Ou comment passer en douceur de la géométrie à l'algèbre.

Jean-Philippe Darras

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• exposé - matière potentielle : systématique de la théorie des équations

Chapitre VI. Algèbre. Jean-Philippe Darras – L.P. Gustave Eiffel, 03 800 GANNAT. 62 Ou comment passer en douceur de la géométrie à l'algèbre. Retour au sommaire

• calcul littéral avec les élèves de façon claire
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Chapitre VI. Algèbre. Ou comment passer en douceur de la géométrie à l’algèbre. Retour au sommaire Jean-Philippe Darras – L.P. Gustave Eiffel, 03 800 GANNAT.62

Chapitre VI. Algèbre. Le mathématicien arabe Al-Khwarizmi distinguait deux règles générales. Il appelait la première ‘al-muqabalah’ (mise en opposition,balancement) ou, comme disent nos manuels d’aujourd’hui, réduction des termes semblables. L’autre règle, ‘al-djabr’ (réparation, remplissage), consistait en la transposition de quantités d’un membre d’une équation dans l’autre et a donné, dans notre langue, le mot « algèbre ». I - ) Les origines. Il faut les rechercher du côté de Diophante (vers 325 – vers 410 apr. J-C), mathématicien grec de l’école d’Alexandrie, dans son ouvrage ‘Arithmetica’. Par la suite, l’algèbre trouve un foyer d’accueil dans le monde islamique, où elle est considérée comme la « science de la réduction de ème l’arithmétique en une forme plus parfaite ». Au IX siècle, le mathématicien arabe Al- Khwarizmi élabore l’un des premiers traités d’algèbre, en rédigeant un exposé systématique de la théorie des équations, avec exemples et démonstrations à l’appui. Dans cet ouvrage, il emploie les termes d’al-djabret d’al-muqabalah. II - ) La règle des signes de DIOPHANTE. Enfin une réponse à la trop fameuse question : « Pourquoi + par – ça fait - ? ». Il faut bien reconnaître que cette règle des signes pose une énigme et, à ma connaissance, elle n’est jamais justifiée. Il existe bien des tentatives, du genre : ‘les amis de mes amis sont mes amis ; les amis de mes ennemis sont mes ennemis ; les ennemis de mes ennemis sont mes amis’. Ce genre de logique n’a pas beaucoup valeur de démonstration et ne permet pas à certains élèves de s’avouer convaincus. Diophante devança les Hindous et les Arabes dans l’invention de l’algèbre. Les écritures du type : a (b + c) = ab + bc ; a (b – c) = ab – bc ; (a + b) (c + d) = ac + ad + bc + bd ;… posent un problème dont la solution est contenue dans la ‘Loi des signes’ que Diophante employa le premier dans le calcul. Voici un exemple de démonstration au moyen d’une représentation géométrique. Retour au sommaire

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Chapitre VI. Algèbre. Quel serait le résultat de la multiplication d’expressions telles que : (a – b) (c – d) ? a (a – b) b (a – b) (c – d) (c – d) b(c – d) c d – b)bd d(a Les aires des différents rectangles sont données sur la figure. L’aire totale du rectangle est ac; c’est-à-dire que : (a – b)(c – d) + bd +b(c – d) + d(a – b) = ac ou = ac– b)(c – d) + bd +bc – bd + ad – bd  (a ou – b)(c – d) + bc + ad – bd  (a = ac Retranchonsbcetaddes deux membres de l’égalité et ajoutonsbd, il vient alors : (a – b)(c – d) = ac – ad – bc + bd On voit que les résultats sont obtenus en multipliant tour à tour chacun des membres d’un facteur par chacun des membres de l’autre. Les signes qui précèdent les résultats suivent les règles suivantes : +×+ = + -×+ ou +×- = - -×- = + L’intérêt de cet exemple est multiple : il établit de façon nette la règle des signes, il montre d’où sortent les règles de développement des expressions algébriques, il donne une base tangible à l’algèbre par ses origines géométriques. L’activité proposée dans la suite n’est vraiment qu’une ébauche, une piste. En effet, la rédaction et la formulation des consignes, très imparfaites, montrent la difficulté d’aborder le calcul littéral avec les élèves de façon claire et compréhensible. Les parties écrites en bleu sont les réponses attendues. Retour au sommaire Jean-Philippe Darras – L.P. Gustave Eiffel, 03 800 GANNAT.64

Chapitre VI.

Activité proposée.

Niveau : classes de troisième et B.E.P.

Algèbre.

Objectif : on cherche à exprimer l’expression (a - ) (c – d). Dans la figure ci-dessous, le ‘grand’ rectangle de cotes a et c est découpé en quatre rectangles nommés1,2,3et4. ….. – ….. nCompléter la figure ci-contre (..… – …..) par les lettres manquantes : oExprimer : l’aire du ‘grand’ rectangle : ………………………………………..ac l’aire du rectangle1 : ……………………………………… (a – b) (c – d) l’aire du rectangle2en fonction de b (2 façons) : ………………- bdb (c – d) ou bc l’aire du rectangle3: ………………………………………………bd l’aire du rectangle4en fonction de d (2 façons) : ……………...- dbd (a – b) ou da ⇒Les formes avec parenthèses sont appelées formes ………. (factorisées), les formes sans parenthèses sont appelées formes ………. (développées). ⇒Identification. On remarque que les expressions …b (c – d)et …bc – bdsont égales. De même pour les expressions …d (a – b)et …da – db. pExprimer l’aire du ‘grand’ rectangle en fonction des aires des rectangles1,2,3,4 →avec les formes factorisées de2et4: ac = ……….(a – b) (c – d) + b (c – d) + bd + d (a – b) →avec les formes développées de2et4: ac = ……….(a – b) (c – d) + bc – bd + bd + da - db qRéduire la dernière expression de ac et exprimer (a – b) (c – d).  (a – b) (c – d) = ....................ac – bc – ad + bd rConclusions: a×c donne …..acdes signes correspondante : …. Règle +… par + donne …+ a×- d donne …..-addes signes correspondante : …. Règle +… par -… donne - - b×c donne …..- bc. Règle des signes correspondante : …-… par +… donne - - b×- d donne …..bd. Règle des signes correspondante : …- par …-… donne + Jean-Philippe Darras – L.P. Gustave Eiffel, 03 800 GANNAT.65

Chapitre VI. Algèbre. III - ) Quelques mots sur Al-Khwarizmi. Al-Djafar Mohamed ibn Mussa Al-Khwarizmi, (v. 780-v. 850),est un mathématicien arabe dont les travaux sur l'algèbre, l'arithmétique et les tables d'astronomie ont considérablement fait progresser la pensée mathématique. Al-Khwarizmi fut bibliothécaire à la cour du Calife et astronome à l'observatoire de Bagdad. La version latine (par le traducteur italien Gérard de Crémone) du traité d'algèbre d'Al-Khwarizmi fut à l'origine de la connaissance mathématique en Europe médiévale. Ses travaux sur les algorithmes, terme dérivé de son nom, permirent d'introduire la méthode de calcul utilisant les chiffres arabes et la notation décimale. IV - ) Résolution d’une équation du second degré par la méthode du carré complété. La méthode donnée par Al-Khwarizmi est essentiellement la même que celle qu’employa Diophante. Un exemple numérique, donné par Al-Khwarizmi, est le suivant : x² + 10x = 39 (1) Dessinons un carré dont le carré mesurexunités de longueur. Sur deux côtés adjacents du carré, dessinons deux rectangles dont la longueur des côtés mesure 5 unités. x 5 5x x x² Nous obtenons une figure e forme de L dont l’aire est : 5 5x x² + 5x + 5x = x² + 10x x+ 5 Complétons le carré ayant pour côté 5 unités comme ci-contre : L’aire est maintenant : 5 x+ 5 2 x² + 10x + 25 =(x + 5) 25 Retour au sommaire Jean-Philippe Darras – L.P. Gustave Eiffel, 03 800 GANNAT.66

Chapitre VI. Algèbre. L’équation (1) nous dit que :x² + 10x = 39. Donc :x² + 10x + 25 = 39 + 25. D’où :25 = x² + 10x + 64 2 On obtient :(x + 5)8². = Ainsi :x + 5 = 8. Finalement :x = 8 - 5 Et :x = 3 Al-Khwarizmi donne ainsi la règle pour résoudre de telles équations : «Prenez la moitié du ‘coefficient de x’ (=5 ici), multipliez le nombre obtenu par lui – même (=25), ajoutez ceci à 39 (=64). Maintenant, prenez la racine carrée de ce nombre (=8) et ôtez – en la moitié du ‘coefficient de x’, vous aurez le nombre que vous cherchiez (=3)». b²b En écriture moderne, nous disons, si : x² + bx = c :; alors x= +c− 4 2 Nous pouvons encore appeler cette règle de détermination dex dans une équation qui contientx², « compléter le carré » afin de rappeler que l’algèbre moderne s’est développée à l’aide de diagrammes comme ceux que nous venons de voir. Nous continuons d’appeler « équations quadratiques » - du latinquadratum, figure à quatre côtés - des équations telles que celle qui vient d’être résolue, bien que les livres d’algèbre moderne n’utilisent plus de figures pour illustrer la règle. En résolvant cette équation, nous avons négligé la seconde solution qui est : x = -8 - 5 soit := -13. x Ceci car les mathématiciens arabes n’avaient pas trouvé de signification physique pour les gérondifs mathématiques tels que –13. Ces réponses devinrent claires lorsque la géométrie réformée du ème XVI siècle introduisit l’idée d’orientation des figures. Les arabes, qui connaissaient parfaitement la règle des signes, furent ainsi mis en difficulté par le fait que la géométrie d’Euclide ne pouvait suggérer qu’une seule réponse. Appliquons la règle d’Al-Khwarizmi et la règle des signes pour résoudre une devinette telle que celle – ci : «Un nombre est multiplié par lui – même. Le résultat est ajouté à 6. Si on enlève cinq fois le nombre, il ne reste rien. Quel était ce nombre ?» La devinette peut être traduite par : 0x² - 5x + 6 = ;ou encore par :x² - 5x = - 6. 2  5   5  25 5 La règle donne :x= −6+  − −  −   soitx= −6+ +  2   2  4 2 1 5 1 5 Les solutions sont :x= + =3 etx= − + =2 2 2 2 2 Donnons la règle dans le cas général où :ax² + bx + c = 0 (a≠0). bx c Cette équation peut s’écrire :x²+ = − a a 2  b  c b La règle d’Al-Khwarizmi donne :x=   − −  2a  a2a Retour au sommaire Jean-Philippe Darras – L.P. Gustave Eiffel, 03 800 GANNAT.67

Chapitre VI. Algèbre. 2 −b±b−4ac Il vient alors :x= 2a Le pire était encore à venir ! En effet, en s’amusant à résoudre des devinettes comme celle que nous venons de résoudre, l’italien Cardan (1501 – 1576) tomba sur des réponses où intervenaient des racines carrées de nombres négatifs. Conclusion. J’utilise telle quelle la méthode du carré complété donnée par Al-Khwarizmi en tant qu’activité pour introduire la résolution des équations du second degré. Cette méthode géométrique, malheureusement oubliée ou méprisée par l’algèbre moderne et abstraite, a l’immense mérite de donner un support de départ concret à un chapitre qui, autrement, se transforme très vite en simple application d’une recette de cuisine. Même le mot « carré » retrouve ici son sens, son origine. Quant aux nombres négatifs, on conçoit aisément qu’ils aient pu et puissent encore poser des problèmes à l’esprit humain !

Timbre russe à l’effigie d’Al-Khwarizmi

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