Exercices d'algèbre - 1ère année de CPGE économique et commerciale, voie ECS, Nombres complexes : énoncés

Catherine Laidebeure

Description

Ces exercices d'algèbre, accompagnés d'indications et de réponses, sont divisés en 4 parties : (1) Ensembles et applications (2) Nombres réels (3) Nombres complexes (4) Polynômes. Les étudiants sont invités à chercher suffisamment les exercices avant de consulter les indications et réponses.

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Cours
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices
• Algèbre

Informations

• Publié par: exercices-cpge
• Publié le: 01 janvier 2012
• Nombre de lectures: 197
• Licence : En savoir +
  Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
• Langue: Français

Extrait

Algèbre

1

NOMBRES COMPLEXES

Exercice 1
On considère dansl’équation (E) :z3−2(1−i)z2+(2+i)z−21−3i=0 .
1) Démontrer que l’équation (E) admet une racine imaginaire pure.
2) En déduire la résolution dansde l’équation (E).
Exercice 2
Résoudre dansles équations suivantes sachant qu’elles admettent une racine réelle
et une racine imaginaire pure :
1) 2z4−5z3+(15+8i)z2(21 4i)z .15 0
− − − =
2) z4+2z3+(2+3i)z2+(1+7i)z−6+2i=0

Exercice 3
Soit un entiern≥2 etα ∈. Résoudre dansles équations suivantes :
1) (1−i)z2−(1−7i)z−6−8i=0 .
2) (z−i)n=(z+i)n.
3) z2n−2zncos(nα)+1=0 .

Exercice 4
n
1) Soitxun réel tel que :x/≡ ) . Calculer la somme :0 (2S=kcoskx.
k=0
2) Soitxun réel tel que :x/≡02π. Calculer la somme :S=n−10socsoc(k)xk.
k=x

Exercice 5
2iπ121
1) Soit5ue +α = ωet +β = ωsont réels.
ω =e. Montrer qω ω2
2) Montrer queαet sont solutions de l’équation :x2+x−1=0 .
3) En déduireα5so,iup c2 sπ te in2s5π.

Exercice 6
Le but de l’exercice est de résoudre dansl’équation (E) :z3−6z+4=0 .
1) On pose := −2+2i.
a) forme trigonométrique.Mettre sous
b) Résoudre dansl’équationz3= ω. Donner les solutions sous forme trigonométrique.
c) Calculer (1+i)3. En déduire la forme algébrique des solutions dez3= ω.
d) lav srueeriusel Enéd d12s1ni .oc ste1 de 1211 exactes
2) Soitzune solution de l’équation (E).
a) Montrer qu’il existe deux complexesu etv l’on ne demande pas de (que
calculer) tels que :u+v=zetuv=2 .
b) Calculeru3+v3etu3v3en fonction dez.
c) En déduire queu3etv3sont solutions d’une équation du second degré.
d) Résoudre cette équation.
e) En déduire les solutions de l’équation (E).

Exercices de Mathématiques ECS 1 - Catherine LAIDEBEURE - 2012

Algèbre 2
Exercice 7
Le but de l’exercice est de résoudre dansl’équation (E 8) :z3−6z−2=0 qui n’a
pas de racine évidente.
et sin .
1) 12 12Calculer cos
2) Soitzune solution de l’équation (E).
a) Montrer qu’il existe deux nombres complexesuetv(que l’on ne demande pas
de calculer) tels que :u+v=zetuv=14 .
b) Calculeru3+v3 en déduire que etu3 second duest solution d’une équation

degré que l’on résoudra.
c) En déduire les solutions de l’équation (E).
Exercice 8
On considère l’équation (E) :z2−2pz+q= où0 ,p etq sont deux nombres
complexes donnés avecq0 .
1) Montrer que les solutions de (E) ont même argument si et seulement siqp2∈]0,1] .
2
2) Montrer que les solutions de (E) ont même module si et seulement sip∈[0,1] .

q

Exercice 9 (d’après ESCP 1998 voie S)
Partie A : Etude réelle
Soitf ]0,la fonction définie sur+∞ :[ parf(x)=12x+x2.
1) Etudier les variations defet ses limites.
2) Résoudre l’équation :f(x)=x.
3) On définit la suite (un :) paru0=2 et∀n∈un+1=f(un) .
a) Démontrer par récurrence que :∀n∈2≤un+1≤un.
b) En déduire que la suite (un) est convergente.
c) Quelle est sa limite ?
Partie B : Etude complexe
SoitFl’application qui à tout complexez≠ le complexe :0 associeF(z)=12z+2iz.
1) Montrer qu’il existe un unique complexeb Re(tel queb)>0 etb2=2i.
2) Démontrer que :∀w∈* Re(w)>0Re1w>0 .
3) On noteP+=z∈/ Rebz>0. Démontrer que :∀z∈P+F(z)∈P+.
4) On considère la suite définie par :z0=2iet∀n∈zn+1=F(zn) .
a) Démontrer par récurrence que :∀n∈zn∈P+.
−
b) En déduire que la suite de terme généralwn=zznbbest bien définie.
n+
c) Exprimerwn+1 en fonction dewn, puis en déduire l’expression dewn en
fonction dew0etn.
d) Démontrer que :w0< En déduire la limite de1 .wnquandntend vers+ ∞.
e) Exprimerznen fonction dewn. En déduire la limite deznquandntend vers+ ∞.
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