Universite Lille I Licence SVTE Mathematiques

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Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
Universite Lille I Licence 1 SVTE 2011-2012 Mathematiques 2 - CALCUL INTEGRAL Echauffement Pour les exercices 1 a 4, calculer les integrales demandees. Exercice 1 (a) 1∫ 0 xdx (b) 2∫ ?1 2y3dy (c) pi∫ 0 sin(?)d? (d) 1∫ 0 exdx (e) 2∫ 1 1 t dt (f) 2∫ 1 r?3,2dr Exercice 2 (a) 4∫ 2 (x? 2)5dx (b) 1∫ 0 √ 3y + 1dy (c) pi 4∫ 0 5 sin(2?)d? (d) 1∫ 0 e3xdx (e) 1∫ 0 1 (2t+1)3dt (f) pi 12∫ 0 tan2(3?)d? Exercice 3 (a) 1∫ 0 xex 2 dx (b) pi 2∫ 0 √ 3 cos(y) sin ydy (c) pi 4∫ 0 tan(?)d? (d) 5∫ 1 e √ x 2 √ xdx (e) 1∫ 0 x 2x 2+1 1+x2+x4dx (f) 1∫ 0 sin(ln(1+?2)) 1+?2 ?d? Exercice 4 (a) 1∫ 0 xexdx (

• exterieur des bacteries de la meme espece dans le milieu


• longueur de la courbe d'equation


• air dans les poumons apres


• population de bacteries


• debit maximal du flux d'air entrant dans les poumons

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Math III-AlgÈbre - Automne 2007

UniversitÉ Claude Bernard Lyon 1

Valeurs propres - Espaces propres - PolynÔme caractÉristique Diagonalisation - Trigonalisation

? Exercice 10.Soient E un K-espace vectoriel de dimension finie etuun endomorphisme de E tel que rg(u) =1. 1. Si dimE=1, il est toujours vrai que tr(u)est une valeur propre deucaru=tr(u)id E . Supposons dim E≥2 et soit P u =det(Tid E −u)∈K[T]le polynÔme caractristique deu. Comme dim Ker(u) = dim E−rg(u) =dim E−1≥1, 0 est une valeur propre deuet 0 est une racine de P u de multiplicit suprieure dim E−1 ou gale À dimE−1 ; on peut donc factoriser P u sous la forme P u =T(T−λ)dans K[T]et la conclusion dim E−1 vient de ce que tr(u)est le coefficient de−T dansP u . 2. Si dimE=1, tous les endomorphismes sont diagonalisables et la condition tr(u)6=0 est automatiquement vrifie puisqueu6=0 (rg(u) =1). Supposons dimE≥2. Le sous-espace propre deuassoci À la valeur propre 0, c’est-À-dire Ker(u), est par hypothse de dimension dimE−1. Siuest diagonalisable, E est la somme des sous-espaces propres deu et il doit donc exister une valeur propre non nulle puisque Ker(u)6=rciproquement, siE ;λ=tr(u)6=0, Ker(u)∩Ker(u−λid E ) ={0}et donc E=Ker(u)⊕Ker(u−λid E ) puisque dimKer(u) +dim Ker(u−λid E )≥(dim E−1) +1=dim E,ce qui prouve que l’endomorphismeuest diagonalisable. ? Exercice 11.Soient E un K-espace vectoriel de dimensionnetuun endomorphisme de E. On dfinit le commutantdeucomme l’ensemble Com u des endomorphismes de E qui commutent avecu. 1. Le commutant deuest un sous-espace vectoriel deL(E): il contient en effet l’endomorphisme nul et (λv+µw)◦u=λ(v◦u) +µ(w◦u) =λ(u◦v) +µ(u◦w) =u◦(λv+µw) pour tousv,w∈Com u ,λ,µ∈K. 2. On suppose queuest diagonalisable, de valeurs propresλ 1 , . . . ,λ p . 2.1 Tout endomorphismevde E commutant avecustablise chacun des sous-espaces propres deu: quels que soient en effet la valeur propreλdeuet le vecteurx∈Ker(u−λid), u(v(x)) = (u◦v)(x) = (v◦u)(x) =v(u(x)) =v(λx) =λv(x) etv(x)appartient donc À Ker(u−λid E ). Soit rciproquementvun endomorphisme de E stabilisant chacun des sous-espaces propres deu. Tout vecteur xde E s’crit d’une manire et d’une seule sous la formex=x 1 +. . .+x p avecx i ∈Ker(u−λ i id E )(1≤i≤p) et on a alorsu(x) =λ 1 x 1 +. . .+λ p x p ,v(x) =v(x 1 ) +. . .+v(x p ). Commevstabilise chaque sous-espace propre deu,v(x i )appartient À Ker(u−λ i id E )pour toutietv(x i )est donc la composantev(x) i du vecteurv(x)dans Ker(u−λ i id E )par unicit de la dcomposition. La conclusion est maintenant vidente : (v◦u)(x) =v(u(x)) =v(u(x 1 +. . .+x p )) =v(λ 1 x 1 +. . .λ p x p ) =λ 1 v(x 1 ) +. . .λ p v(x p ) =λ 1 v(x) 1 +. . .+λ p v(x) p =u(v(x)) = (u◦v)(x) pour tout vecteurxde E et doncvcommute avecu. Remarque:si l’on dÉsigne parπ 1 , . . . ,π p les projecteurs spectraux de u, nous avons commencÉ par vÉrifier que tout endomorphisme v deEstabilisant les sous-espaces propres de u commute avecπ 1 , . . . ,π p puis nous avons conclu que v commute avec u en Écrivant u=λ 1 π 1 +. . .+λ p π p . Soit B i une base de Ker(u−λ i id E )(1≤i≤p) et soit B=B 1 ∪. . .∪B p la base de E correspondante. Puisque Com u est le sous-espace vectoriel deL(E)consitu des endomorphismes de E stabilisant chacun des sous- espaces E i =Ker(u−λ i id E ), les lments de Com u sont les endomorphismes de E dont la matrice dans la

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