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Numéro d'ordre : ? ?-2008 Université Claude Bernard Lyon 1 Habilitation à Diriger des Recherches spécialité : mathématiques pures Interactions entre l'analyse complexe et la théorie des opérateurs Emmanuel Fricain – RAPPORTEURS – M. ? ? ? ? ? ? ? Université ? ? ? ? ? M. ? ? ? ? ? ? ? Université ? ? ? ? ? M. ? ? ? ? ? ? ? Université ? ? ? ? ? – JURY – M. ? ? ? ? ? ? ? Université ? ? ? ? ? M. ? ? ? ? ? ? ? Université ? ? ? ? ? M. ? ? ? ? ? ? ? Université ? ? ? ? ? M. ? ? ? ? ? ? ? Université ? ? ? ? ? M. ? ? ? ? ? ? ? Université ? ? ? ? ? M. ? ? ? ? ? ? ? Université ? ? ? ? ? M. ? ? ? ? ? ? ? Université ? ? ? ? ? - Août 2008 -

  • bla- schke products

  • propriétés fonctionnelles des espaces

  • lien avec les espaces mo

  • produits de blaschke

  • model spaces

  • interactions entre l'analyse complexe

  • comportement des intégrales moyennes des dérivées des produits de blaschke

  • théorie des opérateurs


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01 août 2008

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Français

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Numéro d’ordre :??-2008
Université Claude Bernard Lyon 1
Habilitation à Diriger des Recherches
spécialité : mathématiques pures
Interactions entre l’analyse complexe et
la théorie des opérateurs
Emmanuel Fricain
– RAPPORTEURS –
M.??????? Université?????
M.??????? Université?????
M.??????? Université?????
– JURY –
M.??????? Université?????
M.??????? Université?????
M.??????? Université?????
M.??????? Université?????
M.??????? Université?????
M.??????? Université?????
M.??????? Université?????
- Août 2008 -Sommaire
Liste des travaux présentés 3
1 Introduction 5
1.1 La théorie des opérateurs modèles... . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Le modèle fonctionnel sans coordonnées : la construction . . . . . 9
1.2.1 Préliminaires sur les fonctions analytiques à valeurs opéra-
torielles et les contractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.2 La construction du modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3 La transcription du modèle fonctionnel . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3.1 La transcription de Sz.-Nagy–Foias . . . . . . . . . . . . . 13
1.3.2 La tration de de Branges–Rovnyak . . . . . . . . . . 15
1.4 Plan du mémoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2 Géométrie des espaces de de Branges-Rovnyak 21
2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.1.1 LesnoyauxreproduisantsdesespacesdedeBranges–Rovnyak 21
2.1.2 Lessystèmesd’exponentielles etlelienavec lesespacesmo-
dèles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.1.3 La méthode initiée par N. Nikolski . . . . . . . . . . . . . 24
2.2 Suites asymptotiquement orthonormales dans K . . . . . . . . . 25Θ
p2.3 Suites surcomplètes dans K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28Θ
2.4 Bases orthogonales et bases de Riesz dansH(b) . . . . . . . . . . 31
3 Propriétés fonctionnelles des espaces de de Branges-Rovnyak 37
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.2 Prolongement analytique et continu pour les fonctions deH(b) . . 40
3.3 Dérivées au bord radiales pour les fonctions deH(b) . . . . . . . . 41
3.4 Inégalités de Bernstein à poids dans les espacesH(b) . . . . . . . 46
3.5 Applications des inégalités de type Bernstein . . . . . . . . . . . . 49
4 Produits de Blaschke 53
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
12 SOMMAIRE
4.2 Comportement des intégrales moyennes des dérivées des produits
de Blaschke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.3 Comportement de la dérivée logarithmique des produits de Blaschke 61
5 Autour de certaines classes d’opérateurs 65
5.1 Les opérateurs complexes symétriques . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.1.2 Un critère pour les contractions complexes symétriques . . 66
5.2 Combinaisons linéaires d’opérateurs algébriques . . . . . . . . . . 70
5.2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.2.2 Stabilité des propriétés spectrales . . . . . . . . . . . . . . 72
5.3 Opérateurs singuliers et sous-espaces invariants . . . . . . . . . . 73
5.3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.3.2 Opérateurs finiment strictement singuliers entre espaces de
James . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
Bibliographie 77
6 Annexes 93
6.1 Annexes sur le chapitre “Géométrie des espaces de de Branges-
Rovnyak” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
6.1.1 Référence [T1] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
6.1.2 [T2] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
6.1.3 Référence [T3] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
6.1.4 [T4] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
6.2 Annexes sur le chapitre “Propriétés fonctionnelles des espaces de
de Branges-Rovnyak” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
6.2.1 Référence [T5] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
6.2.2 [T6] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
6.2.3 Référence [T7] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
6.3 Annexes sur le chapitre “Produits de Blaschke” . . . . . . . . . . . 275
6.3.1 Référence [T8] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
6.3.2 [T9] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
6.4 Annexes sur le chapitre “Autour de certaines classes d’opérateurs” 308
6.4.1 Référence [T10] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
6.4.2 [T11] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
6.4.3 Référence [T12] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326Liste des travaux présentés
[T1] I. Chalendar, E. Fricain et D. Timotin. Functional models and asympto-
ticallyorthonormalsequences. Ann. Inst. Fourier (Grenoble),53(2003),
no. 5, 1527–1549.
[T2] ChalendarI.,E.FricainetJ.Partington. Overcompletenessofsequences
of reproducing kernels in model spaces. Integral Equations Operator
Theory, 56 (2006), no. 1, 45–56.
[T3] E. Fricain. Bases of reproducing kernels in de Branges spaces. J. Funct.
Anal., 226 (2005), no. 2, 373–405.
[T4] N. Chevrot, E. Fricain et D. Timotin. On certain Riesz families in
vector-valued de Branges-Rovnyak spaces. soumis.
[T5] E. Fricain et J. Mashreghi. Boundary behavior of functions in the de
Branges-Rovnyak spaces. Compl. anal. oper. theory, 2 (2008), 87–97.
[T6] E. Fricain et J. Mashreghi. Integral representations of the n-th deri-
vative in de Branges-Rovnyak spaces and the norm convergence of its
reproducing kernel. Ann. Inst. Fourier (Grenoble), à paraître.
[T7] A. Baranov, E. Fricain et J. Mashreghi. Weighted norm inequalities for
de Branges-Rovnyak spaces and their applications. soumis.
[T8] E. Fricain et J. Mashreghi. Integral means of the derivatives of Blaschke
products. Glasgow Mathematical Journal, 50 (2008), no. 2, 233–249.
[T9] E. Fricain et J. Mashreghi. Exceptional sets for the derivatives of Bla-
schke products. Proceedings of the St. Petersburg Mathematical Society,
Amer. Math. Soc. Transl., 222 (2008), no. 2, 163-170.
[T10] N. Chevrot, E. Fricain et D. Timotin. The characteristic function of a
complex symmetric contraction. Proc. Amer. Math. Soc., 135 (2007),
no. 9, 2877–2886.
[T11] I. Chalendar, E. Fricain et D. Timotin. A note on the stability of linear
combinations of algebraic operators. Extracta Mathematicae, à paraître.
[T12] I. Chalendar, E. Fricain, A. Popov, D. Timotin et V. Troitsky. Finitely
strictly singular operators between James spaces. J. Funct. Anal., à
paraître.Chapitre 1
Introduction
LesmodèlesfonctionnelsdeSz.-Nagy–FoiasetdeBranges–Rovnyaksontdeve-
nus des outils incontournables dans de nombreuses questions d’analyse et il nous
apparaît donc essentiel de bien comprendre les espaces qui interviennent. Une
grande partie des travaux présentés dans cette habilitation [T1–T7] est consa-
crée à l’étude de ces espaces modèles. Ainsi même si les modèles fonctionnels de
Sz.-Nagy–FoiasetdeBranges–Rovnyaknefontpasicil’objetd’uneétudepropre-
ment dite, ils sont utilisés dans au moins deux de nos travaux [T4,T10] et ils sont
sous-jacents dans une grande partie des autres [T1,T2,T3,T5,T6,T7]. Ils peuvent
donc être vus comme l’origine et la motivation de mes recherches et c’est la rai-
son pour laquelle je vais leur consacrer une assez longue introduction. Une autre
partie des travaux présentés ici [T8,T9] traite d’estimations sur les produits de
Blaschke qui sont des fonctions méromorphes dans le plan complexe et qui appa-
raissent naturellement dans la théorie des espaces de Hardy. Une dernière partie
des travaux [T10–T12] porte sur diverses questions de théorie des opérateurs.
1.1 La théorie des opérateurs modèles et le shift
2sur H (E) : un bref historique
Etant donné X un espace de Banach, on note par L(X) l’algèbre des opé-
rateurs linéaires et continus de X dans X et pour T ∈ L(X), σ(T) désigne le
spectre de T, c’est-à-dire l’ensemble des nombres complexes λ tels que λId−T
−1n’est pas inversible dans L(X). La résolvante R (λ) := (λId−T) , fonctionT
définie et analytique en dehors du spectre deT et à valeurs opératorielles, est un
des moyens les plus utiles et efficaces pour étudier un opérateur. Elle intervient
notammentdefaçoncrucialedanslecalculfonctionneletlesdécompositionsspec-
trales de type Riesz-Dunford. A la fin des années 40, sous l’impulsion de l’école
d’analyse fonctionnelle formée à Odessa par M. G. Krein, on a commencé à lier
aux opérateurs d’autres fonctions analytiques, d’abord scalaires puis matricielles
et enfin opératorielles, l’idée étant

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