Exercice N°105: Fonctions usuelles

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⋆⋆⋆⋆ ´ MPSI Lycee Rabelais Semaine du 12 aoutˆ 2011 Fonctions usuelles (I) Fonctions logarithmes, puissances et exponentielles Fonctions hyperboliques r´eciproques Exercice 1 : Etudiez les limites suivantes : Exercice 8 : Simplifiez les expressions suivantes : 1 1 1. ch(Argshx) 2. th(Argshx) 3.sh(2Argshx) 2 x −1 x 1. lim x 6. lim x . 4. sh(Argchx) 5. th(Argchx) 6.ch(Argthx) x→1 x→+∞ „ « tanx √ 1 x 2. lim . 7. lim x Exercice 9 : D´eterminez l’ensemble de d´efinition et simplifiez l’expression de f(x) lorsque x→0 + sinx x→0 „ « ! x r 1 1 ` √ ´ chx+1 x 3. lim ln . 8. lim x . 2 1. f(x) = Argsh 2x x +1 3. f(x) = Argch + x→0 x x→0 2 “ ” x x a + (x ) “ ” 4. lim 1+ , a∈ R . 9. lim x . √ 2 x→+∞ + 2 x x→0 2. f(x) = Argch(2x −1) 4. f(x) = Argsh x −1 x−1 x x 5. lim(lnx) 10. lim (x ) . + x→1 x→0 Exercice 10 : R´esolvez l’´equation Argshx+Argchx = 1. Exercice 2 : R´esolvez les ´equations suivantes : x 1−x Trigonom´etrie hyperbolique 1. e +e =e+1 √ ` ´ √ x 4 2 x Exercice 11 : Lin´earisez ch x sh x. 2. x = x 2x x−1/2 x+1/2 2x−1 3. 2 −3 = 3 −2 n X 2x x 2 4. e −4me +2(m+1) = 0 (discutez suivant la valeur de m∈ R.) Exercice 12 : Soient n∈ N, (a,x)∈ R . Calculez la somme S = sh(a+kx). n k=0 Exercice 3 : R´esolvez les syst`emes d’´equations suivants : n   X ch(kx) x 2 2 8 = 10y x −y = 12 Exercice 13 : Pour n∈ N et x∈ R , calculez la somme S = . n 1. 3. k x ch (x) 2 = 5y lnx−lny = ln2 k=0   x y e ×e = a x+y = 1 2. 4. x y Exercice 14 : xy = 1 2 −3 = 0 2 1 1.

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices
• Mathématiques

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Extrait

MPSILyc ´ eeRabelias

Fonctions logarithmes, puissances et exponentielles Exercice 1 :Etudiez les limites suivantes : 1 1 1. limx x 2 −1 6. limx x . x→1x→+∞ 2. 7. limx √ x x li → m 0 „ 1 « tanx . x→0 + sinx 3. x li → m 0 „ ln x 1 « x . 8. x li → m 0 + x 1 x . 4. x lim ∞ “ a ” x ,a∈R +⋆ . 9. x li → m 0 + x (x x ) . 1 + →+ x 5. lim 1 (lnx) x−1 10. x li → m 0 + (x x ) x . x→ Exercice 2 ::setnaviqu´eeszlsunsioat´Rseloev 1.e x +e 1−x =e+ 1 2.x √ x = ` √ x ´ x x x 3. 2 2 −3 −12 = 3 x+12 −2 2x−1 4.e 2x −4me x + 2(m+ 1) = 0 (discutez suivant la valeur dem∈R.)

Exercice 3 :qu´ed’esemt`yssselzevlose´Rst:vinasnustaoi 1.  2 8 x x =5 =1 y 0y 3.  ln x x 2 − −ln y 2 y 21 2 = =nl 2.  e x × x e y y = = a 1 4  2 x x − + 3 y y = =0 1 . Fonctions hyperboliques Exercice 4 :eivsuesesccvesiledsnofaoitcnClaucellzse´drefperafi´edin ´ f(x) =e xcha ch (xsha)

Exercice 5 :uqzertnome´De + 1. Pour toutx∈Rshx≥x 2. Pour toutx∈Rchx≥+ 1 2 1x 2  Exercice 6 :Soit (a α)∈R 2 eumdts`oylsersse´ee.sR 1.  chx+chy= 2achα shx+shy= 2ash α  2.  x= ch (2y) 3 lnx ln(ch= 2y)

Exercice 7 :dzevsnaR´olesRe´’ltauqion5chx−4shx= 3

Fonctions usuelles (I)

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Semainedu12aoˆut2011

notcoisnyhepbrloFseuqorpice´rseuqi Exercice 8 :Simplifiez les expressions suivantes : 1ch (Argshx) 2th (Argshx) 3sh (2Argshx) 4sh (Argchx) 5th (Argchx) 6ch (Argthx)

Exercice 9 :eiondressDze’lneese´etmrniniefiontilembd´delzefipxe’isteilpmf(x) lorsque   1.f(x) = Argsh ` 2x √ x 2 + 1 ´ 3.f(x) = Argch r chx+ 2 1 ! 2.f(x) = Argch (2x 2 −1) 4.f(x) = Argsh “ √ x 2 −1 ”

Exercice 10 :grhsoiAnRso´eezlv´el’atqux+ Argchx= 1

Trig´etronombrepyheieuqilo Exercice 11 :aerz´iesincLh 4 xsh 2 x. n Exercice 12 :Soientn∈N, (a x)∈R 2 . Calculez la sommeS n = X sh (a+kx) k=0 Exercice 13 :Pourn∈Netx∈R ⋆ , calculez la sommeS n = X n ( h h c c k k ( x x ) . ) k=0

Exercice 14 : 1. Montrez que pour toutx∈R ⋆  (, thx)= 2 th(2x) − 1 th(x ) . n 2.De´duisez-enpourtoutentiern∈N, la valeur de la sommeT= X 2 k th (2 k x). k=0 n Exercice 15 :Pourn∈Netx∈R. SimplifiezP n (x) = k= Y 1 ch “ 2 x k ” en calculantP n (x)×sh ( “ 2 x n ” .

Exercice 16 : 1. Soientn∈Netx∈R +⋆ . Observez que th ((n+ 1)x)−th (nx) =  ( chnxch() hsx (n+ 1)x)  n 2. CalculezS n = k= X 0 ch (kx) 1 ((chk+ 1)x)

Correction des exercices Exercice 1 .—1. x li → m 1 x x 21 −1 = √ e lorsent,´equconsraPuqe− 2 1 < m <trtsestΔaninimcrfitage´ntnemetciedcetsei1etlt, ta apn’deasciras.ne´auqenoit x nx  Lorsque = 1. m≤ − 2 1 o,um≥1,Δestpositifouniseontdmeadacxreucd´’ltelunnoitauqe 3 2 . . x x il il → → m m 0 0 „ „ nl in 1 s 1 « « x = 1.  ou confondues : distinctes x X 1 = 2m − √ 2 p 2m 2 −m−1X 2 = 2m+ √ 2 p 2m 2 −m−1 4. x l → im +∞ “ 1 + a x ” x =e a ,a∈R +⋆ . En notantS= 4mla somme des racines etP= 2(m+ 1) leur produit on obtient le tableau 5. x li → m 1 (lnx) x−1  : suivant = 1 1 6. x→ li + m ∞ x x = 1. m−∞ −1− 1 2 1 +∞ Δ + + 0−0 + 7. x li → m 0 + x √ x = 1 S− −+ 1 P− +0 + 8. x l → im 0 + x x = 0. X 1 <0< X 2 X 1 < X 2 <0pas de racine0< X 1 < X 2 9. limx (x x ) = 0. x→0 +  laniFa`,tnemededeail’eabltace,unoeptu´rseuordel’´equation(4). 10. lim + (x x ) x = 1. x→0 (a) sim <−1, il y a une seule racinex= ln ` 2m+ √ 2 √ 2m 2 −m−1 ´ , Exercice 2 .— (b) si−1≤m <1, il n’y a aucune racine ; 1. 1)⇐⇒e x +e 1−x =e+ 1⇐⇒e 2 +e= (e+ 1)e x (c) sim= 1, il y a une seule racinex= ln(2), ( x (d) sim >1, il y a deux racines ⇐⇒e 2 −(e+ 1)e x +e= 0⇐ X=e x  > X0 x ⇐⇒  X=e x  > X0 ⇒  X 2 −( = e+) 1 1X+e= 0 x= ln ` 2m − √ 2 p 2m 2 −m−1 ´ X= 1 ouX=e ⇐⇒x= 0 oux etx= ln ` 2m+ √ 2 p 2m 2 −m−1 ´ Parconse´quent,S={01}. N

2. (2)⇐⇒  x x √ > x = 0 ` √ x ´ x ⇐⇒  x √ > xn( 0 lx) =xln( √ x) x >0 ⇐⇒  x √ > x 0 nl(x) = 2 1 xln(x) ⇐⇒ ( √ x ˆ 1− √ 2 x ˜ ln(x) = 0 ⇐⇒  x >0 o0ux= 4 oux= 1 x= Ainsi,S={14}. 3. 4 √ 3 (3)⇐⇒4 x − √ 1 3 3 x = √ 3 3 x − 1 2 4 x ⇐⇒4 3 2 x = 3 x 3 ⇐⇒ „ 4 3 « x = 3 √ 3 8 ⇐⇒xln(3nl3(4)= 3 2 4) Ainsi,S=  3 2 ff . 4.Pourr´esoudrecettee´quationoneffectuelechangementd’inconnueX=e x . Ainsi X=e x >0 (4)⇐⇒  X 2 −4mX+ 2(m+ 1) = 0  grde´eOnttouesr´rdl’´equoutd’aboueixe`emtaoidnduX 2 −4mX+ 2(m+ 1) = 0. ´ = 2 − −=−

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Exercice 3 .—

1.  8 x x 01= =5 y y ⇐⇒ < 8 y >0 ⇒  2 4 x x 5= 2= y ⇐⇒ > : < > 8 y x = 2 = 1 √ 5 2 8 x = 10y ⇐ 2 : 2 x = 5y

2. On suppose queaitulosedsapa’nem`estsyleoiqunssaetonons,ictementpositif,sestrt note,pouralle´gerα= lna. On a :  x e x y × = e 1 y =a ⇐⇒  x x +y=α y= 1

Onreconnaiticiunsyste`mesomme-produit.Lescouplessolutionssontceuxdontlescoor- donne´esxetysrleinacntsooi:nuqta’le´seedt 2 −αt+ 1. On note Δ =α 2 −4 le discriminant decettee´quation,cequinousconduitnaturellement`aenvisagerplusieurscassuivantle signe de ce dernier : (a) si Δ<’annioatolessdpael,noitueme`tsyse´uq,0’lpnon.sulporpe´so Δ = il r l’´ il i = = α .

u ion  αx α 2 − te 4 ◮ si 0< a <1, (1) n’admet pas de solutions. (c) si Δ α > + √ 0, α 2 il − dayrxuenicaidse Le. 4 qta=ctesstinl’´epour − √ 2 ◮ sia≥1, (1) admet pour solutions x=α+ ln(a+ √ a 2 −1) =α+ Argch (a) y N = 2 couples ( sx y) et (y x.rpposoe´rolaloss)tnosstsyme`eioutduns  y=α−ln(a+ √ a 2 −1) =α−Argch (a) 3.Raisonnonspar´equivalences OU xn(a+ √ a 2 −1) =α−Argch (a)  ln x x 2 − −ln y 2 y 21= n2=l ⇐⇒ < > 8 > x x 2 y − x y > 2 21= 0 =2 ⇐⇒ 8 < : x x 2 y −y >0 2 = 12  y= = α α + − n(l l a+ √ a 2 −1) =α+ Argch (a) : y x= 2y N 8 2. (2)⇐⇒  3 lnx x =2lnc( =ch(2y h ) y) ⇐⇒  x x 3 =hc( h=c 2 2 ( y y) ) ⇐⇒  x+ 2 y x 3= =1 y ⇐⇒ ⇐⇒  < : (ln x 2) x > y y0 2 x = + = y 2 4 y = ⇐ 1 ⇒  y x =2 4= < : 8 x x 3 = c+1 = 2(hcy 2(h ) 2 y)⇐⇒  2x 3 −x− xh(2 0= =c 1 y) . 4. On a x−(ln 3)y re`iqe´eitauyanotpanruouquniacerniree´lee ´ l enr.O =0 ysectuoseme`ts ednrteetCx= 1, il s’ensuit que (2) admet ss : on obti nt  ln 3 ln 2  pour unique solution le couple (10). lin´eaireparlam´ethodedupivotdeGauex= ln  6 y 6 .= ln N N Exercice 4 .—ruesncreurecr´areprtnomnOn∈Nquefestnbledanssd´erivafioRet que pour Exercice 9 .—1. Pour simplifier l’expression def(x) = Argsh ` 2x √ x 2 + 1 ´ , il y a essentielle- ´ toutx∈R, on a : f (n ment trois methodes : ) (x) =e xch (a) ch ` na+xsh (a) ´ (a) Posonst= Argshx, de sorte quex= sht. Alors 2x √ x 2 + 1 = 2sht p sh 2 t+ 1 = •Initialisation :Lorsquen h a s ` 2 neiray!!eriafn’il0,= tcht= sh 2t,Argsh(2D.o’u`x √ x 2 + 1 = 2Argshx. N • f H ( ´e n r ) ´e ( d x i ) t´e = : e s x o c i h t (a n ) ∈ ch N ` n t a leq +xhs uef (a) se ´ . t E n ,secacn ofd´isier f v ( a n b ) se l ri e t n d sd ´ a e R pmoco qteopeuotrutu ommeblecva x ee´s ∈ d R teelles ano, oasbts`eqreureevemtrth´eecodsionU)b(uaenfd´erestlesuivabrRet que fonctions et pour toutx∈R, on a f (n+1) (x) =e xch (a) ˆ ch (a)ch ` na+xsh (a) ´ + sh (a)sh ` na+xsh (a) ´˜ f ′ (x) = √ x 2 2 +1 =e xch (a) ch ` a+na+xsh (a) ´ =e xch (a) ch ` (n+ 1)a+xsh (a) ´ Ainsi,f deux primitives sur sontet 2ArgshRde la fonctionx7→ •Conclusion :rrapuce´nerro,ecnamontr´equefabivdalensestni´dfieinemtn´dreRet que √ P.ra 1 neconstaerentd’utn:et,ensdcenscoqu´esnoi`ffidfxuetcno pour toutx∈R, on a : x 2 + 1 f (n) (x) =e xch (a) ch ` na+xsh (a) ´ f(x () = 2Argshx) +C N Ene´valuantcette´egalite´fonctionnelleen0,ilvientC= 0. — Exercice 5 .ta´eurPoisecrilbtilage´nntre´esetionfonceptu,snolri’vaioidutalreee´de´’d Uned(c)re’lxerpseisnoolgarthmiquedeinreere`te´medohnscoteisut`aisil diff´erence!! 1.x7→ϕ(x) = sh (x)−xetsledansd´erivabR + ee´vire´ded,ϕ ′ = ch−1. C’est une fonction Argsh , . . .left as an exercise for the reader !N positive,etparcons´equent,ϕest croissante dansR + . En particulier,∀x∈R + ,ϕ(x)≥ϕ(0), Exercice 14 .—Soitx∈R ⋆ cequirevientpre´cis´ement`adirequesh(x)≥x 1 . 2.Meˆmeme´thodequepre´ce´demmentene´tudiantlafonctionx7→ψ(x) = ch (x)−1− 2 1 x 2 . N th (x  ( ) +  thxch() = sh( x x) ) + c(h hs( x x = ) hs) s 2 h (x ( ) x)(ch h+c x 2 ) (x) Exercice 6 .—euejqueeed’esdr´nt.N1onotaourqtifp c posie 2 treioˆtdm-cotioseme`tsyseleu x) = patible.Commen¸consparajouteretsoustrairemembrea`membrelesdeuxe´quationspour =2 sh h ( ( 2x ) 2 th (x) se ramener a un sys em ` t` e ene x ,e y : Ainsi,  pour toutx∈R ⋆ , on a bien : th (x 2 =) 2(htx) − 1 (1)⇐⇒  hs ch x x +hs +ch y y =2 =2 a a hs ch  α α ⇐⇒  e −x e x + + e − e y y 2= =2 ea ae α −α Soitn∈N, etk∈ {01     n} (th tnedppaeuqil´egalit´epr´ec´e,’l x) ee´ k a . `x k = 2 k xentraˆıne que Effectuons alors le changement d’inconnuesX=e x  Y=e y , il vient − 2 8 X X = + e Y x = > 2 0 ea  α Y 8 X=e 2 k th (x k (ht )= 2 k x k1+ +1  () thx k ) =e y >0 (1)⇐⇒ > : > < 1 Y 1 =  2ae −α ⇐⇒ < : X X × + Y Y x = = e >0 2 2  a α e α Y=e y > embmerecSommonsmembre 0 `a X n ´sge 2 k s.´e (2 lat t i h k x ht =) 2 2( t´Uncoesel n n p + + a 1 1 g x ode ) − denn (ht 1 x nt:emetcer ) i X + Ainsi,XetY’ledsnoioitauqe´t-onsutolssilnt 2 −2ae α t+e 2α de discriminant Δ = k=0 N 4e 2α (a 2 −1). Ainsi

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