M2AO TD5 Introduction aux éléments finis

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M2AO, TD5 Introduction aux éléments finis Exercice 1 Analyse fonctionnelle. Soit (V, ? · ?) un espace de Banach, L une forme linéaire continue sur V et a une forme bilinéaire continue et coercitive sur V ? V . On cherche à approcher l'unique u tel que pour tout v ? V , l'on ait a (u , v) = L (v) . (1) 1. Justifier que, pour tout sous-espace fermé W de V , il existe un unique u — noté uLW — tel que l'égalité (1) soit vérifiée pour tout v ?W . 2. Montrer qu'il existe une constante K > 0 telle que, pour tout sous espace fermé W , on ait ? ?uLV ? u L W ? ? ≤ K inf v?W ? ?uLV ? v ? ? . 3. Montrer qu'il existe une constante K ? > 0 (indépendante de L) tel que, pour tout sous- espace fermé W et toute forme linéaire continue LW , on ait ? ? ?uLW ? u LW W ? ? ? ≤ K ? |L ? LW | où | · | est la norme duale de ? · ?. Exercice 2 Une application en dimension 1. Soit b, c et f des fonctions réelles continues sur ]0, 1[, avec b > 0 et c ≥ 0.

  • dimension de wn

  • base duale

  • version matricielle du problème

  • application en dimension

  • wn

  • norme duale de ? ·


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Université Claude Bernard Lyon 1  2007/2008 Licence Sciences et Technologie  UE Mathématiques III, Algèbre
Feuille d’exercices 5 ————————
 Quelques applications de la réduction des endomorphismes 
Exercice 1.Résoudre le système différentiel   1 d   X(t) =AX(t) +t , dt 1
pour les matricesAsuivantes, étudiées dans les planches précédentes,     2 1 11 1 3     1 2 1,2 2 2. 1 1 22 1 4
Exercice 2. 1. Montrer qu’une équation différentielle d’ordrenréelle (resp. complexe), donnée par
n n1 d d d z(t) +cn1z(t) +. . .+c1z(t) +c0z(t) =f(t), n n1 dt dt dt où lescisont réels (resp. complexes) etfune fonction continue à valeurs réelles (resp. complexes), peut s’écrire sous la forme d’un système linéaire à coefficients constants de la forme d X(t) =AX(t) +V(t). dt 3 2. Déterminer les fonctionsxdeC(R,C)solutions de l’équation
3 2 d d d x(t) +x(t)x(t)x(t) = cost, 3 2 dt dt dt Exercice 3.On considère dansMn(R),n>2, la matrice   a b . . . b . . b a.. A=   . . . . ...b b . . . b a
tR.
Déterminer la solution du système d X(t) =AX(t), dt prenant ent= 0la valeurx0, contenue dans l’hyperplan d’équationx1+. . .+xn Exercice 4.On considère la matrice réelle   7 4 3   A= 25 3. 5 16
2 1. Montrer que le polynôme caractéristique deAestPA=X(X+ 9). 2. Déterminer la dimension du sousespace propre associé à la valeur propre9. 3. La matriceA?estelle diagonalisable
1
= 0.