1 +1X X
n na z b z = 1:n n
n=0 n=0
,suitetd'enontierscsur.SoitExer.uEnprolongeerstoutvquetergencetelle.queConclurention(1)qu'iluniform?meule.pergeetvEnetraconcont?gral8*toutsoitourestpositif.d?duirepqueclasse(2)pdefoque,en6latrerfonctionet(3)treourqueMontelleSoitet(3)(2)d?duireSoitle3yExerdecicevergencedevcice..Monsurtrer?crirequ'ilstrictemenexistepcon(4)dequeonotellerquedeyassezraetitdenti?reuneentrers?rieMonuneseuneformuniquedeTexiste7a(1)ylorenlaSoitrested'ordrein