Méthode N°09: Courbes planes

Description

MPSI du lyc´ee Rabelais http://mpsi.saintbrieuc.free.fr semaine du 3+15 novembre 2011 ´TECHNIQUES & METHODES S08 NB : cette fiche reprend les techniques n´ecessaires minimales; elle ne constitue donc pas un objectif, mais un pr´erequis! ´ ´COURBES PLANES PARAMETREES (I) ´Etude d’une courbe param´etr´ee en coordonn´ees cart´esiennes On consid`ere l’arc plan d´efini par le syst`eme d’´equations param´etriques en coordonn´ees cart´esiennes : x = x(t) t∈ I y = y(t) R´eduction de l’intervalle d’´etude • P´eriodicit´e si x et y sont p´eriodiques de p´eriode commune T > 0, alors les points M(t + T) et M(t) sont confondus : on restreint l’´etude `a un intervalle de longueur T, et on a l’int´egralit´e de la courbe. • Parit´e si I est sym´etrique par rapport `a 0 et : + ◮ si x est paire et y est paire, alors M(t) et M(−t) sont confondus : on restreint l’´etude `a I∩R et on a l’int´egralit´e du support; ◮ si x est paire et y est impaire, alors M(t) et M(−t) sont sym´etriques par rapport `a (Ox) : on restreint +l’´etude `a I∩R et on compl`ete par sym´etrie par rapport `a (Ox); ◮ si x est impaire et y est paire, alors M(t) et M(−t) sont sym´etriques par rapport `a (Oy) : on restreint +l’´etude a` I∩R et on compl`ete par sym´etrie par rapport `a (Oy); ◮ si x est impaire et y est impaire, alors M(t) et M(−t) sont sym´etriques par rapport `a O : on restreint +l’´etude `a I∩R et on compl`ete par sym´etrie par rapport `a O.

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices
• Mathématiques

Informations

• Publié par: methode-mpsi
• Nombre de lectures: 38
• Licence : En savoir +
  Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
• Langue: Français

Extrait

MPSIdulyc´eeRabelaishtt:p//pmisai.sbrntuciere.frf.e

´
TECHNIQUES & METHODES S08

semaine du 3+15 novembre 2011

NB :seasriseuqse´ncecheficteetldnerperinhcetseminimales;ellenenodesapcsnocutit,mifsuaiobunctjeiu!sreqepn´r
´ ´
COURBES PLANES PARAMETREES (I)

´
Etuded’unecourbeparame´tr´eeencoordonn´carte´siennes
ees
Onconsid`erel’arcpland´efiniparlesyste`med’e´quationsparame´triquesencoordonn´eescart´esiennes:
xy==yx((tt))t∈I

R´eductiondel’intervalled’´etude
•cit´eP´eriodisixetyomecodri´eepsdueqidoire´ptnosumenT >0, alors les pointsM(t+T) etM(t) sont
confondus:onrestreintl’´etudea`unintervalledelongueurTote,nal’int´egralit´delecauobr.e
•ParitesiIesystetm´uqirrapeppar`tro:0ate
´
◮sixest paire etyest paire, alorsM(t) etM(−tnos)esnr:ousndfoontce´uteda`rtietn’lI∩R+et on a
l’int´egralite´dusupport;
◮sixest paire etyest impaire, alorsM(t) etM(−ttra`paop(etrisym´parrquestnos)Ox) : on restreint
l’´etudea`I∩R+`t(aeteparsym´etriepteocno`lpmOx) ;
ar rappor
◮sixest impaire etyest paire, alorsM(t) etM(−trrapespariqum´ettnys)ostrop(a`Oy) : on restreint
l’´etude`aI∩R+ae(trieparreappaprosrytm`´ocpm`ltetenoOy) ;
◮sixest impaire etyest impaire, alorsM(t) etM(−trrapespariqum´eta`optros)ystnO: on restreint
l’e´tudea`I∩R+srmye´rteiaprrpaport`aapete`lpmocnoteO.
•e´myeirtsAutresssiIaoptrstse´eymiqtrpaueaprrt0etx(2t0−t) =±x(t) ety(2t0−t) =±y(t), alorsM(t0+t)
`
etM(t0−t’ltnute´serniertquri:oessyntetm´dseo`a)I∩[t0+∞.eet´apadietr´eymetaplrsacnmolpe`[eto
Remarque :ibruopmye´ecssilessiau,jevndrempreencoetnpscitemh´a.eirtla`sdia’u’de
´
Etudedesvariationssimultan´ees
•dees´ejeleluclacvire´dsexet deynsda.tudeetvr’lni’de´lael
•e.anjnu’rsd’daileelue´uertuvisngelrunotealit
•ceteenesr´epjusnadstatluse´rsntableaux′−x−y−y′epilrpoueegnutstpseletnece´rresiine`eril.nUderedsse
tangentesoupoursignalerlapre´sencedebranchesinfinies.
´
Etudedestangentesparticuli`eres
◮six′(t0) = 0 ety′(t0)6= 0,M(t0)tresgu´eerliint.cepoleenticarevetnegnatenuetenesr´eprbouac.L
◮six′(t0)6= 0 ety′(t0) = 0,M(t0zinoatelegtnheroteunetanepr´esencaL.bruouge´reil)tresniopecne.t
◮six′(t0)6= 0 ety′(t0)6= 0,M(t0gulitr´eapener.Le)opnitsnutedetatalnegnseety′′((t0)).
x t0
◮six′(t0) = 0 ety′(t0) = 0,M(t0) est stationnaire. La pente de la tangente esttli→mt0yx′′((ttecisletttimiixeeste.))

´
Etude des branches infinies
¯
Soitt0∈Rrevuoe´tedetneumi´etrexIequenie,tellmeneitfinevtneulle´,tli→mt0x(t) =±∞, outli→mt0y(t) =±∞:
sitli→mt0x(t) =x0∈Rettli→mt0y(t) =±∞, la droitex=x0est asymptote verticale au voisinage det0;
si limx(t) =±∞ettli→mt0y(t) =y0∈R, la droitey=y0est asymptote horizontale au voisinage det0;
t→t0
sitli→mt0x(t) =±∞ettli→mty(t) =±∞:
0
◮sitli→mt0xy((t)=)±∞il y a une branche parabolique de direction (, Oy) ;
t
◮si limy(t 0 il) =
t→t0x(t a une branche parabolique de direction ( y) ,Ox) ;
y(t)
◮sitli→mt0x(t) =a∈R:
⊲sitli→mt0y(t)−ax(t) =±∞, il y a une branche parabolique de direction asymptotiquey=ax;
⊲sitli→mt0y(t)−ax(t) =b∈Rionquat’de´ioetalrd,y=ax+best asymptote oblique au voisinage det0.
1

Construction de la courbe
•je trace d’abord les asymptotes s’il y en a.
•lu`irese.popselsiueltestnintgeansticrtpaes
•trem(qua´eesltane´em´sleemtnuoevs)reaintejocpml`eteletrac´eensaviueltnlbatduaevaesatrinsiomusi
•mieretjlitunee´cartelensym´etriisantlesrueb.seedaloc

Recherche d’un point double
Un pointM0de la courbe est unpoint multiplede Γ s’il existe un couple (t1 t2)∈I2tel que
1)x(tt11)6==xt2(t2)
(y(t1) =y(t2)

Pourde´terminerlespointsdoublesdeΓ,

•.)1(eme`tsysleusso´eerj
•cejstodopnidsse´neerdonscoolelealcu.stnspredaonleuborsc
´
Etuded’unecourbeparam´etr´eeencoordonn´eespolaires
Re´ductiondel’intervalled’e´tude
•rePidoit´cie
´
◮siρ(θ) est 2π,elaiduqreoi-´porsO−−M→(θ+ 2π) =O−−M→(θ).M(θ) etM(θ+ 2π) sont donc confondus : on
restreintl’e´tudea`unintervalledelongueur2πono,eitb’ltnegraint´edellit´br.ecauo
◮siρ(θ) estTerp´-e(qudiioT >0), alorsρ(t+T) =ρ(t).M(θ+T) est donc l’image deM(θ) par la rotation
de centreOet d’angleTeuruolgneledalrvteinun`adetue´’ltniertserno:Tarroetepmpl`onco,tetitason
successives d’angleT.
•t´eiraPsiIqieuaprrpaoptra`estsym´etrt:0e
◮siρest paire,M(θ) etM(−θtra`paop(etrisym´parrquestnos)Oxuted’le´oi:ertnnse)rt`aI∩R+et on
comple`teparsyme´trie;
◮siρest impaire,M(θ) etM(−θ)ostnysesparrapm´etriqutrop(a`Oyo:)serntu´e`adeeitrl’ntI∩R+et on
compl`eteparsym´etrie.
•ymssreutsietr´eAsiIparrapport`amystseeuqirte´θ0et siρ(2θ0−θ) =±ρ(θ), alorsM(θ−θ0) etM(θ0+θ)
sontsyme´triquesparrapport`aladroiteD=D(Ou~(θ0eroitaladort`arpppura)o)D=D(~Ov(θ0)) : dans les
deuxcasonrestreintl’e´tudea`I∩[θ0+∞´tpadaei.eerlpate`etr´eymastoncompl[e
´
Etude du signe et des variations deρ
Je sais que le signe deρet ses valeurs d’annulation sont cruciales pour le positionnement de la courbe.
•j’´etudielesigedenρ(θ) et ses valeurs d’annulation pourθ∈I.
•je calculeρ′’asdurleioatulnnngisnoseavsestee,etdrmin´eten.
•oitalcsneduairavnt’uleabfolaedrmatstossuse´rseluesentezcjepr´que.assi
´
Etudedestangentesparticulie`res
Pourunecourbeencoordonne´espolaires,lasituationesttr`essimple.
◮siρ(θ0) = 0, le pointM(θ0)estecopetnedaornilt’´eqitedonuati.eloˆpua,sacecnEpoetdmΓaenngtaur
polaireθ=θ0.
−−−−−→
◮siρ′(θ0) = 0, la tangente enM(θ0) est«orthoradiale»,i.e.`alenagohootrOM(θ0).
´
Etude des branches infinies
Lorsqueθli→mθρ(θ) =±∞teunesenncheebral,cape´ruobrneeinfiniθdeceteetrbnahcenemiereturatanrl´druoP.
0
infinie,jerepasseencoordonne´escarte´siennesdanslerepe`reR= (~ı~O) :
xy==ρρ((θθ(s)no(csi)θθ))

Construction de la courbe
•je trace les asymptotes s’il y en a.
•apsetneg`ilucitr.esereltenatsopsestnipljeelacnseteui
•jeetl´mpcosrelaeole´nertcaantlsuivleauetabiseddengeρop´druimeleritnsdaelquestcueargnluiaeresttrac´ee
la courbe.
•mieret,jfinenlitunee´cartelenetrisym´tlesisanseedeullevtnsee´.colabeur

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