Sujet : Algèbre, Espaces vectoriels de dimensions finies, Supplémentarité

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices

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Extrait

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013

Supplémentarité

Exercice 1[ 01646 ][correction]
DansR3, déterminer une base et un supplémentaire des sous-espaces vectoriels
suivants :
a)F=Vect(~~vu)oùu~= (110)et~v= (211)
b)F=Vect(w~v~u~)oùu~= (−110)v~= (201)etw~= (111)
c)F=(x y z)∈R3x−2y+ 3z= 0.

Enoncés

Exercice 2[ 01647 ][correction]
SoientDune droite vectorielle etHun hyperplan d’unK-espace vectorielEde
dimensionn∈N?. Montrer que siD6⊂HalorsDetHsont supplémentaires dans
E.
Exercice 3[ 01648 ][correction]
SoientEunK-espace vectoriel de dimension finien∈N?,Hun hyperplan deE
etDune droite vectorielle deE. A quelle conditionHetDsont-ils
supplémentaires dansE?

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Corrections

Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
a)(v~~u)est libre (car les deux vecteurs ne sont pas colinéaires) et(u~~v)
génératrice deF. C’est donc une base deF.
D=Vect(~w)avec~w= (100)est un supplémentaire deFcar la famille(~~~w)
u v
est une base deR3.
b)w~=u~+~vdoncF=Vect(u~v~).(v~u~)est libre (car les deux vecteurs ne sont
pas colinéaires) et(~v~u)génératrice deF. C’est donc une base deF.
D=Vect(~t)avec~t= (100)est un supplémentaire deFcar la famille(~vu~t~)est
une base deR3.
c)F={(2y−3z y z)y z∈R}=Vect(~~uv)avecu= (210)etv~= (−301).
~
(uv~~)est libre (car les deux vecteurs ne sont pas colinéaires) et(v~~u)génératrice
deF. C’est donc une base deF.
D=Vect(w~)avec~w= (100)est un supplémentaire deFcar la famille(v~w~u~)
est une base deR3.

Exercice 2 :[énoncé]
D+Hest un sous-espace vectoriel deEcontenantHdoncdimD+H=n−1ou
n.
SidimD+H=n−1alors par inclusion et égalité des dimensionsD+H=Hor
D⊂D+HetD6⊂H, ceci est donc exclu. Il restedimD+H=nd’où
D+H=E.
PuisqueD+H=EetdimD+ dimH= dimE,DetHsont supplémentaires
dansE.

Exercice 3 :[énoncé]
SiD⊂HalorsHetDne sont pas supplémentaires carH∩D=D6={o~}.
SupposonsD6⊂H.
Soitx~∈D∩H. Si~x6=~oalorsD=Vect(~x)⊂Hce qui est exclu. Nécessairement
D∩H={o}.
~
De plusdimH+ dimD= dimEdoncH⊕D=E.

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