Cours Mathématiques - Série ES: Nombre dérivé, tangente à une courbe, fonction dérivée, règles de dérivation

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Fiche de révision Mathématiques: Nombre dérivé, tangente à une courbe, fonction dérivée, règles de dérivation

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• Publié par: Studyrama
• Publié le: 27 février 2014
• Nombre de lectures: 170
• Langue: Français

Extrait

Nº : 22003

Fiche Cours

MATHEMATIQUES

Série ES

he 3 : Nombre dérivé, tangente à une courbe, fonction dérivée, règles de dérivation

Plan de la fiche

I - Nombre dérivé
II - Interprétation graphique du nombre dérivé,tangente à une courbe
III - Fonction dérivée, règles de dérivation

I - Nombre dérivé

Cétant la courbe représentative d’une fonctionfsur, définieEf, soit aun réel donné deEfetxun réel variable deEf. Notons
f
A (a;f(a))etM (x = a + h ;f(x) =f(a + h))les points deCcorrespondants (cf.figure 5).
f

Fig. 5 Vers le nombre dérivé...

DÉFINITION
f(a+h)−f(a)f(x)−f(a)
On dit quefest dérivable en a si :lim(=lim) est un réel (donc non infini), unique (quex
h→0x→a
hx−a
tende versapar valeurs inférieures ou supérieures àa). Ce réel, s’il existe, est notéf’(a)et est dit nombre dérivé de
fena.

Exemple :
2 2
+ −(a+h)−a
2f(a h)f(a)
Soitftelle quefx(x) =;lim=lim=…=lim (2a + h) = 2 a(noter que cette limite avait un aspect
hh
h→0h→0 h→0
0
initial indéterminé,du type).Ainsifest bien dérivable enatoute valeur, et pouradeIR –le nombre2 aexistant pour tout réel
0
a –le nombre dérivé estf’(a) = 2 a.

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1

Série ES

II - Interprétation graphique du nombre dérivé, tangente à une courbe

Fig. 6 Le nombre dérivé : coefficient directeur de la tangente en A

MATHEMATIQUES

Nº : 22003

2

► ÀSAVOIR
f(a+h)−f(a)f(x)−f(a)
•Silim(=lim) n’existe pas ou est infinie on dit quefn’est pas dérivable ena.
hx−a
h→0x→a
• On dit quefest dérivable sur un intervalleDdeIRsi elle est dérivable en tout « point »adeD. Onretiendra à ce
propos que tout polynôme est dérivable surIRfonction rationnelle (rapport de deux polynômes) est dérivable, toute
sur son ensemble de définition.

Quandhtend vers0,Mse rapproche infiniment près deAcorde. La(AM)tend alors à se confondre avec la tangente (T) (enA)
A
f(a+h)−f(a)
àC, si cettetangente existe.coefficient directeur de la cordeOr le rapportest, précisément, le(AM)peut. On
f
h
f(a+h)−f(a)
donc comprendre que le nombre dérivélim=f’(a)n’est autre que le coefficient directeur de la tangente enA.
h
h→0
On admettra sans autre démonstration la règle ci-dessous.

RÈGLE
Si une fonctionfest dérivable ena,Cadmet enA (a ; f (a))une tangente (T), uniqueet non verticale, de coefficient
fA
directeurm =f’(a). Et réciproquement.

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III - Fonction dérivée, règles de dérivation

Exemple :
2
x
Quand on af(x) =a vu que, onf’(a) = 2 a: ceci serésume en disant quefest dérivable surIR(car2 aexiste pour tout réela)
et sa dérivée est la fonctionf’définie parf’(x) = 2 x.

DÉFINITION
Lorsqu’une fonctionfest dérivable ena,a∈E, lenombre dérivé est notéf’(a); cettenotation signifie qu’il existe,
f
associée àf(autre) fonction notée, unef’qui, àl’antécédenta, associel’imagef’(a); f ’est la fonction dérivée def.

Fiche Cours

Nº : 22003

Fiche Cours

MATHEMATIQUES

Dérivées usuelles et intervalles de dérivabilité :
f(x)f’(x) D
constante0 IR
n−1
n xIR
n
x ,n∈IN
2
1/ xIR*
-1/ x
*
x 1/(2x )I R+
Sin xCos xIR
Cos x– Sin xIR
2
Tan x1+(xta n)x ≠ π/2 [?]
Tab. 2 Dérivées usuelles

RÈGLES
Règles de dérivation

Série ES

uetvsont deux fonctions dérivables surD,kune constante,nun entier naturel.Les résultats suivants sont à connaître
par cœur !

f(x) = k · u (x),f’(x) = k · u’ (x),∀x,x∈D
f(x) = u (x) + v (x),f’(x) = u’(x) + v’(x),∀ x, x∈D
f(x)=u (x) × v (x),f’(x) = u’(x) · v(x) + u (x) · v’ (x),∀ x, x∈D
n n−1
f(x) =u(x),f’(x) = nu’(x)u(x),∀ x,x∈D

2
(cas particulier très fréquent :f(x) =u(x),f’(x) = 2 u’(x) u (x),∀ x, x∈D)

u' (x)
f(x) =u(x),f’(x) =,∀ x,x∈Det tel queu (x) > 0
2 u(x)
−v' (x)
1
f(x) =,f’(x) =2,∀ x,x∈D, et tel quev (x) ≠ 0
v(x)v (x)
u(x) u'(x)v(x)−u(x)v' (x)
f(x) =,f’(x) =2,∀ x,x∈D, et tel quev (x) ≠ 0
v(x) v(x)

Dérivée d’une fonction composée :le résultat énoncé ci-dessous est particulièrement important en terminale :
Sif(x) = u [v (x)], onnote symboliquementf= u ○ v, alors f ’(x) = v’(x) · u’[v (x)]
(toutes les conditions sur les intervalles d’existence et de dérivabilité étant satisfaites).

Exemples :
n−1
nn
•f (x) =v(x)(soitf= u ○ v, avecu : xx),n∈IN. Doncf’(x) = v’(x) · n ·[v (x)]
(où l’on retrouve le 4e résultat des règles de dérivation ci-dessus).
v' (x)
1
•f(x) =v(x)(soitf= u ○ v, avecxu : x) . Doncf’v' (x)(x) =× =(où l’on retrouve le 5e résultat des règles
2 v(x)2 v(x)
de dérivation ci-dessus)

► ÀSAVOIR
Un cas usuel important :sivest affine, c’est-à-dire quev (x) = ax + b, onobtient :f’(x) = a · u (ax + b).
Exemple :f(x) = sin (2 x – 3), alorsf’(x) = 2 cos (2 x – 3),(u = sin, v (x) = 2 x – 3).

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