Universite Lille I Licence SVTE Mathematiques

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ondey

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Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
Universite Lille I Licence 1 SVTE 2011-2012 Mathematiques 2 - CALCUL INTEGRAL Echauffement Pour les exercices 1 a 4, calculer les integrales demandees. Exercice 1 (a) 1∫ 0 xdx (b) 2∫ ?1 2y3dy (c) pi∫ 0 sin(?)d? (d) 1∫ 0 exdx (e) 2∫ 1 1 t dt (f) 2∫ 1 r?3,2dr Exercice 2 (a) 4∫ 2 (x? 2)5dx (b) 1∫ 0 √ 3y + 1dy (c) pi 4∫ 0 5 sin(2?)d? (d) 1∫ 0 e3xdx (e) 1∫ 0 1 (2t+1)3dt (f) pi 12∫ 0 tan2(3?)d? Exercice 3 (a) 1∫ 0 xex 2 dx (b) pi 2∫ 0 √ 3 cos(y) sin ydy (c) pi 4∫ 0 tan(?)d? (d) 5∫ 1 e √ x 2 √ xdx (e) 1∫ 0 x 2x 2+1 1+x2+x4dx (f) 1∫ 0 sin(ln(1+?2)) 1+?2 ?d? Exercice 4 (a) 1∫ 0 xexdx (

exterieur des bacteries de la meme espece dans le milieu

longueur de la courbe d'equation

air dans les poumons apres

population de bacteries

debit maximal du flux d'air entrant dans les poumons

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Math III-AlgÈbre - Automne 2007

UniversitÉ Claude Bernard Lyon 1

Valeurs propres - Espaces propres - PolynÔme caractÉristique Diagonalisation - Trigonalisation

? Exercice 10.Soient E un K-espace vectoriel de dimension ﬁnie etuun endomorphisme de E tel que rg(u) =1. 1. Si dimE=1, il est toujours vrai que tr(u)est une valeur propre deucaru=tr(u)idE. Supposons dim E≥2 et soit Pu=det(TidE−u)∈K[T]le polynÔme caractristique deu. Comme dim Ker(u) = dim E−rg(u) =dim E−1≥1, 0 est une valeur propre deuet 0 est une racine de Pude multiplicit suprieure dim E−1 ou gale À dimE−1 ; on peut donc factoriser Pusous la forme Pu=T(T−λ)dans K[T]et la conclusion dim E−1 vient de ce que tr(u)est le coefﬁcient de−T dansPu. 2. Si dimE=1, tous les endomorphismes sont diagonalisables et la condition tr(u)6=0 est automatiquement vriﬁe puisqueu6=0 (rg(u) =1). Supposons dimE≥2. Le sous-espace propre deuassoci À la valeur propre 0, c’est-À-dire Ker(u), est par hypothse de dimension dimE−1. Siuest diagonalisable, E est la somme des sous-espaces propres deu et il doit donc exister une valeur propre non nulle puisque Ker(u)6=rciproquement, siE ;λ=tr(u)6=0, Ker(u)∩Ker(u−λidE) ={0}et donc E=Ker(u)⊕Ker(u−λidE) puisque dimKer(u) +dim Ker(u−λidE)≥(dim E−1) +1=dim E,ce qui prouve que l’endomorphismeuest diagonalisable. ? Exercice 11.Soient E un K-espace vectoriel de dimensionnetuun endomorphisme de E. On dﬁnit le commutantdeucomme l’ensemble Comudes endomorphismes de E qui commutent avecu. 1. Le commutant deuest un sous-espace vectoriel deL(E): il contient en effet l’endomorphisme nul et (λv+µw)◦u=λ(v◦u) +µ(w◦u) =λ(u◦v) +µ(u◦w) =u◦(λv+µw) pour tousv,w∈Comu,λ,µ∈K. 2. On suppose queuest diagonalisable, de valeurs propresλ1, . . . ,λp. 2.1 Tout endomorphismevde E commutant avecustablise chacun des sous-espaces propres deu: quels que soient en effet la valeur propreλdeuet le vecteurx∈Ker(u−λid), u(v(x)) = (u◦v)(x) = (v◦u)(x) =v(u(x)) =v(λx) =λv(x) etv(x)appartient donc À Ker(u−λidE). Soit rciproquementvun endomorphisme de E stabilisant chacun des sous-espaces propres deu. Tout vecteur xde E s’crit d’une manire et d’une seule sous la formex=x1+. . .+xpavecxi∈Ker(u−λiidE)(1≤i≤p) et on a alorsu(x) =λ1x1+. . .+λpxp,v(x) =v(x1) +. . .+v(xp). Commevstabilise chaque sous-espace propre deu,v(xi)appartient À Ker(u−λiidE)pour toutietv(xi)est donc la composantev(x)idu vecteurv(x)dans Ker(u−λiidE)par unicit de la dcomposition. La conclusion est maintenant vidente : (v◦u)(x) =v(u(x)) =v(u(x1+. . .+xp)) =v(λ1x1+. . .λpxp) =λ1v(x1) +. . .λpv(xp) =λ1v(x)1+. . .+λpv(x)p =u(v(x)) = (u◦v)(x) pour tout vecteurxde E et doncvcommute avecu. Remarque:si l’on dÉsigne parπ1, . . . ,πples projecteurs spectraux de u, nous avons commencÉ par vÉriﬁer que tout endomorphisme v deEstabilisant les sous-espaces propres de u commute avecπ1, . . . ,πppuis nous avons conclu que v commute avec u en Écrivant u=λ1π1+. . .+λpπp. Soit Biune base de Ker(u−λiidE)(1≤i≤p) et soit B=B1∪. . .∪Bpla base de E correspondante. Puisque Comuest le sous-espace vectoriel deL(E)consitu des endomorphismes de E stabilisant chacun des sous-espaces Ei=Ker(u−λiidE), les lments de Comusont les endomorphismes de E dont la matrice dans la

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